高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11_1 随机事件的概率课件 文 新人教版

11.1 随机事件的概率 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.概率和频率 知识梳理 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次 试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比 例fn(A)_为事件A出现的 . (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事 件A发生的 会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这 个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个 称为随 机事件A的概率，记作P(A). 频数 频率 频率 常数 2.事件的关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称 事件B 事件A(或称事件A包含于事件B) _ _ 相等关系 若BA且AB _ 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发 生，称此事件为事件A与事件B的 (或 和事件) AB (或AB) 包含 BA (或AB) AB 并事件 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当 且 ， 则称此事件为事件A与事件B的 (或积 事件) AB(或AB) 互斥事件 若AB为不可能事件(AB)，那么称事件 A与事件B互斥 AB 对立事件 若AB为不可能事件，AB为必然事件，那 么称事件A与事件B _ _ 事件A发生事件B发生 交事件 互为对立事件 P(A)P(B)1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E) . (3)不可能事件的概率P(F) . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) . (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) . 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1P (B) 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发 生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求 二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况， 而互斥事件未必是对立事件. 知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.( ) (6)两互斥事件的概率和为1.( ) 思考辨析 考点自测 1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b， 则ba的概率是 答案解析 基本事件的个数有5315， 其中满足ba的有3种， 2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次” 是答案解析 A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件 D.无法确定 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生， 正面向上5次是随机事件. 3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率 为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同 学的身高超过175 cm的概率为答案解析 A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 因为必然事件发生的概率是1， 所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3，故选B. 0答案解析 5.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有 1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红 球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件 中，是对立事件的为_. 答案解析 是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件. 题型分类 深度剖析 题型一 事件关系的判断 例1 (1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是 A. B. C. D. 答案解析 中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”， 而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件： “两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”， 故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其 余都不是对立事件. (2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案解析 若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件， 再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.设掷一枚硬币3次， 事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”， (3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”， “两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件. 答案 解析 A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不 发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个 事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为 对立事件，对立事件一定是互斥事件. 思维升华 跟踪训练1 下列命题： 将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有 一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件； 若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件； 若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件； 若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件. 其中，真命题是 A. B. C. D. 答案解析 对，将一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正 ，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件， 故错； 对，对立事件首先是互斥事件，故正确； 对，互斥事件不一定是对立事件，如中两个事件，故错； 对，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发 生，故正确. 题型二 随机事件的频率与概率 例2 (2016全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险 种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的 关联如下： 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统 计表： 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的 估计值； 解答 出险次数012345 频数605030302010 事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 故P(A)的估计值为0.55. (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本 保费的160%”，求P(B)的估计值； 解答 事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 故P(B)的估计值为0.3. (3)求续保人本年度的平均保费的估计值. 解答 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.05 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.10 2a0.051.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是 一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有 时也用频率作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发 生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 思维升华 跟踪训练2 (2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买 甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示 购买，“”表示未购买. 商品 顾客人数 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 解答(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； 从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙 和丙， 解答(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； 从统计表可以看出，在这1 000位顾客中， 有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙， 其他顾客最多购买了2种商品. (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的 可能性最大？ 解答 与(1)同理，可得： 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率 例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一 球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿 球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？ 解答 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸 到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有 所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个). 所以黑球有124323(个). 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 命题点2 对立事件的概率 例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1 张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； 解答 (2)1张奖券的中奖概率； 解答 1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC. A，B，C两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C) (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解答 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两 种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公 式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类 太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即 “正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率. 思维升华 跟踪训练3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率 如下： 解答 排队人数012345人及5人以上 概率0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率. 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排 队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为 事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、 E、F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC， 所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56. (2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H， 则HDEF， 所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G， 所以P(H)1P(G)0.44. 典例 (12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一 名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 . 用正难则反思想求互斥事件的概率思想与方法系列22 一次购物量1至4件5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人)x3025y10 结算时间(分钟/人)11.522.53 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率 )思想方法指导 规范解答 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少， 则可用“正难则反”思想求解. 解 (1)由已知得25y1055，x3045， 所以x15，y20. 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为 1.9(分钟). 6分 (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”， A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为3分钟”， 课时作业 1.(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概 率是 ，则甲不输的概率为 答案解析 12345678910 11 12 13 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件， 2.(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1 个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球 和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为 A. B. C. D. 答案 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生. 中两事件是对立事件. 12345678910 11 12 13 3.(2016安阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等 品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A) 0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概 率为 A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5 答案解析 12345678910 11 12 13 “抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件， 所求概率P1P(A)0.35. 4.(2016襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一 地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲 向南”与事件“乙向南”是 A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 答案 解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的， 故是互斥事件，但不是对立事件，故选A. 12345678910 11 12 13 5.(2016蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概 率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3 答案 解析 由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为10.30.50.2， 又0.50.20.7， 重量不小于30克的概率为0.7. 12345678910 11 12 13 6.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样 检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根 据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等 品，在区间15,20)和25,30)上的为二等品， 在区间10,15)和30,35)上的为三等品.用频率 估计概率，现从该批产品中随机抽取一件， 则其为二等品的概率为 A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 12345678910 11 12 13 答案解析 设区间25,30)对应矩形的高为x， 则所有矩形面积之和为1， 即(0.020.040.060.03x)51， 解得x0.05.产品为二等品的概率为0.0450.0550.45. 12345678910 11 12 13 7.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： 在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； 在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； 在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品. 其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机 事件. 答案 12345678910 11 12 13 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之 间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中； 再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如 下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_. 答案 解析 0.25 12345678910 11 12 13 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393 ， 以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 12345678910 11 12 13 9.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a ，P(B)4a5，则实数a的取值范围是_. 由题意可知 答案 解析 12345678910 11 12 13 9 12345678910 11 12 13 答案 解析 11.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车 辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000 车辆数(辆)500130100150120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概 率； 12345678910 11 12 13 解答 设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000 元”，以频率估计概率得 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付 金额为3 000元和4 000元， 所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27. 12345678910 11 12 13 (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样 本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获 赔金额为4 000元的概率. 解答 12345678910 11 12 13 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由频率估计概率得P(C)0.24. 由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆) ， 123