数字信号处理---第七章__有限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较,7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,对于长度为N的h(n)，传输函数为,式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。 注意：这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。,1 线性相位FIR数字滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,称两种情况为线性相位,线性相位FIR滤波器是指()是的线性函数，即,严格地说，此时()不具有线性相位特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，,第二类线性相位,第一类线性相位,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数()=-，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:,（7.1.5）,2. 线性相位FIR的时域约束条件,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,由式（7.1.5）得到:,将（7.1.6）式中两式相除得到：,（7.1.6）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,简得到:,函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。因为sin(n)关于n=奇对称，如果取=(N1)/2，则要求h(n)关于(N1)/2偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件:,（7.1.7）,（7.1.8）,第一类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N1)/2点偶对称。 当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即()=(N1)/2。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第二类线性相位FIR数字滤波器的相位:()=-/2-，类似推导可得到:,2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件,函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足式（7.1.9）的一组解，因为cos(n)关于n=偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件：,（7.1.9）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第二类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N1)/2点奇对称。,（7.1.10）,N为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况4所示。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,2 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点,FIR滤波器时域约束条件：h(n)=h(Nn1) 为了推导方便，引入两个参数符号：,情况1： h(n)=h(Nn1), N为奇数,将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,仿照情况1的推导方法得到:,（7.1.12）,式中：,情况2： h(n)=h(Nn1), N为偶数,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,不适合高通，带阻滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,情况3： h(n)=h(Nn1)，N为奇数,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,不适合低通、高通，带阻滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,用情况3的推导过程可以得到:,情况4： h(n)=h(Nn1)，N为偶数,式中，N是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当=0, 2时，sin(n)=0；当=时，sin(n)=(1)nN/2, 为峰值点。而且sin(n)关于过零点=0和2两点奇对称，关于峰值点=偶对称。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,不适合低通，带阻滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,四种线性相位FIR滤波器,相位特性,幅度特性,适用,特点,N奇,N偶,N奇,N偶,低通 高通 带通 带阻,低通 带通,带通,高通 带通,3. 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点,（7.1.14）,将h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:,线性相位FIR滤波器零点：互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了.,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例如：FIR线性相位滤波器的h(n)是实数且n6时，h(n)0，如果h(0)1且系统函数在z=3和各 有一个零点，求H(Z),解：,整理多项式： 由h(0)1 得： A=1,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有,令m=N-n-1,则有,(7.1.22),如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出，,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,(7.1.23),图7.1.2 第一类线性相位网络结构,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.1.3 第二类线性相位网络结构,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.2.1窗函数法设计原理,一、设计思想,7.2窗函数法设计数字滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,相应的单位取样响应hd(n)为,(7.2.1),(7.2.2),h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),例如：设计一个FIR低通filter,其理想频响为：,为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,实际的滤波器单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，,图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替hd(n)，肯定会引起误差，表现在频域就是引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，也称为截断效应。,Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即 傅里叶级数的系数为hd(n)。 设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(n)，n=1, 2, , N1，以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是截断效应。,傅氏级数法：,显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,二、窗函数对频响的影响,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(e j)和WR(e j)代入(7.2.4)式，得到：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,2） 时， 正好与 的一半相重叠。这时有,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,3） 时， 的主瓣全部在 的通带内，这时应出现正的肩峰。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,4） 时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,（5）当 时，随 增加，左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积也随着 在通带内的旁瓣的面积变化而变化，故 将围绕着零值而波动。,(6)当 时， 的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕 值而 波动。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响,（1） 在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg()主瓣宽度4/N。 （2） 通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关， WRg()旁瓣幅度的大小直接影响Hg()波纹幅度的大小。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波纹影响滤波器通带的平稳性，阻带内的波纹影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术指标要求。当然，一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。,加窗影响：,直观上，好像增加矩形窗的长度N，就可以减少吉布斯效应，但实际上加大N, 并不是减小吉布斯效应的有效方法。 我们分析一下N加大时WRg()的变化，在主瓣附近，WRg()可近似为 该函数的性质是随x加大（N加大），主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变； 另一方面，N加大时，WRg()的主瓣和旁瓣宽度变窄，波动的频率加快。 三种不同长度的矩形窗函数的幅度特性WRg()及其设计的FIR滤波器的幅度特性Hg()曲线如图7.2.4所示,减少吉布斯效应的影响：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表明：当N加大时，Hg()的波动幅度没有多大改善，只能使Hg()过渡带变窄（过渡带近似为主瓣宽度4/N）。因此加大N, 并不是减小吉布斯效应的有效方法。,图7.2.4 矩形窗函数长度的影响,例如：设计一个截止频率为 的数字低通滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计, 对于同一个的窗函数当随着N的增加，阻带衰减越快，但是第一旁瓣值不变，N越大，过渡带越窄，旁瓣越多，通带越宽。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,以上分析说明：调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.2.2 典型窗函数介绍,1 矩形窗（Rectangle Window） wR(n)=RN(n) 其幅度函数为,下面均以低通为例，Hd(ej)取理想低通，c=/2，窗函数长度N=31。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,矩形窗的四种波形如图7.2.5所示.,图7.2.5 矩形窗的四种波形,旁瓣峰值： n=13 dB； 过渡带宽度：Bg=4/N; 阻带最小衰减： s=21 dB,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,2 三角形窗（Bartlett Window）,其频谱函数为,（7.2.8）,其幅度函数为：,三角窗的四种波形如图7.2.6所示.,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.2.6 三角窗的四种波形,参数为: n=25 dB; Bg=8/N; s=25 dB,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,3 汉宁（Hanning）窗升余弦窗,（7.2.11）,其频谱函数为,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,当N1时， N1N,汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。 汉宁窗的四种波形如图7.2.7所示。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.2.7 汉宁窗的四种波形,参数为: n=31 dB; Bg=8/N; s=44 dB,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,4 哈明（Hamming）窗改进的升余弦窗,（7.2.12）,其频谱函数为：,其幅度函数WHmg()为： 当N时，其可近似表示为 ,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%，瓣峰值幅度为40 dB，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为8/N。