高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第八章立体几何第六讲空间向量与立体几何课件理

考法5,目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,考点3,A.知识全通关,B.题型全突破,考法1,考法2,考法4,考法3,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式. 3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,考纲解读,命题趋势,命题规律,6.理解直线的方向向量与平面的法向量. 7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 8.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 9.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第六讲 空间向量与立体几何性质,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第六讲 空间向量与立体几何,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测 空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具,其中与空间角和距离有关的计算是高考的热点,主要考查利用向量法解决线线角、线面角和二面角的问题.题型以解答题为主,分值为12分. 2.趋势分析 预计2018年,空间向量仍作为解答题的一种方法与几何法综合考查,也可能直接建立空间直角坐标系解决所有问题.,命题趋势,数学 第六讲 空间向量与立体几何,知识全通关,考点1 空间直角坐标系,继续学习,数学 第六讲 空间向量与立体几何,1.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图8-6-1所示). 2.点的坐标表示 在空间直角坐标系中,任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示,这三个实数分别是点在x轴、y轴、z轴上的坐标.,图8-6-1,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,1.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在唯一的实数,使a=b. 推论:(1)对空间任意一点O,点P在直线AB上的充要条件是存在实数t, 使 (其中x+y=1) (2)如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ,其中向量a叫作直线l的方向向量,该式称为直线方程的向量表示式.,考点2 空间向量的有关定理及运算,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【名师提醒】,对空间任意两个向量a,b(b0),共线向量定理可以分解为两个命题:ab存在唯一实数,使a=b;若存在唯一实数,使a=b,则ab.其中命题是空间向量共线的判定定理.,继续学习,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,2.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 或对空间任意一点O,有 该式称为空间平面ABC的向量表示式.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,3.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是p|p=xa+yb+zc,x,y,zR.这个集合可看作由向量a,b,c生成,把a,b,c叫作空间的一个基底,a,b,c都叫作基向量.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,【注意】 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,4.空间向量的运算 (1)空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. (2)空间向量的坐标运算. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 (i)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), a=(a1,a2,a3)(R),ab=a1b1+a2b2+a3b3; (ii)aba=b(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3(R)或 (b1,b2,b30), abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0, (iii)在空间直角坐标系中,已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,【注意】 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关; (2)实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如a无法进行运算; (3)当=0时,a=0;当0时,若a=0,则a=0.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考点3 利用空间向量解决立体几何问题,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.,【说明】通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量;当直线平行于x轴,y轴或z轴时,直线的方向向量可分别取i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1).,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,(2)平面法向量的求法. 一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有无数多个,任意两个都是共线向量. 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数 法求解,一般步骤如下: (i)设平面的法向量为n=(x,y,z). (ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (iii)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (iv)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,【注意】 求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给x,y,z中的一个变量赋一特殊值(常赋值-1,0,1),即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但n=(0,0,0)不能作为法向量.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,2.利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v,则 (1)线线平行: lmaba=kb,kR; 线面平行: lauau=0; 面面平行:uvu=kv,kR. 【注意】证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线;证明线面平行时要说明直线不在平面内.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,(2)线线垂直: lmabab=0; 线面垂直: laua=ku,kR; 面面垂直:uvuv=0. (3)线线夹角:当0 时,直线l与m的夹角等于;当 时,直线l与m的夹角等于-.事实上,若设直线l与m的夹角为,则cos =|cos|. 线面夹角:设直线l与平面所成的角为,当0 时,= -;当 时,=- .即sin =|cos|. 面面夹角:当0 时,平面与的夹角等于;当 时,平面与的夹角等于-.事实上,若设平面与平面的夹角为,则cos =|cos|.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,(4)点线距:直线l的方向向量为a,直线上任一点为N,则点M到直线l的距离 线线距:两平行线间的距离,转化为点线距离;两异面直线间的距离,转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度. 