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总结数学几类难题详解) c. B# d3 F- ! y U- D3 b: a/ |9 B! G1 Z4 L A$ w# W3 d题目详解：试题一8 u; E* Q& ?8 i. h. T$ K5 R* ?8 H! b4 x K前后两车行驶在上山的路上，前车因车况较好速度为后车速度的两倍。此时前车在山坡的甲处，后车在山坡的乙处。此山上坡共长1400米。当前车还在乙处的时候，后车刚开始上坡，当后车到达甲处时，前车刚好登上山顶。请问甲乙两地相隔多少米？（）$ W; v0 , ; ) u# U0 p. A2 ?A300 B350 C400 D450 C V4 l) o设甲乙相距为X，因为前车速度是后车的两倍，根据条件可知，甲处离山顶为2X，乙处离山脚为X/2，所以加起来为1400米，可得X=400米。! w! i6 B: C9 T. b$ Ug0 D* p7 N* B- 7 L A5 I试题二, d& P, D6 n! 大家到了目的地之后，开始分组玩游戏。对全体人员进行分组：若每组三人，则多出一人，若每组四人，则多出两人，若每组五人，则多出三人。每车限载50人。请问这次华图来了多少人？（）, x) M$ C% T; # I/ A56 B57 C58 D59- - b! m/ o$ T1 LR代入即可，每组三人多一人，满足条件只有C，得到人数为58。9 C, O$ T8 s8 + T# K$ B0 n& T试题三玩完第一个游戏，部分成员开始玩第二个游戏。大家排成一条长队，朱毓斌老师数了数，自己前面有20个人，后面有30个人；魏华刚老师数了数，自己排在最中间。请问两位老师中间隔了多少人？（）8 F4 ; _7 U; 8 E4 t! j- S# KA4 B5 C6 D7, k5 l Q) N4 d0 z, A8 B- Q/ e0 N; ?5 8 u根据朱老师数数得知总共是51人，自己排在第21个。所以魏老师排最中间的话，应该是前面后面各25人，所以排在第26位。第21位与第26位中间隔着第22、23、24、25四个人。2 k8 u ! 1 z3 E, X试题四到了晚上，所有人员被安排进房间。一共有14个房间，有三人间和五人间两种，大家刚好住进去。请问三人间一共有多少个？（） I, w% g% E4 ; KA4 B5 C6 D72 U wP& s5 y# b2 E1 O; _1 x2 o$ oX+Y=143 o( I) p# G) N2 a2 r l v8 i3 g6 d5 R- X* V0 q3X+5Y=583 t$ O: L3 3 ws& U( s5 s7 u W7 U# q# T% A% S+ W得到X=6试题五* x# I5 E9 F. L% E: VK% E% ) Z第二天大家去骑马，而坝上草原农家的马被训练得特别的狡猾，出去的时候速度非常快，为20千米每小时，回来的时候速度特别慢，为5千米每小时，以此多挣钱。顾斐老师摸了摸口袋，只有四十块钱，而骑马收费是20元每小时。请问顾斐老师骑出去多少千米就必须返回？（）! D8 % P5 i1 h5 Z6 Z# z( $ lA6 B8 C10 D124 |# v# f$ 3 B5 顾老师的钱只够骑马两个小时。设其骑出去X千米就要返回，则：X/20+X/5=2得X=8. o# H& R6 r, , T试题六; & A7 L: Z , n. n$ P8 b7 H+ u u& o b9 r回来的时候我注意到，车在翻另外一座山的时候，来回都是先上坡后下坡。上坡速度固定为8千米每小时，下坡速度固定为32千米每小时。来回翻此山共耗两个半小时，请问翻一次此山需要行驶共多少千米？（）A16 B18 C21 D24( c1 zz+ N. 4 1 e设来的时候上坡为a，下坡为b，则回的时候上坡为b，下坡为a。则：. A) 7 j6 A( H4 . Bc. h. K1 K(a/8+b/32)+(b/8+a/32)=2.56 T4 Q$ v. z% X! b7 - P+ R; B, i. K8 # r得a+b=16试题七/ : l- / l* + x6 ) N6 ?5 p4 i% T$ r/ t回来的路上依旧是欢声笑话，北京分校黄铉校长邀请朱、魏和我三位数学老师玩24点，请问黄铉校长从两副完整的扑克牌当中，至少抽出多少张扑克牌，才能保证拥有黑红梅方当中至少三种花色？（）! ( m# P! v/ LA57 B55 C53 D51 z9 ?$ n/ u5 c2 I x; K% R. o/ AS9 W F$ |/ K这是抽屉原理题，运用“最不利原则”。黄校最不利的情况是：先抽到四张王，再抽到黑红梅方当中两种花色的所有张，即52张，再抽一张即可满足条件，答案为4+52+1=57。, l* D6 w3 I8 Q; j: C) c* C0 U! Z! e+ _* e4 ; p% B- w& d接人问题：: o2 * 8 p2 D$ V0 V/ n$ , O- ?接人问题是行程问题里非常复杂的一类问题，在这里给大家一个简单模型下的通解公式，由此来解决m个人下的接人问题。假设有m个人（或者m组人），速度v1，一个车，速度v2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。& Y& : v% & E7 L: GT=(S/v2)*(2m-1)v2+v1/v2+(2m-1)v1- L s! Y$ n e3 F- S8 l1 F% _. L M7 nZ. ?% _3 例1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？【浙江2006-41】 h2 U- , Jb1 w; r9 U7 a: U& t# O4 O% e A.5.5小时 B.5小时 C.4.5小时 D.4小时7 F( N7 F: . q x% w+ R8 CZ4 B& v/ L+ |T=(100/40)*3*40+8/40+3*85 V& 9 H+ 1 M S8 b # M例2有甲，乙，丙三个班，步行速度均为4千米/时，一辆公共汽车，汽车速度36千米/时。三个班的学生从学校出发到距学校14千米的科技馆参观，但车上同时只能坐1个班的同学，则三个班预计9：00开始参观，最迟应该（）从学校出发。不考虑上下车的时间。& + P8 f. R) K6 N4 , v5 7 sT=(14/36)*5*36+4/36+5*40 m) _# D5 M9 D( * r d0 s ?! ?0 a: p0 X( 1 L. e“牛吃草”问题简析& U |3 O$ y华图公务员考试研究中心数量关系与资料分析教研室研究员姚璐核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程2 b. v I( i n+ W* 0 e3 T( i: A$ p5 Z. T7 |4 i: e每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”! Q7 T$ k1 E( Q, L; Gb2 g$ y- ! L) r z+ O) V% Q9 G6 Z# |8 $ q; c1 l【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？ K# L) vF/ T$ Y A.3 B.4 C.5 D.6, M/ D# E+ | l5 J1 k【答案】C$ _8 t# a6 p* 6 U* I+ M7 Y2 k【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天/ a( Q7 z1 y( w8 N8 U1 b* f+ a根据核心公式：(10-x)20（15x）10（25x）n （10x）20（15x）10，得x5，代入得n5* B) c& q. j0 O8 c0 F5 t8 ?# i3 k, Q$ s【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20 B.25 C.30 D.350 C. R4 j+ a8 X) Y$ ?【答案】C( 8 B; p/ ?: K8 ?* x# & O【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，) g$ N& a- N3 h* c: A根据核心公式：（10x）20（15x）10（nx）4, : h! N0 _$ % P; _# p6 _ （10x）20（15x）10，得x5，代入得n30) H+ w# q# h. n ?# SQ7 q; K- F7 T) u8 8 Z8 ?; i8 Q! O7 M/ Z, 【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？$ : B& B/ . ; : u) l- 1 F! R9 K8 q H$ |( M J8 nA.50 B.46 C.38 D.35& K5 H5 K2 L% y L% B5 ?8 V5 Z3 8 _. L) s2 h! S u【答案】D- 0 c9 Y1 ! t( R6 S7 m$ Z6 N! 