新课标下图形与几何的解析.ppt

图形与几何,1,义务教育数学课程标准（2011年版）,1,“空间与图形”改为“图形与几何”,这样的修改是必要的，空间与图形在本质上都是表述着一种存在，而所谓的几何是基于这种存在抽象出概念，比如“点、线、面”；得到概念之间的关系，比如“两点决定一条直线”；建立基于概念的命题，比如“三角形内角和是180度”；等等。这样就把存在上升到理性，进而可以更加一般地描述存在，解释存在所表现出来的那些规律性的东西。这是数学本质之所在，也是数学教育本质之所在。,更突出体现了几何学的本质：以图形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。“图形与几何”中的“图形”是研究的对象，“几何”是研究的方法。（数学是研究数量关系和空间形式的科学 ）,1,图形与几何领域的核心概念,空间观念 几何直观 推理能力,看到“图形与几何”这几个字，您想到了哪些关键词？,1,空间观念,主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,1,空间观念,1,几何直观,主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,1,几何直观案例：打电话 如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知1人，给你3分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。,1,下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。,1,上图通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷地表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 我们平时学习过程中所画的线段图，示意图等也是几何直观。,1,推理能力,推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,1,归纳能力,我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。 -见我的生平 培养归纳能力 传统数学教育重视知识的传授和技能的训练。“知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。” 结果的教育、知识的积累。 归纳推理可以表现为一种智慧。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。”归纳能力是建立在实践的基础上的。 过程的教育、经验的积累。,1,一个创新型人才除了知识之外，还需要的是思维形式和思维方法，他想问题会不会创新性的想，当然还有一个创新意识问题。这些东西必须通过本人参与的活动才能够学得会，老师教是教不会的。比如在解题过程中，甚至在玩的过程中，他有一个方案，或者在做实验的过程中他有一个技巧，这些表现的是智慧，因此这些东西是表现在过程之中的，而过程之中的东西只能通过过程培养，通过语言的阐述是不可能培养出来的，怎么思考问题，怎么教也不行，他得自己去想一些问题，他才可能想明白。因此在这个意义上，没有基本的活动经验是不行的，基本活动经验就是教我们的孩子如何思考问题，最终要培养这个学科的思维方法，更高的就是培养学科的直观。,1,图形的认识,测 量,图形的运动,图形与位置,图形与几何,“图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种基本的数学思想。,图形与变换,图形的认识,测 量,图形的运动,图形与位置,1,1如何在观察、操作中“认识图形” 抽象出图形特征，发展空间观念？ 2如何以“图形的测量”为载体，渗透度量意识，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，了解掌握测量的基本方法，并在具体问题中进行恰当的估测？从而发展学生的空间观念与推理能力？ 3如何通过“图形的运动”探索发现，体会研究图形性质的不同方法，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生研究图形性质的兴趣？ 4如何通过学习“确定图形位置”的方法，发展学生的空间观念和推理能力？,我们经常思考的问题,1,认识图形抽象出图形特征，发展空间观念 图形的测量渗透度量意识，掌握测量方法 图形的运动体会研究方法，增加直观能力 图形的位置发展空间观念，提高推理能力,认识图形抽象出图形特征，发展空间观念,1,对图形认识的要求主要包括两个方面： 一是对图形自身特征的认识。 二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。 在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。如，对于平行四边形，第一学段要求“能辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求“理解概念，探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”等。,1,3.怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？,第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 、 “ 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征 ” ；第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。,第一：通过对实物的观察与操作认识图形。,1,第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念,教材内容编排上增加了“视图和投影、展开与折叠”等内容。关于视图和投影，小学阶段是观察物体，课标上有两个要求：,1,第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。 拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程，这是过去小学没有的，现在有了，这两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。,1,让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。 让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。,“ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ” ，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。 认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。,1,图形的测量渗透度量意识，掌握测量方法,一、如何以“图形的测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。,第一、 使学生体会建立统一度量单位的重要性 标准在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。” 这种要求对面积、体积的单位也同样适用。 度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现发现不同的方法，不同单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。,1, 2011 版数学课程标准特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。所以教师在教学实践中，应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让学生经历完整“度量单位”的从形成到产生的过程。由此看来， 关于让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。,1,第二、使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟 标准在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。长度（类似的，面积、体积）单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义。 例如，生活中哪些物体的长度大约为 1 米 ， 1 厘米 的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的重量大约是 1 千克 ，哪些物体的体积大约是 1 立方米等。