2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形教学案理（含解析）.docx

三角恒等变换与解三角形【2019年高考考纲解读】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视【重点、难点剖析】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.5三角形面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()，等7解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解 8利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型一、三角变换及应用【例1】(2018全国)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin(). 【变式探究】(1)已知cos3sin，则tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos3cos sinsin cos ，tan ，又tantan2，tan24.(2)若sin 2，则sin 2等于()A. BC. D答案B解析由题意得2(cos sin )sin 2，将上式两边分别平方，得44sin 23sin22，即3sin224sin 240，解得sin 2或sin 22(舍去)，所以sin 2.【变式探究】【2017山东，理9】在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 所以，选A.【变式探究】若tan 0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【举一反三】 (2015新课标全国，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D【变式探究】(2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.答案【举一反三】(2015江苏，8)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析tan 2，tan()，解得tan 3.答案3【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角【变式探究】(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.答案1题型二、正、余弦定理【例2】(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_ 答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.【举一反三】【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2）若，的面积为，求。【答案】(1)； (2) b=2【解析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得 解得 （2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.【举一反三】(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面积与ACD的面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.【变式探究】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B60，c8.(1)若点M，N是线段BC的两个三等分点，BMBC，2，求AM的值；(2)若b12，求ABC的面积解(1)由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BMx，则BN2x，AN2x，又B60，AB8，在ABN中，由余弦定理得12x2644x2282xcos 60，解得x2(负值舍去)，则BM2.在ABM中，由余弦定理，得AB2BM22ABBMcos BAM2，AM2.(2)在ABC中，由正弦定理，得sin C.又bc，所以BC，则C为锐角，所以cos C.则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面积Sbcsin A48248.【举一反三】 若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_解析SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.答案7【变式探究】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1. 答案1【举一反三】(1)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_(2)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.求cosCAD的值；若cosBAD，sinCBA，求BC的长【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理(2)如题图，在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由题设知，cosCAD.如题图，设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sinCAD.sinBAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，得.故BC3.【变式探究】ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A.(1)求AA；(2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos A，且0A，得sin A.又SABCbcsin A30，所以bc156，所以AAbccos A156144.(2)由(1)知bc156，又cos A，cb1，在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)1215625，所以a5。【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求AA，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论题型三、解三角形的应用【例3】(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为ac，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解【变式探究】【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_ 【答案】【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，ABE中，又，综上可得，BCD面积为，【变式探究】 已知函数f(x)2cos2xsin1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函数f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.【举一反三】ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【变式探究】在