可见哈明窗是一种高效窗函数，所以MATLAB窗函数设计函数的默认窗函数就是哈明窗。 哈明窗的四种波形如图7.2.8所示.,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.2.8 哈明窗的四种波形,参数为: n=41 dB; Bg=8/N; s=53 dB,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,5 布莱克曼（Blackman）窗 其频谱函数为,（ 7.2.13）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,其幅度函数为 这样其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的WRg()函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的3倍。 布莱克曼窗的四种波形如图7.2.9所示.,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.2.9 布莱克曼窗的四种波形,参数为: n=57 dB; B=12/N; s=74 dB,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,6 凯塞贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window） 以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。,（7.2.15）,其中：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,I0()是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 一般I0()取1525项，便可以满足精度要求。 参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，可以调整值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优. 凯塞（Kaiser）给出的估算和滤波器阶数N的公式如下:,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,式中，Bt=|sp|, 是数字滤波器过渡带宽度。应当注意，因为式（7.2.17）为阶数估算，所以必须对设计结果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。 凯塞窗的幅度函数为：,（7.2.16）,（7.2.17）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,对的8种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表7.2.1中，供设计者参考。由表可见, 当 =5.568时, 各项指标都好于哈明窗。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表7.2.2 6种窗函数的基本参数,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例如：设计一个截止频率为 的数字低通滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,矩形窗过渡带最窄，布拉克曼窗过渡带最宽，但是对于阻带最小衰减性矩形窗最差，只有21dB，布莱克曼窗最好，达到75dB。汉明窗与汉明窗的过渡带稍宽，阻带衰减性也较好，是较为常用的窗函数。,N=20,改变N只能改变过渡带宽窄，不能改变阻带的衰减性； 阻带的衰减性由窗函数类型决定，矩形窗最差，布莱克曼窗最好; 设计数字滤波器时，一般希望滤波器既要有很好过渡性又要有很好的阻带衰减性。过渡带窄时，但阻带衰减不好；阻带衰减好时，但过渡带宽；因此，实际中窗函数的选择往往是它们的折衷。,结论：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计的FIR数字滤波器的频率响应指标。随着数字信号处理的不断发展，学者们提出的窗函数已多达几十种，除了上述6种窗函数外，比较有名的还有Chebyshev窗、Gaussian窗5, 6。MATLAB信号处理工具箱提供了14种窗函数的产生函数，下面列出上述6种窗函数的产生函数及其调用格式：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,Matlab窗函数产生函数,表中列向量wn中返回长度为N窗函数w(n),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,用窗函数法设计FIR滤波器的步骤如下： 根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。 先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。然后根据过渡带宽度估计窗口长度N。待求滤波器的过渡带宽度Bt近似等于窗函数主瓣宽度，且近似与窗口长度N成反比， NA/Bt，A取决于窗口类型。,7.2.3 用窗函数法设计FIR滤波器的步骤,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,(2) 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)，即 对所谓的“标准窗函数法”，就是选择Hd(ej)为线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻）。以低通滤波器为例，Hdg()应满足：,（7.2.19）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,由图7.2.2知道，理想滤波器的截止频率c近似位于最终设计的FIRDF的过渡带的中心频率点，幅度函数衰减一半（约6 dB）。所以如果设计指标给定通带边界频率和阻带边界频率p和s， 一般取,(3) 计算hd(n) 如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ej)，那么单位脉冲响应用下式求出：,（7.2.20）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,的线性相位理想低通滤波器作为Hd(ej)，其单位脉冲响应hd(n)： 为保证线性相位特性， =(N1)/2。