【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n头牛# x9 P1 r9 h) 4 F5 s2 t+ |4 V( G e5 W8 a 根据核心公式：33y（2233x）54，$ k1 A( u8 s5 M) r! F Y+ S9 * D9 B; 5 f2 k8 B5 C5 m 得y（23x）183654x- L5 + r5 x- B* D# l2 ; % e. b( L* A) w 28y（1728x）84，得y（1728x）35184x* & p: x% d( N+ M5 A 解方程，得x1/2，y9， 因此，409（n20）24，得n35，选择D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。5 G0 a- a h& U0 m. W$ y2 Tm! C/ Z* Q* V f5 R0 m3 f$ P! W/ l【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】$ 1 U8 r8 2 K0 B5 Z/ g# c0 f; N; l: i4 |. h4 H0 r) X& XA.5台 B.6台 C.7台 D.8台0 . B, O. W& Y3 r4 G3 q【答案】B, + p6 S3 U6 # B/ ! m【解析】设每分钟流入的水量相当于x台抽水机的排水量，共需n台抽水机0 O6 6 e0 E8 s5 |5 e, n 有恒等式：（2x）40（4x）16（nx）10 解（2x）40（4x）16，得x2/3,代入恒等式，得n6+ D+ W0 o& J/ c, f% t: F7 C, w! Y5 s9 A8 d/ P+ z. % j- 2 G: t: o/ O: t0 b. Y【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】* b; w* x7 7 A, l: P# W: M) u 3 q# |, + kA.16 B.20 C.24 D.288 l0 Z6 t, M: W% y d【答案】C【解析】设每分钟流入的水量相当于x台抽水机的排水量，共需t小时7 T: j( a! W k( + M$ D/ L. ?* c& M, R8 l 有恒等式：（10x）8（8x）12（6x）t! t( U7 L+ C: 1 B. Y 解（10x）8（8x）12，得x4，代入恒等式，得t24% g a Q0 J9 J( WK4 N4 c2 R$ ; sl# g) I- ( + b- L t0 u4 5 - M, Z【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】N( s! q$ R/ ) V2 d% Y TA.2周 B.3周 C.4周 D.5周+ p, d5 # p6 j) 3 z( k【答案】C oB0 h) j9 t, r* y+ R【解析】设每天新生长的野果足够x只猴子吃，33只猴子共需n周吃完6 s) l O5 Z5 ! 4 S 有恒等式：（23x）9（21x）12（33x）n9 U3 I |5 q+ n2 8 C8 Q 解（23x）9（21x）12，得x15，代入恒等式得n4; B! k+ ?3 1 m f+ t J8 c+ F9 c【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】* $ N4 M4 H _3 d; Z7 b% |% o3 u5 T/ P$ Twf7 H A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时0 k7 B: J2 F1 z0 E. b$ i【答案】D! a! O9 6 u5 Yq2 o2 i! 【解析】设共需n小时就无人排队了，（8060）4（80260）x，解得x0.87 c1 wY2 2 K4 O I% U1 8 j ( W& W: F3 m+ X1 r. G* a沿途数车问题样题及详解) b D# Q* P/ D( v. F% r5 & P7 F9 s, f华图公务员考试研究中心 数量关系与资料分析教研室研究员 姚璐# O( 3 O( E) A) x* R% q% z* J) H1 7 |, w6 4 J【例1】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?【分析】假设小明在路上向前行走了60（20、30的最小公倍数）分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。这时在前60分钟他迎面遇到6020=3辆车，后60分钟有6030=2辆车追上他。那么在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，所以发车的时间间隔为：602（3+2）=24（分）【例2】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?% Y8 J2 $ A【分析】公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的。