,1,对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身高为 175 （ ），应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。 再如“北京到南京的铁路长约 1000 （ ）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小，如“ 一米约相当于（ ）根铅笔长”，强化学生对度量单位地感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系，例如，理解 1 平方分米 =100 平方厘米，可以借助图形（ 10 10 的方格，每个方格为 1 平方厘米），也可以借助等式 1 平方分米 =1 分米 1 分米 = 10 厘米 10 厘米 =100 平方厘米，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。 总之，在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。,1,通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。同时在度量图形的过程中组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基本的数学活动经验。 掌握规则图形的周长、面积和体积公式，仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们的教学将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形周长、面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种策略和方法解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观念也是大有好处的。 学生在操作活动中，经历探索从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，在体验解决问题方法多样性的过程中创新意识也得到发展。,1,苏格拉底助产术是一种教学方法。 它最突出的优点就在于，它能够有效地激发学生的思考活动，促使其积极主动地去寻找正确答案，因而学生的思维非常活跃。应该说，传统教学的最大缺陷之一便是学生的思维不够活跃，学得太被动，太沉闷。既然这样，我们做老师的自然应当能够从苏格拉底那里得到一些有益的启发，也不妨偶尔尝试一下用助产术的方法去开展自已的教学活动。,1,图形的运动体会研究方法，增加直观能力,一、为什么要在小学阶段增加“ 图形的运动 ” 这个内容？ 2011 版数学课程标准在“图形与几何” 领域仍然增加了“平移，旋转，放大与缩小这些内容”，只是把“图形与变换”改为“图形的运动”。为什么仍然保留这个内容，学习它的价值是什么？ 运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。 1. 从学生角度来看 现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。 2从数学发展的角度来看 1872 年，德国大数学家克莱茵发表 “爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质，欣赏与设计图案。是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。,1,二、 第一、二学段关于“图形的运动”相关知识内容有哪些？ 教学目标分别是什么？ 按照标准的要求，小学 1-6 年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的图形相似这样一些内容。 第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象，引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有关经验，归纳、发现各种运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径。 2011 版数学课程标准提倡我们组织学生分组收集日常生活中常见的图形（如案例 21 ）生活中的轴对称图形。,引导学生观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现，并尝试设计出一些轴对称图形。 这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集（如可以使用数码相机或现场素描等）。学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中丰富自己的经验。在交流大家收集到的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己图形所表达的意思。,1,第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面： （ 1 ）按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补全一个轴对称图形。 “图形与几何”学习中方格纸的作用:方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。 （ 2 ）研究图形的相似运动 ，即将图形放大或缩小。 第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”，这里的“放大与缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小的不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。 （ 3 ） 综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计。 学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形，这些知识技能和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会，也可以进一步感受数学的美、数学的价值。,1,总体上看：修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分的重视。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值，应当认真落实标准的这些要求。,1,三、 “图形的运动”内容常用的教学策略有哪些？ 策略一：结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动 例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸，车轮，钟摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学 “ 轴对称变换时 ”，借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。 策略二：借助操作活 动 ，加深对图形运动的认识， 帮 助 学 生 体 会变换 的特征 加强 学 生操作活 动 ，也是提高 图 形 变换教学 成效的一 个策略。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。 策略三：注重 从变换 的角度，引 导学 生欣 赏图 形、 设计图 案 例如，在生活中 随处 可 见 的美 丽图案， 学 生在 观 察 这 些 图 案 时 ，可以 发现 其 中包含的熟悉的 图 形；可以 运 用 数学 的眼光分析 图 案的 组成，例如是否 运 用了 变换 ；可以欣 赏这 些各具特色的 图 案， 发现 其中 蕴 涵的 对称 美、和 谐 美、 简 明美；可以以此为启发 ， 发挥 自己的 个 性和 创 造力， 亲 自 动 手 设计图 案。 策略四：在解决问题中注重“ 图形的运动 ”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力,1,策略四：在解决问题中注重“ 图形的运动 ”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力 1. 从变换角度认识图形 在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观的刻画图形的属性。例如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形，在认识他们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换，清晰直观地发现图形隐含着的特点。 2. 从变换的角度理解度量 小学阶段，在平面