,（7.2.21）,对：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,根据频域采样理论，hdM(n)与hd(n)应满足如下关系：,如果Hd(ej)较复杂或者不能用封闭公式表示 可以对Hd(ej)从=0到=2采样M点，采样值为：,k=0 ,1, 2, , M1，进行M点IDFT(IFFT) 得到：,如果M选得较大，可以保证在窗口内hdM(n)有效逼近hd(n),(4) 加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作为逼近滤波器，,相应的单位取样响应hd(n)为：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,用汉宁窗设计：,用布莱克曼窗设计：,用矩形窗设计：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图 例7.2.1的低通幅度特性,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.2.2】 用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求通带截止频率p=/2 rad，阻带截止频率s=/4 rad，通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减 s=40 dB。 解 (1） 选择窗函数w(n)，计算窗函数长度N。 窗函数：已知阻带最小衰减 s=40 dB，由表（7.2.2）可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，我们选择汉宁窗。 过渡带：本例中过渡带宽度Btps=/4， 汉宁窗的精确过渡带宽度Bt=6.2/N，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得N24.8。 对高通滤波器N必须取奇数，取N=25。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,（2） 构造Hd(ej): ,式中：,（3） 求出hd(n):,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,将=12代入得 ：,(n12)对应全通滤波器， 是截止频率为3/8的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差就是理想高通滤波器的单位脉冲响应。这就是求理想高通滤波器的单位脉冲响应的另一个公式。,（4） 加窗:,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,(1) fir1 fir1用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的工具箱函数，以实现线性相位FIR数字滤波器的标准窗函数法设计。这里的所谓“标准”，是指在设计低通、高通、带通和带阻FIR滤波器时，Hd(ej)分别表示相应的线性相位理想低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应函数。因而将所设计的滤波器的频率响应称为标准频率响应。,7.2.4 窗函数法的MATLAB设计函数简介,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M, wc) 返回6 dB截止频率为wc的M阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR低通（wc为标量）滤波器系数向量hn，默认选用哈明窗。 滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn的关系为 h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, , M 满足线性相位条件: h(n)=h(N1n)。 wc为对归一化的数字频率，0wc1。 当wc=wcl, wcu时，得到的是带通滤波器，其6 dB通带为wclwcu。,调用格式及功能：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M, wc, ftype) 可设计高通和带阻FIR滤波器。当ftype=high时，设计高通FIR滤波器；当ftype=stop，且wc=wcl, wcu时，设计带阻FIR滤波器。 应当注意，在设计高通和带阻FIR滤波器时，阶数M只能取偶数（h(n)长度N=M+1为奇数）。不过，当用户将M设置为奇数时，fir1会自动对M加1。 hn=fir1(M, wc, window)， 可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为哈明窗。 例如:,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1)，使用Bartlett窗设计； hn =fir1(M, wc, blackman(M+1)，使用blackman窗设计； hn=fir1(M, wc, ftype, window) 通过选择wc、ftype和 window参数（含义同上），可以设计各种加窗滤波器。 (2) fir2 fir2为任意形状幅度特性的窗函数法设计函数，用fir2设计时，可以指定任意形状的Hd(ej)，它实质是一种频率采样法与窗函数法的综合设计函数。主要用于设计幅度特性形状特殊的滤波器（如数字微分器和多带滤波器等）。用help命令查阅其调用格式及调用参数的含义。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.2 的设计程序ep721.m如下: ep721.m: 例7.2.2 用窗函数法设计线性相位高通FIR数字滤波器 wp=pi/2; ws=pi/4; Bt=wp-ws; 计算过渡带宽度 N0=ceil(6.2*pi/Bt); 根据表7.2.2汉宁窗计算所需h(n)长度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整数 N=N0+mod(N0+1, 2); 确保h(n)长度N是奇数 wc=(wp+ws)/2/pi; 计算理想高通滤波器通带截止频率(关于归一化) hn=fir1(N-1, wc, high, hanning(N); 调用fir1计算高通FIR数字滤波器的h(n) 略去绘图部分,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,运行程序得到h(n)的25个值: h(n)= 0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0.0624 0.0355 0.1061 0.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.0028 0.0006 0.0004 高通FIR数字滤波器的h(n)及损耗函数如图7.2.9所示。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.2 高通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.2.3】 对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f 1.5kHz内衰减小于1 dB， 阻带2.5kHzf 上衰减大于40 dB。