高中数学第四章导数应用1_1导数与函数的单调性课件北师大版选修1_1

第四章 1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 观察下列各图，完成表格内容 函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性 正_1，)上单调_ _R上单调_ 正 正正 递增 递增 _负(0，)上单调_ _(0，)上单调_ _(，0)上单调_ 负 负负 负负 递减 递减 递减 梳理 一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上 (1)如果f(x)0，则f(x)在该区间上是增加的. (2)如果f(x)0 0 角_单调_ 0(f(x)0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f(x)0，(x2)20. 由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)； 由f(x)0， 根据导数与函数单调性的关系， 可得函数f(x) 在区间(0，2)上是单调递增函数. 利用导数证明不等式的一般步骤 (1)构造函数：F(x)f(x)g(x). (2)求导：F(x)f(x)g(x). (3)判断函数的单调性. (4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)g(x)；若F(x)在区间上 的最大值小于等于0，则f(x)g(x). 反思与感悟 解答 则cos x0(或f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： (2)若函数g(x) f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围. 解答 由已知函数g(x)为1，2上的单调减函数，则g(x)0在1，2上恒成立 ， 当堂训练 1.f(x)(x3)ex的单调递增区间是 A.(，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，) 23451 f(x)ex(x3)ex(x2)ex0， 解得x2. f(x)的单调递增区间是(2，). 答案解析 2.函数yf(x)在定义域( ，3)内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导 函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是 23451 答案解析 23451 求f(x)0的解集， 即求函数f(x)在( ，3)上的单调减区间. 由题干图像可知yf(x)的单调减区间为 ，1，2，3). 函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的， f(x)3x24xm0在R上恒成立， 则判别式1612m0，即m 23451 3.若函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，则m的取值 范围是 答案解析 23451 4.若函数yf(x)a(x3x)的单调减区间为 ，则a的取值范围 是_. 答案解析 (0，) yaxln aln aln a(ax1)， 当a1时，因为ln a0，ax1， 所以y0且a1，证明：函数yaxxln a在(，0)上是减少的. 证明 规律与方法 1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小 反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导