根据每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：5 z j) F& B3 q% O* 间隔=30（车速-步速）；根据每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=20（车速+步速）。所以: 30（车速-步速）=20（车速+步速），化简可得：车速=5倍的步速。* F1 P+ O, k v【注释】, 4 q L6 |5 V2 6 u7 y5 j根据“车速=5倍的步速”和“间隔=30（车速-步速）”或“间隔=20（车速+步速）”可以得到间隔=30（车速-车速5）=24车速，我们也可以得到发车间隔等于24分钟0 b; L+ u, - K8 _$ _1 K! p7 【总结】; R! k; |4 g9 j# G O 核心公式：, |% y9 w3 V% Q. G 两车间距=背后（追及）时间间隔（车速-步速）. c* ?/ Tjq C6 r C( E, w 两车间距=迎面（相遇）时间间隔（车速+步速5 z& b, F3 T! l# 6 V+ R0 p- o x- e4 n& H7 Q! k5 r( u6 T# z! A9 N/ U+ i- A贴瓶问题之易错与正解9 $ h: Y5 ?; z0 a! X五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（ D ）/ A6 G4 / k/ BA.6 B .10 C.12 D.20( P2 M5 zL7 p# f ( W* FX8 Y& v: h3 , s8 t/ u. % & L: N$ cE. a上面这道题目是2007年6月北京社招真题第16题，是一道非常经典的排列组合型题目，在华图整个上半年培训数量资料教研室主任李委明老师的讲义当中第29题便与此题别无二致。虽然并不是特别难，但这里面蕴含着很多值得学习的知识点和容易弄错的知识盲区。; Q# H1 I( 4 Y5 d2 A4 Xj$ u1 0 Bn3 W* B, j |( f标准正解) 0 c& ( o7 w9 p9 k1 j五个瓶子恰好贴错三个，首先，应该从五个瓶子当中挑选出三个出来，并且与顺序是没有关系的（先挑哪个后挑哪个不影响结果），所以应该是 =10种情况。下一步需要贴错标签，三个瓶子贴错标签一共就有两种贴法，比如“ABC”若是完全贴对的顺序，那“BCA”、“CAB”就是两种完全贴错的贴法。再根据“分步用乘法”原理，10*2=20就是正确答案。 |* l- |5 X- P6 X常见错误首先，贴错三个标签就相当于贴对两个标签；然后，第一个瓶子贴对标签有5种可能性，第二个瓶子贴对标签有4种可能性，剩下的标签已经不重要了。所以，我们根据“乘法原理”，有两个标签贴对的可能情况有54=20种。: x V& q F& d& Y1 h. R& h$ r% lj) * 0 w7 Z/ o0 A/ Z& L. X错误原因1、“第一个瓶子贴对标签有5种可能性，第二个瓶子贴对标签有4种可能性”，但这里“5420种”包含了重复的情况。比如说把“第一个瓶子贴对1号瓶，第二个瓶子贴对2号瓶”跟“第一个瓶子贴对2号瓶，第二个瓶子贴对1号瓶”完全一致。因此在这个计算过程当中，需要把算出来的结果除以2。1 g9 O& t% c4 O, f8 % M2、“剩下的标签已经不重要了”这个说法也是不妥的。题目要求是“恰好贴错了三个”，因此不仅仅要求“前面两个贴对”，而且必须要求“后面三个贴错”，因此剩下的标签仍然非常重要。剩下三个瓶子贴标签要贴错有2种贴法（上面已经说过），因此这个过程少乘以一个2了。2 R# U D$ s j0 k; m综合上面两个错误原因，虽然最后答案碰巧正确，但方法却完全错误了。. A- w6 F0 u/ v9 |$ C6 Q习题练习- d* w% Q( O! h2 W) R- G2 Q# 5 F& c( * H7 N; X# X六个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（ D ）) s! M) E6 j0 lA.12 B.20 C.24 D.40正确解答： 2=202=40错误答案：654=120 M; J S, Q6 ; h5 A9 5 m6 m( o2 y6 6 lu. K) q+ o+ U. e e) % n G7 P9 l5 d n3 |# i传球问题终极解决华图公务员考试研究中心 数量关系资料分析教研室主任 李委明/ L: t% z4 H/ 5 |! C$ J例：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式【国2006一类-46】【国2006二类-39】, f* v- I. g1 N. n: J/ V A.60种 B.65种 C.70种 D.75种0 a ?