全国版高考数学第二章定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课时提升作业理.docx

定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016长沙模拟)定积分(3x+ex)dx的值为()A.e+1B.eC.e-D.e+【解析】选D.(3x+ex)dx =+e-1=+e.2.(2016石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=x+4-(x2-x+1)dx=(-x2+2x+3)dx=.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016太原模拟)定积分|x2-2x|dx=()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.|x2-2x|=|x2-2x|dx=(x2-2x)dx+(-x2+2x)dx=+=8.【加固训练】若f(x)=则f(x)dx=()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.f(x)dx=(x3+sinx)dx+2dx=0+2x=2.4.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于()A.0B.4C.8D.16【解题提示】利用偶函数的图象关于y轴对称,f(x)dx对应的几何区域关于y轴对称,其可表示为2f(x)dx.【解析】选D.原式=f(x)dx+f(x)dx,因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等,即f(x)dx=2f(x)dx=82=16.5.若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】选B.S1=x2dx=x3=23-=,S2=dx=lnx=ln2,S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1),ln 2lne=1,且2.5e(e-1),所以ln2e(e-1),即S2S11),则a的值为()A.2B.3C.4D.6【解析】选A.因为dx=(x2+lnx)=a2+lna-1-0=3+ln2,所以a=2.7.一物体受到与它运动方向相反的力:F(x)=ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于()A.+B.-C.-+D.-【解析】选D.由题意知W=-dx=-=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016泉州模拟)已知正方形ABCD,点M是DC的中点,由=m+n确定m,n的值,计算定积分sinxdx=.【解析】如图,=m+n=-+,sinxdx=-cosx=1.答案:19.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为.【解析】画出草图,如图所示.解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).答案:【一题多解】解答本题还有如下解法:若选积分变量为y,则三个函数分别为x=y2,x=2-y,x=-3y.因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=(2-y)-(-3y)dy+(2-y)-y2dy=(2+2y)dy+(2-y-y2)dy=(2y+y2)+=-(-2+1)+2-=.答案:【加固训练】已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0),函数y=xf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为.【解析】y=f(x)的图象如图所示.可求得y=f(x)=所以xf(x)=所以所求面积为S=10x2dx+dx=x3+=+-(-+5)=.答案:10.若m1,则f(m)=dx的最小值为.【解析】f(m)=dx=m+-54-5=-1,当且仅当m=2时等号成立.答案:-1【加固训练】已知f(a)=(2ax2-a2x)dx,则f(a)的最大值为.【解析】f(a)=(2ax2-a2x)dx=(ax3-x2)=-a2+a=-(a-)2+,所以当a=时f(a)取得最大值.答案:(20分钟40分)1.(5分)若f(x)=则f(2014)=()A.B.C.D.【解析】选C.f(2014)=f(2014-5402)=f(4)=f(4-5)=f(-1)=2-1+cos3tdt.因为cos3tdt=sin3t=,所以f(2014)=2-1+=.2.(5分)(2016郑州模拟)由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为()A.B.C.+ln 3D.4-ln 3【解析】选C.如图由xy=1得y=.由得xD=1,所以曲边四边形的面积为xdx+dx=x2+lnx=+ln3.3.(5分)设函数f(x)=ax2+c(a0),若f(x)dx=f(x0),0x01,则x0的值为.【解析】f(x)dx=(ax2+c)dx=a+c=f(x0)=a+c,所以=,x0=.又因为0x01,所以x0=.答案:4.(12分)已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f(0)=0,f(x)dx=-2.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在-1,1上的最大值与最小值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f(0)=0,得即所以f(x)=ax2+2-a.又f(x)dx=(ax2+2-a)dx=2-a=-2.所以a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)因为f(x)=6x2-4,x-1,1.所以当x=0时,f(x)min=-4;当x=1时,f(x)max=2.5.(13分)如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.【解析】由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线斜率是k1=y|x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y|x=3=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.设两切线相交于点M,由消去y,得x=,即点M的横坐标为.在区间上,直线y