2019届高考数学专题六函数与导数课后综合提升练1.6.2函数与方程及函数的应用文.docx

第二讲函数与方程及函数的应用(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018华师一附中一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.当x0时,f(x)=ln x-x+1,f(x)=-1=,所以x(0,1)时,f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln 1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象,如图,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.2.函数f=ln x-x,若f0的解集为,且中只有一个整数,则实数k的取值范围为()A.B.C. D.【解析】选B.f0只有一个整数解等价于kx+4只有一个大于1的整数解,设g=,则g=,可得g在上递减,在上递增,由图可知,kx+4只有一个大于1的整数解只能是2,所以-2k-,故选B.3.(2018潍坊一模)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【解析】选C.由题易知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2), f(x)=lnx(2-x)=ln-(x-1)2+1,由复合函数的单调性知,函数f(x)=ln x +ln(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f=ln+ln=ln,f=ln+ln=ln,所以f=f=ln,所以排除D.4.(2018洛阳统考)已知函数f(x)=ln x-ax2+x有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(0,1)C.D.【解析】选B.依题意,关于x的方程ax-1=有两个不等的正实数根.记g(x)=,则g(x)=,当0x0,g(x)在区间(0,e)上单调递增;当xe时,g(x)0,g(x)在区间(e,+)上单调递减,且g(e)=,当0x1时,g(x)0.设直线y=a1x-1与函数g(x)的图象相切于点(x0,y0),则有由此解得x0=1,a1=1.在坐标平面内画出直线y=ax-1与函数g(x)的大致图象,结合图象可知,要使直线y=ax-1与函数g(x)的图象有两个不同的交点,则a的取值范围是(0,1).5.关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; 存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.4【解析】选D.令t=|x2-1|,则方程化为k=-t2+t,(*)作出函数t=|x2-1|,y=t-t2(t0)的图象,结合函数的图象可知(1)当k1),方程t=|x2-1|有两个不等实根,所以原方程有2个不同的实根.(2)当k=时,方程(*)有两个相等正根t=,方程=|x2-1|有四个不等实根,所以原方程有4个不同的实根.(3)当k=0时,方程(*)有两个不等实根t=0或t=1,方程0=|x2-1|有两个不等实根,方程1=|x2-1|有三个不等实根,所以原方程有5个不同的实根.(4)当0k时,方程(*)有两个不等正根t1,t2,且0t10.5t21,方程t1=|x2-1|,t2=|x2-1|各有四个不等实根,所以原方程有8个不同的实根.6.(2018衡水中学一模)已知当x0,1时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,12,+)B.(0,13,+)C.(0, 2,+)D.(0, 3,+)【解析】选B.在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=y=(mx-1)2=m2与g(x)=y=+m的大致图象.分两种情形:(1)当01时,00恒成立,即对于任意bR,b2-4ab+4a0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)0a2-a0,所以0a0,所以f(2)0.又因为f(2)=22+(m-1)2+1,所以m-.而当m=-时,f(x)=0在0,2上有两解和2,所以m0且f(x)=ax2+2x+1在(-2x0)上有2个零点,解得a1或-1,解得m2,故选D.2.若直线ax-y=0(a0)与函数f(x)=图象交于不同的两点A,B,且点C(6,0),若点D(m,n)满足+=,则m+n=()A.1B.2C.3D.a【解析】选B.因为f(-x)=-f(x),且直线ax-y=0经过坐标原点,所以A,B关于原点对称,即xA+xB=0.yA+yB=0,又=(xA-m,yA-n), =(xB-m,yB-n),=(m-6,n),由+=得,xA-m+xB-m=m-6,yA-n+yB-n=n,解得m=2,n=0,所以m+n=2,故选B.(20分钟20分)1.(10分)设函数f(x)=x3-x2+6x-a.(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值.(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2).因为xR,f(x)m,即3x2-9x+(6-m)0恒成立,所以=81-12(6-m)0,即m-,即m的最大值为-.(2)因为当x0,当1x2时,f(x)2时,f(x)0; 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=-a;当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a;故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)=0仅有一个实根,解得a.2.(10分)已知函数f(x)=x=-是函数y=f(x)的极值点.(1)求实数a的值.(2)若方程f(x)-m=0有两个零点,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x0时,f(x)=(x2+2ax)e-x,所以f(x)=(2x+2a)e-x-(x2+2ax)e-x=-x2+(2-2a)x+2ae-x.由已知,得f(-)=0,即-2+(2-2a)(-)+2a=0,解得a=1.(2)由(1)知,当x0时,f(x)=(