& D1 u- o7 Y d+ Q R: r2 X( Q+ v7 _0 e & b$ a* o* s( i9 o/ 6 g; V. 0 N9 & X3 N# t& o【解一】五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类：4 X: e5 * M* B4 e V- v% p第一类：传球的过程中不经过甲，甲甲，共有方法3222=24种& l, # ) D# b. . P) i8 U& Z/ G/ t B; d$ H; ; j3 C& W7 Q1 z9 g- 第二类：传球的过程中经过甲， 甲甲甲，共有方法3213=18种. 7 ?& L t6 p7 F) b/ N- t! w# f 甲甲甲，共有方法3132=18种( b( B0 6 f( V1 s( O8 B9 j8 Z! v# l6 ?& T7 M 根据加法原理：共有不同的传球方式24+18+18=60种6 v$ t9 k$ I5 v. I8 d8 e4 y7 Q0 u! , N0 L* b0 k$ ?5 t1 X6 b2 d/ g3 ?5 K& j1 p3 d0 q, P- ; m2 v: J【解二】注意到：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法），第N次传回甲手中的可能性就是第N1次不在甲手中的可能性。& G% q t: * 6 n8 m第n次传球, B. 6 I Q: W( g7 C传球的方法& U! L+ r5 X f7 m9 |& T球在甲手中的传球方法) O9 L0 L6 o6 f- 9 X* K+ C- B球不在甲手中的传球方法13/ L* c% ? * z. ?08 c3 S, H% w : WzU( q34 H8 f# U+ 8 v( u; B( f/ B7 3 o* v5 v# M1 h8 |+ F: l) t2936$ % s/ N; + a/ J, h3276214. k/ p) 8 c. z# B, Y8 X812160 c& j0 hU/ V( m r* P q8 Z53 e5 P5 B# D# H Q24360 s! A i/ 7 _) t: d1 z183; r$ a1 S( h$ C6 t% u9 ?% c5 R5 9 # D从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。, N9 ; B9 e+ o. L( E8 n/ L: B) H$ o5 R4 P; H: o3 x1 K0 w( O( g2 【解三】我们很容易算出来，四个人传五次球一共有35=243种传法，由于一共有4个人，所以平均传给每一个人的传法是2434=60.75，最接近的就是60，选择A。! L1 b% j- % P0 O6 L! I% A- m% S3 W/ v! P V传球问题核心注释& f1 v- k1 % M. / 这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。【解一】是最直观、最容易理解的，但耗时耗力并且容易错，稍微变动数字计算量可能陡增；【解二】操作性强，可以解决这种类型的各种问题，但理解起来要求比较高，具体考场之上也比较耗时；【解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发-传球问题核心公式) K a9 P W: Y# N个人传M次球，记传球公式：N个人传M次球，记 X=(N-1)M)/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。比如说上例之中，X=(41)5/4=60.75，最接近的整数是61，第二接近的整数是60，所以传回甲自己的方法数为60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为61。% C2 W! c% N4 2 M; b0 w% P: M7 L- z2 v8 A; 8 x! X0 题：某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅游行程安排的方式？.204 .205 . 819 .8203 7 a6 ) b6 u9 w3 M* 【答案】C 【解析】相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”， X=(51)6/5=819.2，与之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市则有820种方法，去另外一个城市则有819种方法。