《B高数强化》word版.doc

高等数学强化教案第一讲 极限综述：定义与性质，函数极限的计算，数列极限的计算，应用一、定义与性质1、极限的定义及其考法 考法例：证明：若单调数列xn的某一子数列xn收敛于A，则该数列xn必收敛于A. 2、 性质及其考法局部有界性 M .局部保号性A.取最大值 B.取极大值 C.为拐点二、函数极限的计算综述：（1）化简先行（变量替换，恒等变形等）；（2）判别类型; （3）使用工具（洛必达公式，泰勒公式）；（4）注意事项（学会总结）例：求下列极限.三、数列极限的计算(1)通项已知且易于连续化，用归结原则.(2) 通项已知但不易于连续化，用夹逼准则（定积分定义，级数求和等）.(3) 通项由递推式给出的,用单调有界准则.4、 极限的应用1. 用于无穷小比阶.求a,b,k .重要结论:2. 用于判别连续与间断.第二讲 一元函数微积分学综述: 1.定义 2.计算(求导数,求积分) 3.应用(几何应用,物理应用,经济应用) 4.逻辑推理(中值问题,不等式问题,零点问题)1、 定义1、 导数定义及其考法;考法: 1)具体型问题(易); 2)半具体半抽象型问题(中); 3)抽象问题(难).在.2、微分定义 y= f (x)= 例：为0.1 ，3、 不定积分. 2)原函数存在定理: (c)关于振荡间断点的原函数是否存在问题,只需具体计算:4、 定积分.1） 例1 ： 在1,2上: A.连续的奇函数 B.连续的偶函数 C. x = 0为间断点的奇函数D. x = 0为间断点的偶函数 (2) 周期性(3) 有界性5、 定积分的精确定义：(1)(2) n等分、取右端点(3) 新颖6、变限积分7. 反常积分(2) 判别依据二、计算.1、求导.2、求积分综述:凑微分法,换元法,分部积分法,有理函数积分法.三、 应用.几何应用1、 导数(极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线)(a) 极值点与单调性1）判别极值的“一阶”充分条件2） 判别极值的“高阶”充分条件(b) 拐点与凹凸性1） 判别拐点的“二阶”充分条件2） 判别拐点的“更高阶”充分条件 (c) 渐近线-求解程序1）找y(x)的无定义点或定义区间的端点，计算 是否为无穷大，若是，则X=x0为铅垂渐近线，反之亦反.则转向3)Y=ax+b为斜渐近线.（d）最值点比较其值. 2、积分(测度长度,面积，体积)的应用轴旋转一周所得旋转体体积V .物理应用.经济应用4、 逻辑推理中值定理 x 不等式证明 方程根 1. 中值定理问题（研究对象的复杂化，区间的复杂化），证明存在不同的2. 方程根问题至多k+1个根（罗尔，）3.不等式本质：利用导数研究单调性的问题应用：1、 物理应用(理工类同学)静水压力抽水做功质点引力第三讲 多元函数微分学1、概念2、计算微分法3、应用极值与最值一、概念1、极限的存在性第一种定义：设二元函数 是D的聚点。如果存在常数A，对于任意给定的正数，时，都有 成立，那么就称常数A 以上是按集合论知识（以点集趋向方式）定义多元极限，通俗来说，只要（x,y)是有定义的，邻域内的无定义点，所以第二种定义：若二元函数f(x,y)在(x0,y0)的去心邻域内有定义，且(x,y)以任意方式趋向于(x0,y0) 时， 【注】除洛必达法则、单调有界准则、穷举法可照搬一元函数求极限的方法。如等价无穷小替换无穷小乘以有界=无穷小夹逼准则此外，关于累次极限，要与上边讲到的极限区分开来（变量的趋向是有先后顺序的）：2、 连续性【注】：若上式不相等，则称 f (x, y)不连续（间断），但多元函数不讨论间断类型。3、偏导数的存在性定义：4、 可微性z= f（x，y） 判断可微性的步骤： 例题：设连续函数z = f (x, y)满足 5、 偏导数的连续性设 z = f (x, y)，用定义求用公式求，若同时成立，函数在(x0,y0)处偏导数是连续的 .逻辑关系： 二、计算（多元微分法）1、链式求导规则2、无论z对谁求导，也无论z已经求了几阶导，求导后的新函数任然具有与原函数完全相同的复合结构.3、注意书写规范例题2 已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，3、 应用极值与最值1、 理论依据 z = f (x, y)，函数取极值的必要条件【注】 1）适用于三元及以上 2）非充分条件极值点 1）在驻点中找 2)在不可偏导点找 函数取极值的充分条件【注】此方法不适用于三元及以上条件极值与拉格朗日乘数法问题提法：求目标函数u 1） 构造辅助函数为五个独立变量。