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字滤波器实现上述滤波，采样频率Fs=10 kHz。用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求出h(n)，并画出损耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。 解 （1） 确定相应的数字滤波器指标: 通带截止频率为,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,阻带截止频率为 阻带最小衰减为 s =40dB （2） 用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了降低阶数选择凯塞窗。根据式（7.2.16）计算凯塞窗的控制参数为 ,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,指标要求过渡带宽度Bt=sp=0.2，根据式（7.2.17）计算滤波器阶数为 取满足要求的最小整数M=23。所以h(n)长度为N=M+1=24。如果用汉宁窗，h(n)长度为N=40。 理想低通滤波器的通带截止频率c=(s+p)/2=0.4，所以得到: 式中，w(n)是长度为24（ =3.395）的凯塞窗函数。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,实现本例设计的MATLAB程序为ep722.m。 ep722.m: 例7.2.3 用凯塞窗函数设计线性相位低通FIR数字滤波器 fp=1500;fs=2500;rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp; %计算过渡带宽度 alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21); %根据(7.2.16)式计算kaiser窗的控制参数 N=ceil(rs-8)/2.285/Bt); %根据(7.2.17)式计算kaiser窗所需阶数N,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,wc=(wp+ws)/2/pi; %计算理想高通滤波器通带截止频率(关于归一化） hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph); %调用kaiser计算低通FIRDF的h(n) 以下绘图部分省去 运行程序得到h(n)的24个值: h(n)= 0.0039 0.0041 0.0062 0.0147 0.0000 0.0286 0.0242 0.0332 0.0755 0.0000 0.1966 0.3724 0.3724 0.1966 0.0000 0.0755 0.0332 0.0242 0.0286 0.0000 0.0147 0.0062 0.0041 0.0039,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.3 低通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.2.4】 窗函数法设计一个线性相位FIR带阻滤波器。要求通带下截止频率lp =0.2，阻带下截止频率ls=0.35，阻通带上截止频率us=0.65，通带上截止频率up=0.8， 通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减 s=60 dB。 解 本例直接调用fir1函数设计。因为阻带最小衰减 s=60 dB，所以选择布莱克曼窗，再根据过渡带宽度选择滤波器长度N，布莱克曼窗的过渡带宽度Bt=12/N，所以,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,解之得N=80。调用参数 ,设计程序为ep723.m，参数计算也由程序完成。 ep723.m: 例7.2.4 用窗函数法设计线性相位带阻FIR数字滤波器 wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi; %设计指标参数赋值 B=wls-wlp; %过渡带宽度 N=ceil(12*pi/B); %计算阶数N,ceil(x)为大于等于x的最小整数,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,wp=(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi; %设置理想带通截止频率 hn=fir1(N,wp,stop,blackman(N+1); %带阻滤波器要求h(n)长度为奇数，所以取N+1 省略绘图部分 程序运行结果: N=81 由于h(n)数据量太大，因而仅给出h(n)的波形及损耗函数曲线，如图7.2.11所示。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.4 带阻FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,一、设计思想,7.3频率采样法设计FIR滤波器,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,1） FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=h(Nn1)，其频响函数应满足的条件是：,（7.3.5）,（7.3.6）,二、设计线性相位滤波器时对Hd(k)的约束条件,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,在=02区间上N个等间隔的采样频点为 将=k代入（7.3.5）（7.3.8）式中，并写成k的函数：,k = 0，1，2，N 1,（7.3.9）,（7.3.10）,Hd(k)的约 束条件：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,设用理想低通作为希望逼近的滤波器Hd(ej)，截止频率为c，采样点数为N，Hg(k)和(k)用下列公式计算：,（7.3.13）,式中kc是通带内最后一个采样点的序号，kc值取不大于cN/(2)的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里N只能取奇数。