2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式练习.docx

二 一般形式的柯西不等式,学生用书P45)A基础达标1设a，b，c为正数，且ab4c1，则的最大值为()ABC2 D3解析：选A.由柯西不等式，得()2()2()2()21，所以，当且仅当2时，等号成立故选A.2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A1 B2C1 D 不确定解析：选A.因为(a1x1a2x2anxn)2 (aaa)(xxx)111，当且仅当aikxi (i1，2，n)时，等号成立，所以a1x1a2x2anxn的最大值是1.故选A.3已知x23y24z22，则|x3y4z|的最大值为()A2 B4C6 D8解析：选B.由柯西不等式知(x23y24z2)(134)(x3y4z)2，又x23y24z22所以28(x3y4z)2.所以|x3y4z|4.当且仅当x，即xyz时取等号4设a，b，cR，abc6，则的最小值为()A1 B4C6 D9解析：选C.由柯西不等式得(abc)()2()2()236.即636.所以6.故选C.5已知实数x，y，z满足2xy2z60，x2y2z24，则2xyz()A BC D2解析：选B.因为实数x，y，z满足2xy2z60，所以2xy2z6.由柯西不等式可得(x2y2z2)22(1)2(2)2(2xy2z)236，所以x2y2z24.再根据x2y2z24，可得x2y2z24.故有，所以x2y，z2y.再把x2y，z2y代入2xy2z60，求得y，则2xyz4yy2yy.6已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析：因为a2b3c6，所以1a12b13c6.所以(a24b29c2)(121212)(a2b3c)236，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号答案：127已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时等号成立又2x3yz8，解得：x，y，z，所求点为.答案：8已知x，y，zR，xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式，因为(xyz)36，所以36，当且仅当x，即x，y，z时，等号成立综上可知，的最小值为36.答案：369设xyz1，求H2x23y2z2的最小值解：因为xyzxy1z，所以由柯西不等式得：(xyz)2(2x23y2z2)，即H1，解得H，等号成立的条件为解得x，y，z.此时，H.综上所述，H的最小值为.10已知|x2y3z|4(x，y，zR)(1)求x2y2z2的最小值；(2)若|a2|(x2y2z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为(x2y3z)2(122232)(x2y2z2)，且|x2y3z|4(x，y，zR)，所以x2y2z2，当且仅当时取等号即x2y2z2的最小值为.(2)因为x2y2z2的最小值为，所以|a2|4，所以4a24，解得6a2，即a的取值范围为6，2B能力提升1设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()ABC D解析：选C.由柯西不等式得，(a2b2c2)，当且仅当时等号成立因为a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，所以等号成立所以.所以.故选C.2边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径R为1，若s，t，则s与t的大小关系是_解析：由已知得absin C，2R2.所以abc1，所以abbcca，由柯西不等式得(abbcca)()2，所以()2.即.当且仅当abc1时等号成立当abc时，三角形ABC的面积为，不满足题意，所以st.答案：st3设x1、x2、xnR且x1x2xn1，求证：.证明：(n1)()(1x11x21xn)()()2()2()2()2()2()2()2(x1x2xn)21，所以.4已知正数x，y，z满足5x4y3z10.(1)求证：5.(2)求9x29y2z2的最小值解：(1)证明：根据柯西不等式，得(4y3z)(3z5x)(5x4y)(5x4y3z)2，当且仅当时，等号成立，因为5x4y3z10，所以5.(2)根据基本不等式，得9x29y2z2223x2y2