2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形教学案文（含解析）.docx

三角恒等变换与解三角形【2019年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.5三角形面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()，等7解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解8利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型一、三角变换及应用【例1】(1)若0，0，所以cos.tantan.答案：速解法：由题意知为第一象限角，设，tantantan.如图，不妨设在RtACB中，A，由sin 可得，BC3，AB5，AC4，B，tan B，tan B.答案：(2)若tan 0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角，则A，B错；由sin 22sin cos 知sin 20，C正确；取时，cos 22cos212210，D错故选C.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0，故选C.答案：C【举一反三】 (2015新课标全国，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【变式探究】(2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【举一反三】(2015江苏，8)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角【变式探究】(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1题型二、正、余弦定理的应用【例2】(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.【变式探究】【2017课标3，文15】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60，b=，c=3，则A=_.【答案】75【解析】由题意： ，即，结合 可得 ，则.【变式探究】【2016高考山东文数】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）（）由（）知,所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.【举一反三】 (2015福建，12)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_解析SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【变式探究】(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1【举一反三】在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知4，ABC的面积为6，求边长b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0B，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.【变式探究】ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A.(1)求AA；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0A0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.【变式探究】(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为ac，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【变式探究】【2017课标1，文11】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，即，所以由正弦定理得，即，因为ca，所以CA，所以，故选B【变式探究】【2016高考山东文数】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c; （）求cosC的最小值.【答案】（）见解析；（）（）由（）知,所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为.【举一反三】(2015新课标全国，17)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【变式探究】(2015浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.【举一反三】 (2015陕西，17)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m(a