,N为偶数时，,N为奇数时，,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,2） FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=-h(Nn1)，其频响函数应满足的条件是：,N = 奇数,N = 偶数,Hd(k)的约 束条件：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,3 逼近误差及其改进措施 如果待逼近的滤波器为Hd(ej)，对应的单位脉冲响应为hd(n)，则由频率域采样定理知道，在频域02范围等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期的周期延拓的主值区序列，即 如果Hd(ej)有间断点，那么相应的单位脉冲响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠及截断，使h(n)与hd(n)有偏差。所以，频域的采样点数N愈大，时域混叠愈小，设计出的滤波器频响特性愈逼近Hd(ej)。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,频域采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，得到H(ej)=FTh(n)的内插表示形式：,在采样点上实际频率响应严格等于理想频率响应 采样点之间实际频响由各采样点加权内插函数延伸而成，因而有误差，误差大小和理想频率响应的曲线形状有关,改进：在理想频率响应的不连续的边缘点加上一些过渡的采样点,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.1 频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形Hg(),Hdg()特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,表现形式为间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为2/N。通带和阻带内产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。 当然，增加N可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最小衰减随N的增大并无明显改善。且N太大，会增加滤波器的阶数，即增加了运算量和成本。 N=15和N=75两种情况下的幅度内插波形Hg()如图7.3.2所示，图中的空心圆和实心圆点分别表示N=15和N=75时的频域幅度采样。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.2 N=15和N=75的幅度内插波形Hg(),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,在窗函数设计法中，通过加大过渡带宽度换取阻带衰减的增加。频率采样法同样满足这一规律。 提高阻带衰减的具体方法：在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。 过渡带采样点的个数与阻带最小衰减 s的关系以及使阻带最小衰减 s最大化的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。其基本思想是将过渡带采样值设为自由量，用一种优化算法（如线性规划算法）改变它们，最终使阻带最小衰减 s最大。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,将过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减 s的经验数据列于表7.3.1中，我们可以根据给定的阻带最小衰减 s选择过渡带采样点的个数m。,表7.3.1 过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减 s的经验数据,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,四 频率采样法设计步骤 （1） 根据阻带最小衰减 s选择过渡带采样点的个数m。 （2） 确定过渡带宽度Bt，估算频域采样点数（即滤波器长度）N。如果增加m个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成(m+1)2/N。当N确定时，m越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽度Bt，则要求(m+1)2/NBt ，滤波器长度N必须满足如下估算公式:,（7.3.15）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,（3） 构造一个希望逼近的频率响应函数: 设计标准型片断常数特性的FIR数字滤波器时，一般构造幅度特性函数Hdg()为相应的理想频响特性，且满足表7.1.1要求的对称性。 （4） 按照（7.3.1）式进行频域采样:,（7.3.16）,（7.3.17）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,并加入过渡带采样。过渡带采样值可以设置为经验值，或用累试法确定，也可以采用优化算法估算。 （5） 对H(k)进行N点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应： ,（7.3.18）,（6） 检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调Hdg()的边界频率。 上述设计过程中的计算相当繁琐，所以通常借助计算机设计。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.3.1】 用频率采样法设计第一类线性相位低通FIR数字滤波器，要求通带截止频率p=/3，阻带最小衰减大于40 dB，过渡带宽度Bt/16。 解 查表7.3.1， s=40 dB时，过渡带采样点数m=1。 根据m=1和Bt/16估算滤波器长度: N(m+1)2/Bt=64 留一点富余量，取N=65。 构造Hd(ej)=Hdg()ej(N1)/2为理想低通特性，其幅度响应函数Hdg()如图7.3.3(a)中实线所示。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.3 一个过渡点的设计结果(T=0.38),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,设计由以下程序ep731.m完成： ep732.m: 用频率采样法设计FIR低通滤波器 T=input(T= ) 输入过渡带采样值T Bt=pi/16;wp=pi/3; 过渡带宽度为pi/16，通带截止频率为pi/3 m=1;N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1; 按式（7.3.15）估算采样点数N Np=fix(wp/(2*pi/N); Np+1为通带0, wp上采样点数 Ns=N2*Np1; Ns为阻带wp, 2*piwp上采样点数,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,Hk=ones(1, Np+1), zeros(1, Ns), ones(1, Np) ;N为奇数，幅度采样向量偶对称A(k)=A(Nk) Hk(Np+2)=T;Ak(NNp)=T; 加一个过渡采样 thetak=pi*(N1)*(0:N1)/N; 相位采样向量(k)=(N1)k/N, 0kN1 Hdk=Hk.