2019版高考数学第9章平面解析几何9第9讲直线与圆锥曲线的位置关系教案.docx

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切()(2)直线ykx(k0)与双曲线x2y21一定相交()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点()(4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切()(5)过点(2，4)的直线与椭圆y21只有一条切线()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()AkBkCk或kDk解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知k. 过点的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则的值为()ABC4D无法确定解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为ykx，代入抛物线方程得2x22kx10，由此得所以x1x2y1y2x1x2(k21)x1x2k(x1x2)(k21)k(k).故选B. 已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a等于_解析：由消去y得ax2x10，所以解得a.答案： 斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.所以|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.答案：直线与圆锥曲线的位置关系 典例引领 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程【解】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，所以c1.将点P(0，1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，设其判别式为，(1)0直线与圆锥曲线相交；(2)0直线与圆锥曲线相切；(3)0直线与圆锥曲线相离提醒注意讨论二次项系数是否为零 通关练习1过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有_条解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)答案：32已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m0，即m1时，x1，222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解提醒两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点 通关练习1已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x20.则|AB| .答案：2(2018太原市模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|6，则AOB的面积为_解析：因为抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|4，不满足题意，所以设直线AB的方程为yk(x1)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，所以|y1y2|，因为|AB|y1y2|6，所以46，解得k，所以|y1y2|2，所以AOB的面积为12.答案：中点弦问题 典例引领 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【解】(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：法一：设直线l：ykxb1(k0，b10)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb1代入1，得(2k21)x24kb1x2b80.故xM，yMkxMb1.于是直线OM的斜率kO M，即kO Mk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则1，1，得0，即.又y1y22y0，x1x22x0，所以kAB.即kOMkAB.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.处理中点弦问题常用的求解方法提醒中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足 通关练习1若点(3，1)是抛物线y22px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A1B2C3D4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y22px(p0)于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，由得yy2p(x1x2)，即，由题意知kAB2，且y1y22，故kAB2，所以py1y22.2(2018山西阳泉质检)椭圆mx2ny21与直线xy10相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为()A.B.C1D2解析：选A.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，所以kOM，kAB1，由AB的中点为M可得x1x22x0，y1y22y0.由A，B在椭圆上，可得两式相减可得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，则m(x1x2)2x0n(x1x2)2y00，整理可得，故选A.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立方程，可得(mn)x22nxn10，所以x1x2，y1y22(x1x2).由中点坐标公式可得，x0，y0.因为M与坐标原点的直线的斜率为，所以.故选A. 求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数 易错防范判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点 1已知双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，)B(1，C(，)D，)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，所以e.2过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为yk(x)，代入抛物线y22x得，k2x2(k22)xk20，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k.所以这样的直线有两条3(2018安徽皖南八校联考)若直线axby30与圆x2y23没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆1的公共点的个数为()A0B1C2D1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线axby30的距离为，所以a2b23.又a，b不同时为零，所以0a2b23.由0a2b23，可知|a|，|b|，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆1的公共点有2个，故选C.4(2018江西九江模拟)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|6，则的值为()A.B.C.D3解析：选D.设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则x126，解得x14，y14，直线AB的方程为y2(x2)，令x2，得C(2，8)，联立方程解得B(1，2)，所以|BF|123，|BC|9，所以3.5(2018江西五市八校模拟)已知直线y1x与双曲线ax2by21(a0，b0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60，则直线l的方程为y0，即yxp，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x220px3p20，则x1p，x2p，则3.答案：37(2018洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E：1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为_解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两式相减得，即.又线段AB的中点坐标是，因此x1x221，y1y2(1)22，即直线AB的斜率为，直线l的方程为y1，即2x8y70.答案：2x8y708(2018福建四地六校模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，且|AB|6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则P点的坐标为_解析：由抛物线y24x，得p2，易知直线l的斜率存在，设经过点F的直线l：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，利用抛物线定义得，x1x2|AB|p624，即24，所以k，因为AB中点坐标为(2，k)，所以AB的垂直平分线方程为yk(x2)，令y0，得x4，即P点的坐标为(4，0)答案：(4，0)9已知点Q是抛物线C1：y22px(p0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长解：由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程为y236x.设抛物线C2的切线方程为y6k(x1)联立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.10在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆(y2)2与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证ANMBNM.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)因为离心率为，所以 ，解得，即a22b2.又PQF2的周长为|PQ|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2a2a4a，所以4a8，即a2，b2，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：把y0代入(y2)2，解得x1或x4，即点M(1，0)，N(4，0)当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为yk(x1)联立消去y，得(k22)x22k2xk280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1k(x11)，y2k(x21)，所以kANkBN.因为(x11)(x24)(x21)(x14)2x1x25(x1x2)880，所以kANkBN0，所以ANMBNM.综上所述，ANMBNM.1(2018河北石家庄二中模拟)已知直线l1与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，纵坐标不为0，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为()A.B. C.D. 解析：选B.由题意知直线l1与l2的斜率存在且都不为0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(b，yM)，由，得0.又则可得a2bc，即a4(c2a2)c2，有e4e210，得e2，所以e .2(2018贵州贵阳模拟)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2x1的最小值为()A2B2C4D3解析：选A.因为l与圆相切，所以原点到直线的距离d1，所以m21k2，由得(1k2)x22mkx(m21)0，所以所以k21，所以1k1，由于x1x2，所以x2x1，因为0k21，所以当k20时，x2x1取最小值2.故选A.3(2018北京模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线x21的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解：(1)由题意知e，所以e2，所以a2b2.因为双曲线x21的焦点坐标为(0，)，所以b，所以a24，所以椭圆C的方程为1.(2)当直线l的倾斜角为0时，不妨令A(2，0)，B(2，0)，则4，当直线l的倾斜角不为0时，设其方程为xmy4，由(3m24)y224m