2019版高考数学二轮复习第1篇专题3数列第2讲大题考法__数列求和问题学案.docx

第2讲大题考法数列求和问题考向一等差、等比数列的简单综合【典例】 (2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立解得(舍去)或因此bn的通项公式为bn2n1(2)由b11，T321得q2q200解得q5或q4当q5时，由得d8，则S321当q4时，由得d1，则S36技法总结等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序(2)注意细节例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等变式提升1(2018东莞二模)已知等比数列an与等差数列bn，a1b11，a1a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列(1)求an，bn的通项公式；(2)设Sn，Tn分别是数列an，bn的前n项和，若SnTn100, 求n的最小值解(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，则 解得 (舍)或an2n1，bnn(2)由(1)易知Sn2n1，Tn由SnTn100，得2n101，是单调递增数列，且2685101,27156101，n的最小值为7考向二等差、等比数列的判定及应用【典例】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，已知(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断是否成等差数列审题指导看到S2，S3，想到设基本量，列方程组求解看到三项成等差数列，想到可用2SnSn1Sn2是否成立判断规范解答(1)设an的公比为q由题设可得3分解得5分故an的通项公式为an(2)n.6分(2)由(1)可得Sn(1)n.8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn，10分故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.12分处注意此类方程组的整体运算方法的运用，可快速求解处化简Sn时易出现计算错误处对于Sn2Sn1的运算代入后，要针对目标，即化为2Sn，观察结构，整体运算变形，可得结论技法总结判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为与正整数n无关的某一常数(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若aan1an10(nN*，n2)，则an为等比数列变式提升2(2018吉林调研)艾萨克牛顿(1643年1月4日1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列xn满足xn1xn，我们把该数列称为牛顿数列如果函数f(x)ax2bxc(a0)有两个零点1,2，数列xn为牛顿数列，设anln ，已知a12，xn2，求an的通项公式an解 函数f(x)ax2bxc(a0)有两个零点1,2，解得f(x)ax23ax2a，则f(x)2ax3a则xn1xnxn，2，则数列an是以2为公比的等比数列，又a12， 数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an22n12n3(2018六安联考)已知数列an的前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列，bn2log2(1an)1(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn中去掉数列an的项后余下的项按原顺序组成数列cn，求c1c2c100的值解(1)因为n，an，Sn成等差数列，所以Snn2an，所以Sn1(n1)2an1(n2)，得an12an2an1，所以an12(an11)(n2)又当n1时，S112a1，所以a11，所以a112，故数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an122n12n，即an2n1(2)据(1)求解知，bn2log2(12n1)12n1，b11，所以bn1bn2，所以数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列又因为a11，a23，a37，a415，a531，a663，a7127，a8255，b64127，b106211，b107213，所以c1c2c100(b1b2b107)(a1a2a7)(212227)77107228911 202考向三数列求和问题【典例】等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则由得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则cn即cn所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)技法总结1.分组求和中分组的策略(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比；将两个和式错位相减；整理结果形式变式提升4(2018云南模拟)在各项均为正数的等比数列an中，a1a34，a3是a22与a4的等差中项，若an12bn(1)求数列bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnan1，求数列cn的前n项和Sn解(1)设等比数列an的公比为q，且q0，由an0，a1a34得a22，又a3是a22与a4的等差中项，故2a3a22a4，22q222q2，q2或q0(舍)所以ana2qn22n1，an12n2bn，bnn(2)由(1)得，cnan12n2n，所以数列cn的前n项和：Sn2222n2n125(2018百校联盟联考)已知数列an满足a1a3，an1，设bn2nan(1)求数列bn的通项