7 _ b& V3 K$ |% M; L- b$ E$ / d6 $ P“儿子分财产”问题简析5 z% 8 e, g3 c1 l, o% m华图公务员考试研究中心 数量资料教研室主任 李委明- I% W# V; c. n3 e_5 l. l6 s) J$ h8 k父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子?（ ）6 k( t, s9 l% 1 ?) O8 d( q$ x2 7 Sn1 w/ h* t6 dkA. 6 B. 8 C. 9 D. 10 i. + Z8 ?& D4 e( K: m_4 & S3 k* g! r5 O+ w7 p* e S; c$ X7 U) p上题是2004年A类国考行测真题第44题，有过一定复习的考生对此一定不会陌生，此题也是很多考生为之头痛的一题。限于篇幅，我在这里简要的解析一下。; T9 A; D9 Y8 h& n3 b/ A+ W% u( , C1 H$ B6 i! ?; J5 X( j, T! v. j6 m/ E: v. o8 i1 C+ 第一步：假设一共有N个儿子，那么按照规定，第N个儿子应该“拿走N份财物和剩下的十分之一”，但第N个儿子是最后一个儿子，所以他拿了之后不应该还有剩余，所以实际上，他拿了“N份财物”之后就只剩余“0份财物”了，即他只拿了“N份财物”。7 G, s- k% ) h$ h. D/ ?: o; _+ J2 Y; S3 B0 p7 z1 X qB) * f K4 C# C& b$ M5 D第二步：由于“所有儿子拿到的财物都一样多”，所以每个儿子都拿了“N份财物”。而儿子一共是N个，所以财物总的份数应该就是NN=N2份。 A& l- w, Q. u, D: g. r5 . A& s7 P) t: ) K, t8 G# d1 F H! N) w0 x) J3 d( A3 - a# zE第三步：思考第一个儿子应该是“拿一份财物和剩下的十分之一”，他拿之前是N2份，那他应该实际拿了“1(N2-1)/10”份。根据我们第二步的推导，他也应该拿了“N份财物”，所以得到“1(N2-1)/10=N”可解得“N=9”9 c3 S- w2 v! q( P4 i# Z总结：, V# ?+ t; ! 6 I$ ?! 一、 碰到此类复杂的数学应用题，当不好着手的时候，一定要学会“从特殊着手”原则。显然众多儿子当中，第一个和最后一个相对比较特殊，而中间的儿子几乎无法下手。. l- C# M8 n* ?$ I9 J+ k二、 到了“第三步”最后计算的时候，其实可以学会“数字特性排除法”，即我们可以不用解那个一元二次方程，只需要观察，等式右边是整数，那么左边也应该是整数，所以(N2-1)应该是10的倍数，即N2尾数应该是1，而选项当中只有C的平方尾数为1。! 5 U4 t3 S2 t- L. Y2 H+ |2 3 Z% U- V) U Z- K- U8 B. B/ O* E4 c) w$ 用一则寓言故事破解抽屉原理华图公务员考试研究中心 数量关系与资料分析教研室研究员 郭亮# v8 Y6 f3 _4 I2 A0 ! M3 s“任意367个人中，必有生日相同的人。”7 _+ t: J2 I h7 m9 ! O! |7 |8 o2 b. f7 bI“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，.，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”. .& jU& I8 M3 S2 r大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：3 S2 p, g4 j. V) J$ u, S. G% E$ A+ p8 T/ I2 B S6 “把m个东西任意分放进n个空抽屉里（mn），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”/ s# h: m# R* H8 L8 m. T% i) w比如一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。G0 + E( c0 O/ M那么对于公务员考试，抽屉原理有哪些应用呢？让我们来看一道国考的真题。8 L, |- N- H# q! z! G( xm7 Z6 X6 L（国04B类题48）：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？（）* s2 g( 2 C, V8 q8 M5 O# g2 _/ + A. 3 B. 4 C. 5 D. 6( S1 Z* X; _9 u7 o8 y/ z6 G9 7 u【解析】这是一道典型的抽屉原理，只不过比上面举的例子复杂一些，仔细分析其实并不难。