*exp(j*thetak); 构造频域采样向量Hd(k) hn=real(ifft(Hdk); h(n)=IDFTH(k) Hw=fft(hn, 1024); 计算频率响应函数:DFTh(n),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,wk=2*pi* 0:1023/1024; Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N1)/2); 计算幅度响应函数Hg() 计算通带最大衰减Rp和阻带最小衰减Rs Rp=max(20*log10(abs(Hgw) hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin) 以下绘图部分略去,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,运行程序，输入T=0.38，得到设计结果如图7.3.3所示，并输出通带最大衰减 p=0.4767 dB， 阻带最小衰减 s=43.4411 dB。 但是，如果过渡带采样值T=0.5和0.6，则得到阻带最小衰减 s=29.6896 dB和25.0690 dB。 由此可见，当过渡带采样点数给定时，过渡带采样值不同，则逼近误差不同。所以，对过渡带采样值进行优化设计才是有效的方法。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn= fir2(M,F,A,window(M+1) 设计一个M阶线性相位FIR数字滤波器，返回长度为N=M+1的单位脉冲响应序列向量hn。window表示窗函数名，缺省时默认选用Hamming窗。可供选择的窗函数有Boxcar、 Bartlett、Hann、Hamm、 Blackman、Kaiser和 Chebwin,当window=boxcar时，fir2就是纯粹的频率采样设计法。 希望逼近的幅度特性由边界频率向量F和相应的幅度向量A确定，plot(F, A)画出的就是希望逼近的幅度特性曲线。,MATLAB信号处理工具箱函数fir2是一种频率采样法与窗函数法相结合的FIR数字滤波器设计函数。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.4 例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.3.2 试用频率采样法，设计一个具有线性相位 的低通FIR数字filter，其理想频率特性为：,已知 ，采样点N=33.,H(0)=1,N=33，所以 为第一类线性相位滤波器,解：,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,截止频率,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.3.3 用频率采样法，设计情况FIR低通滤波器，采样点数N=21，,技术指标为：p=0.3, p=5dB s=0.4, s=40dB,解：根据指标画出理想低通滤波器的幅度特性及采样点,根据上图确定频率采样法的幅度约束条件,N=21时 频率样本Hk,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,相位约束条件,对H(k)进行IDFT得到h(n),第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,计算振幅响应H()和幅度响应,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,从幅度响应曲线可见，N=21时，最小的阻带衰减为14dB，没有达到设计要求。,验证指标,根据设计出的h(n)计算其振幅响应H()和幅度响应,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,N=61时 频率样本Hk,增大采样点数，能否使阻带衰减增大?,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,N=61时，最小的阻带衰减为18dB，仍不满足指标。,结论：频率采样法设计FIR滤波器，不能用增大采样点数的方法提高阻带的衰减。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,在Hd(ej)的间断点附近区间加入若干个过渡采样点，能否使H(ej)与 Hd(ej)的误差减小？,例如：增加两个采样点T1=0.7和T2=0.2。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,从幅度响应曲线可见，N=61时，最小的阻带衰减为45dB，达到设计要求。,结论：为改善滤波器的特性，可以在频响间断点附近插入一个或几个过渡采样点，适当增加采样点数提高阻带的衰减。,N=61，两 个过渡点,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,窗函数设计法和频率采样法简单方便，易于实现。但它们存在以下缺点: 滤波器边界频率不易精确控制。 窗函数设计法总使通带和阻带波纹幅度相等，频率采样法只能依靠优化过渡带采样点的取值控制阻带波纹幅度，所以两种方法都不能分别控制通带和阻带波纹幅度。 所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻带边界频率越远，衰减越大。所以，如果在阻带边界频率附近的衰减刚好达到设计指标要求，则阻带中其他频段的衰减就有很大富余量。说明这两种设计法存在较大的资源浪费，或者说所设计滤波器的性能价格比低。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.4.1 等波纹最佳逼近法的基本思想 用Hd()表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时，Hd()必须满足线性相位约束条件。用Hg()表示实际设计的滤波器幅度特性。定义加权误差函数E()为,（7.4.1）,7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波,式中，W()称为误差加权函数。等波纹最佳逼近基于切比雪 夫逼近，在通带和阻带以|E()|的最大值最小化为准则，采用Remez多重交换迭代算法求解h(n) 。W()取值越大的频段, 逼 近精度越高，开始设计时应根据逼近精度要求确定W()，在Remez多重交换迭代过程中W()是确知函数。,第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近（或研究）区域”和“无关区域”。逼近区域一般指通带和阻带，而无关区域一般指过渡带。设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。应当注意，无关区宽度不能为零，即Hd()不能是理想滤波特性。,利