高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案.docx

112四种命题113四种命题间的相互关系1了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题2理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假1四种命题(1)原命题与逆命题(2)原命题与否命题(3)原命题与逆否命题2四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题()(2)两个互逆命题的真假性相同()(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有()答案：(1)(2)(3) “若x21，则x1”的否命题为()A若x21，则x1 B若x21，则x1C若x21，则x1 D若x1，则x21答案：C 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B 命题“若|a|b|，则ab”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0 B1C2 D4解析：选C原命题是假命题，则逆否命题也是假命题逆命题：若ab，则|a|b|，是真命题，因此否命题也是真命题所以四个命题中真命题的个数为2 命题“若a1，则a0”的逆命题是_，逆否命题是_答案：若a0，则a1若a0，则a1探究点1写原命题的其他三种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x2时，x23x20【解】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等(2)原命题：若x2，则x23x20；逆命题：若x23x20，则x2；否命题：若x2，则x23x20；逆否命题：若x23x20，则x2写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论(2)将命题写成“若p，则q”的形式(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题注意如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变 1原命题“若x3，则x0”的逆否命题是()A若x3，则x0 B若x3，则x0C若x0，则x3 D若x0，则x3解析：选C易知原命题的逆否命题是“若x0，则x3”2(2018山东济南外国语学校高二(下)期中考试)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则abD若|a|b|，则ab解析：选D条件“ab”和结论“|a|b|”互换后得到逆命题：若|a|b|，则ab故选D探究点2 四种命题的关系及真假判断下列命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题其中是真命题的是_【解析】“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题，所以真命题是【答案】(1)四种命题关系判断的两个要领在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题(2)判断四种命题真假的方法要正确理解四种命题间的相互关系正确利用相关知识进行判断推理若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)若q，则方程x23xq0有实根；(2)若ab0，则a，b中至少有一个为0解：(1)逆命题：若方程x23xq0有实根，则q真命题否命题：若q，则方程x23xq0无实根真命题逆否命题：若方程x23xq0无实根，则q真命题(2)逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab0真命题否命题：若ab0，则a，b均不为0真命题逆否命题：若a，b均不为0，则ab0真命题探究点3等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集是空集，则a2”的真假【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a2，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集”判断真假如下：抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，因为a2，所以4a70，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真等价命题的应用原则(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视 证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba又因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)，则ab”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A0 B1C2 D4解析：选C互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为实数，若ab，则”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题5(2018宝鸡高二检测)有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题为()A BC D解析：选C逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，真命题；否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；当q1时，44q0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题故选C6(2018泉州高二检测)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_ 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”答案：若方程x2xm0没有实根，则m07在命题“若数列an是等比数列，则an0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题答案：28给定下列命题：若k0，则方程x22xk0有实数根；若xy8，则x2或y6；“矩形的对角线相等”的逆命题；“若xy0，则x，y中至少有一个为零”的否命题其中真命题的序号是_解析：中，当k0时，224k44k0，故方程有实根，为真命题；中，其逆否命题为“若x2且y6，则xy8”为真，故原命题亦真；中，其逆命题为“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形”为假命题；中，否命题为“若xy0，则x，y全不为零”为真命题，故为真命题的序号是答案：9写出命题“若x2y20，则x，y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若x，y全为0，则x2y20，是真命题；否命题：若x2y20，则x，y不全为0，是真命题；逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20，是真命题10已知命题p：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0无解”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假解：(1)命题p的否命题为：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0有解”(2)命题p的否命题是真命题判断如下：因为ac0，所以ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有两个不相等的实根ax2bxc0有解，所以该命题是真命题B能力提升11原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：选Aanan1anan为递减数列原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A12已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得，若1x2成立，则m1xm1也成立，所以所以1m2答案：1，213主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了”主人听了，随口说了句：“该来的没有来”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了”李四听了大怒，拂袖而去请你用逻辑学原理解释二人离去的原因解：张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的李四走的