根据实际情况必存在最值，所得即所求。2、 例题分析例题1：设 f (x, y)在点(0,0)处取得极小值，求的取值范围。例题2：求在约束条件下的最大值。【注】总的来说，解无定法，观察得之。观察的方法：变量的对称性法（如x=y,x=-y) 特殊取值试探(如=0）将中的消去，得x，y的关系,带入中。第四讲 二重积分综述：一、概念与性质二、计算结构（基础题和技术题）基础题：直角系、极系技术题：换序、对称性、形心公式的逆用3、 综合题一、概念与性质1、概念比较2、 对称性 1）普通对称性 A.0 B. C. D. 其中，D1为在 D第一象限的部分. 2） 轮换对称性叫轮换对称性.2、 计算1、基础题1）直角坐标系：2)极坐标系：2、技术题3）换序4）对称性（见前边）5）形心公式的逆用若D为规则图形，3、 综合题分析提示：点火公式：第五讲 微分方程综述：1、概念及其应用2、一阶方程的求解3、高阶方程的求解1、 概念及其应用2、阶数方程中y的最高阶导数的阶数。 3、通解解中所含独立常数的个数=方程阶数。二、一阶方程的求解1、变量可分离型【注】ln*，*不知正负，积分出来一定要加绝对值号， y=1,y=-1 也是解 丢解但不丢分在非线性系统中，通解不等于全部解。y=1,y=-1是奇解。在线性系统中，通解一定是全部解。2、 齐次型 通过变量替换，令，就化为变量可分离型了。3、 一阶线性型已知【注】尚有两种类型的方程，貌似二阶，实可降阶。 三、高阶方程的求解1、齐次的：为常数y+ py+ qy=0 ,p q为常数则首项系数为1的该方程为_.2、 非齐次的：非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的特解y* 第六讲 无穷级数综述：1、数项级数的判敛2、幂级数的收敛域3、展开与求和引言1、 概念（本质）2、 分类常数项级数：函数项级数：一、数项级数的判敛 例题1：判别下列级数的敛散性例题2：判别二、幂级数的收敛域1、幂级数 2）目标：）目标：找到所有的收敛点的集合 收敛域2阿贝尔定理3、 求收敛域的程序（统一） 三、展开与求和1、展开第七讲 傅里叶级数综述：1、狄氏收敛性定理2、函数展开成傅氏级数1、 狄氏收敛性定理1连续或只有有限个第一类间断点2只有有限个极值点 其中，第一种情况中x为连续点，第二种情况中x的为间断点，第三种情况中的l为端点二、周期为2l 的函数的傅里叶展开第八讲 多元函数积分学的预备知识综述：1、向量代数与空间解析几何2、多元微分学的几何应用3、场论初步一、代数与几何1、向量运算及其应用2、 平面与直线平面直线3、 曲线与曲面（重点）曲线在坐标面上的投影曲线以投至xoy面为例求其投影曲线及所围区域.旋转曲面方程（重点）1） 问题提法：将2）求法： 即3） 例题二、多元微分学的几何应用1、曲面的切平面 2、 曲线的切线垂直，求点P 的轨迹C .3、 场论初步（1） 定义法（2） 公式法3、 两者的关系 5、 旋度第九讲 三重积分综述：1、概念与性质2、计算1、 概念与性质这样就可以把三重积分理解为密度乘以体积.2、 计算结构 1、 基础题坐标系1） 直角系：2）柱面系：= 3） 球面系：2、 技术题换序形心公式1）普通以关于xoz面对称为例 第十讲 线面积分第一型曲线积分综述：1、概念2、计算结构1、 概念2、 计算结构基础题化为定积分 （1）边界方程代入被积函数技术题 （2）形心公式 （3）对称性（普通、轮换）1、 基础题化为定积分 一投二代三计算2、 技术题代入形心公式对称性1） 普通对称性2）轮换对称性 直角系下 其周长为a 。第一型曲面积分综述：1、概念2、计算结构一、概念由二重积分二、计算结构基础题化为二重积分 （1）边界方程代入被积函数技术题（2）形心公式 （3）对称性1、 基础题化为二重积分 做三件事（无逻辑先后） 【注意】一个隐蔽的计算陷阱：若重合，则（1）转投其他面； （2）分成若干个投影不会重合的面。2、 技术题代入形心公式对称性 1）普通对称性 2）轮换对称性 第二型曲线积分综述：1、概念2、计算1、 概念做功2、 计算结构基础题化为定积分 （1）边界