解这种题时，要从最坏的情况考虑，所谓的最不利原则，假定摸出的前4粒都不同色，则再摸出的1粒（第5粒）一定可以保证可以和前面中的一粒同色。因此选C。8 T2 i4 S. R5 Z8 F7 X! ( _ p* y5 P0 . y T/ w. 传统的解抽屉原理的方法是找两个关键词，“保证”和“最少”。7 A4 K1 H0 p, M4 I7 ) 9 L* X8 Z/ T* j! t8 保证：5粒可以保证始终有两粒同色，如少于5粒（比如4粒），我们取红、黄、蓝、白各一个，就不能“保证”，所以“保证”指的是要一定没有意外。! j) k/ Z3 P, s( S# J( 最小：不能取大于5的，如为6，那么5也能“保证”，就为5。这种传统的解抽屉原理的方法对于一部分考生很容易理解，但是对于有些考生接受起来就要相对困难，这并不是智商的差异，而是人的思维方式不同，接受新事物新方法的能力也不同。所以在这里，本文再介绍一种用寓言故事解决抽屉原理问题的方法。8 l% a3 L) nW7 z+ n2 J% D+ - U 传说很久以前，古希腊有一位智者被囚禁于敌对国家的城池中，这个国王为了考验智者的聪明才智，给了智者一个装有不同颜色小球的袋子，要求智者每天给国王献上一个小球，但是如果小球的颜色与之前献上小球的颜色相同，便处死智者。智者回去摊开所有小球将其按不同的颜色归类，发现一共有16种颜色的小球，他便每天献上一个不同颜色的小球，而国王便将每天献上的小球摆在书桌上，以检验有无重复的颜色。在这些日子里，智者凭借出色的智谋，将重要的情报通知到祖国，半个月后大兵压境，一举踏平了敌国，智者成为了破敌的最大功臣。故事看起来很简单，但却给了我们一种考虑问题的方式。当我们拿到一个抽屉原理的题目的时候，就可以去设想这样的一个情景：国王将你（或决定聪明的人）关押，给你一袋球，发给国王，当国王拿到两个同色的球时就处死你（或他），问你怎么发给国王？（前提是你们都不想死） N4 p8 d! Z3 pl s5 Q5 N+ _+ t. o! # A( D1 . T+ a所以你很快就能得到上面04年国考题目的答案。再让我们看一道真题的例子：7 o d& N- m w% a9 R6 fW/ J( zF# z（国07一类题49，P20）：从一副完整的扑克牌中至少抽出( )张牌.才能保证至少 6 张牌的花色相同。3 i$ J2 * 0 ! x A. 21 B. 22 C. 23 D. 24# x- S( k+ H0 A, P A. D4 y同样设想情景：国王将你关押，给你一副牌，每天发一张给国王，当国王拿到6张相同的花色时就处死你，问你怎么发给国王？这时别无选择的你只能拖延时间，那么肯定要先抽俩王，然后每花色抽5张，这样一共能够拖延22天，而第23张便是我们的答案。选C。5 e2 m- A q6 |/ j. t QG kv5 |6 $ F6 / t/ A1 _这样换位思考的方法，对于一部分理解传统方法有困难的考生应该会有帮助。其实解决一道题目可以有很多种方法，有很多种思维方式，为了能将题目做的又快又好，我们可以动用我们能够利用的一切资源，包括身边的例子、寓言故事等等，找到最适合自己理解题目的方法，将题目做对，从而战胜公务员考试。5 R4 F1 F+ a9 K# ! R* v) K# M z8 z! F- W) |( ?5 J: a2 j9 i& E3 8 _% c1 I! ?3 O8 I3 Z; 2 两集合问题通解公式R1 B, Y# i6 a8 ?% e1 U# Y1 z# d- G华图公务员考试研究中心 数量关系资料分析教研室主任 李委明6 d) d. ?0 D, p# Q% |* U$ s3 P! Z% V4 w$ Q0 ?4 p# . h- 6 t6 * f) |, m; B; n% u % x& w: J E0 9 w7 B; G. g( H【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人( C; j, z/ G6 |& E) H i, Z h2 F- K0 z8 Z/ aA.27人 B.25人 C.19人 D.10人/ E Z2 2 q. L/ 9 x2 W2 V% S2 jL& V/ Q. MJ, E; _# n& D9 a4 e9 J上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：“满足条件一的个数”“满足条件二的个数”“两者都满足的个数”“总个数”“两者都不满足的个数”) c3 f( W( I K / , r0 h- & 6 O: d8 W- U+ M* I: N. B: y- ?) d+ 3 U9 U例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4