2018_2019高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术几何平均数学案.docx

1.1.3 三个正数的算术几何平均数预习案一、预习目标及范围1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题二、预习要点教材整理1三个正数的算术几何平均不等式1如果a，b，cR，那么a3b3c3 3abc，当且仅当 时，等号成立2定理3：如果a，b，cR，那么 ，当且仅当 时，等号成立即三个正数的算术平均 它们的几何平均教材整理2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1a2an时，等号成立教材整理3利用基本不等式求最值若a，b，c均为正数，如果abc是定值S，那么 时，积abc有 值；如果积abc是定值P，那么当abc时，和 有最小值三、预习检测1.已知a，b，c为正数，则有()A最小值为3B最大值为3C最小值为2D.最大值为22.设x0，则yx的最小值为()A2 B2C3D.33函数f(x)5x(x0)的最小值为_.探究案一、合作探究题型一、证明简单的不等式例1 设a，b，c为正数，求证：(abc)227.【精彩点拨】根据不等式的结构特点，运用abc3，结合不等式的性质证明再练一题1设a，b，c为正数，求证：(abc)381.题型二、用平均不等式求解实际问题例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即Ek.这里k是一个和灯光强度有关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？【精彩点拨】根据题设条件建立r与的关系式，将它代入Ek，得到以为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值再练一题2制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？题型三、利用平均不等式求最值例3已知xR，求函数yx(1x2)的最大值【精彩点拨】为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2x2(1x2)2x2(1x2)(1x2)2x2(1x2)(1x2)，求出最值后再开方再练一题3若2ab0，试求a的最小值.二、随堂检测1已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3B2C12D122若ab0，则a的最小值为()A0 B1 C2 D.33函数y4sin2xcos x的最大值为_，最小值为_参考答案预习检测：1.【解析】33，当且仅当，即abc时，取等号【答案】A2.【解析】yx33，当且仅当时取“”号【答案】D3.【解析】f(x)5xxx315.当x，即x2时取等号【答案】15随堂检测：1.【解析】x2y3z6，2x4y8z2x22y23z3312.当且仅当2x22y23z，即x2，y1，z时，等号成立【答案】C2. 【解析】a(ab)b33，当且仅当a2，b1时取等号，a的最小值为3.故选D.【答案】D3.【解析】y216sin2 xsin2xc