点面距:点M到平面的距离 用点到平面距离的定义,直接求由点M向平面所引垂线段MH的长度,即 ; 已知MN为平面的一条斜线段(N在平面内),n为平面的法向量,则M到平面的距离：,返回目录,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【答题模板】,用空间向量解决立体几何问题的步骤为: (1)建系:根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系; (2)定坐标:确定点的坐标进而求出有关向量的坐标; (3)向量运算:进行相关的空间向量的运算; (4)翻译:将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解.,题型全突破,考法1 利用向量法证明平行问题,继续学习,数学 第六讲 空间向量与立体几何,考法透析 1.证明线线平行:证明两条直线的方向向量共线. 2.证明线面平行: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3.证明面面平行:(1)证明两个平面的法向量平行;(2)转化为线线平行、线面平行问题. 【注意】用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法示例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.,【思路分析】 建立空间直角坐标系求出平面A1BD的法向量证向量MN与法向量垂直线面平行,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,数学 第六讲 空间向量与立体几何,考法2 利用向量法证明垂直问题,继续学习,考法指导 1.证明线线垂直:证明两直线的方向向量垂直,即证它们的数量积为零. 2.证明线面垂直: (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线; (2)证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直; (3)证明直线的方向向量与平面内的任一条直线的方向向量垂直. 3.证明面面垂直: (1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行; (2)两个平面的法向量垂直.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法示例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,【思路分析】 建立空间直角坐标系求平面法向量证明垂直,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【解析】,继续学习,如图8-6-7所示,取BC的中点O,连接AO. 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1,以O为原点,以 为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图8-6-7所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),因为n,n, 故 令x=1,得 故 为平面A1BD的一个法向量. 而 ,所以 n. 故AB1平面A1BD.,图8-6-7,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法3 用向量法求空间角,考法指导 1.求异面直线所成角的方法思路 (1)思路:选好基底或建立空间直角坐标系;求出两直线的方向向量v1,v2;代入公式|cos|= (2)关注点:两异面直线所成角的范围是(0, ,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是所求异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角. 2.利用向量求线面角的方法思路 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)向量法:sin =|cos|= (其中AB为平面的斜线,n为平面的法向量,为斜线AB与平面所成的角).,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,3.求二面角的常用方法思路 (1)若AC,BD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的平面角就是向量 与 的夹角(如图8-6-9所示). (2)向量法:利用公式cos= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断. 图8-6-10(2)(4)表示两平面的法向量一致,此时法向量的夹角就是二面角的平面角的补角;图8-6-10(1)(3)表示两平面的法向量不一致,此时法向量的夹角就是二面角的平面角.,图8-6-9,图8-6-10,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法示例3 已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点.试求: (1)AD1与EF所成角的大小; (2) AF与平面BEB1所成角的余弦值; (3)二面角C1-DB-B1的正切值.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【解析】,继续学习,建立如图8-6-11所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,0),A(1,0,1),B(0,0,1),D1(1,1,0),E(0,0),F(,1,0),D(1,1,1). (1)因为 所以 即AD1与EF所成的角为60. (2 由图8-6-11可得,=(1,0,0)为平面BEB1的一个法向量,设AF与平面BEB1所成的角为,则所以,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【解析】,继续学习,(3)设平面DBB1的法向量为n1=(x,y,z), 令y=1,则n1=(-1,1,0). 同理,可得平面C1DB的一个法向量为n2=(-1,1,1). 则 所以,【点评】本题中需注意直线与平面的夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值,利用平面的法向量求二面角的正切值时需注意二面角是锐角,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【突破攻略】,继续学习,求向量的夹角时需注意线线角、线面角的范围是0, ,向量的夹角范围是0,二面角的范围是(0,.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法4 求空间距离,考法指导 求空间距离常用的方法 (1)直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出垂线段,再通过解三角形求出距离. (2)间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解. (3)向量法:空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解. 求点P到平面的距离的三个步骤: 在平面内取一点A,确定向量的坐标; 确定平面的法向量n; 代入公式 求解,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法示例4 如图8-6-14,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2.求点A到平面MBC的距离.,【思路分析】 建立适当的空间直角坐标系,求出平面MBC的法向量,利用点到平面的距离公式求解.,图8-6-14,图8-6-15,数学 第六讲 空间向量与立体几何,【解析】,继续学习,【点评】本题中直线AB与底面BCD垂直,但是三角形BCD不是直角三角形,需借助面面垂直选择线段CD的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用点到平面的距离公式求解.,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,考法指导 1.条件追溯型 解决立体几何中的条件追溯型问题的基本策略是执果索因.其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,可将题设和结论都视为已知条件,即可迅速找到切入点.这类题目要求考生变换思维方向,有利于培养考生的逆向思维能力. 2.存在判断型 以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个重要类型,它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐.此类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:如果存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问题常用“肯定顺推”的方法.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统的方法解决起来难度较大,若用空间向量方法来处理,通过待定系数法求解其存在性问题,则思路简单、解法固定、操作方便.,考法5用向量法求立体几何中的探索性问题,数学 第六讲 空间向量与立体几何,继续学习,3.结论探索型 立体几何中的结论探索型问题的基本特征是:给出一定的条件与设计方案,判断设计的方案是否符合条件要求.此类问题的难点是“阅读理解