高考数学二轮复习 专题辅导与训练 5.1 空间几何体的三视图、表面积及体积教学.ppt

专题五 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积 及体积,【主干知识】 1.必记公式 (1)表面积公式: 表面积=侧面积+底面积,其中 多面体的表面积为各个面的_. 圆柱的表面积公式:S=_=_(其中,_ 为底面半径,_为圆柱的高).,面积的和,2r2+2rl,r,l,2r(r+l),圆锥的表面积公式:S=_=_(其中圆锥的 底面半径为_,母线长为_). 圆台的表面积公式:S=_(其中圆台的上、 下底面半径分别为_和_,母线长为_). 球的表面积公式:S=_(其中球的半径为_).,r2+rl,r(r+l),r,l,(r2+r2+rl+rl),r,r,l,4R2,R,(2)体积公式: V柱体=_(_为底面面积,_为高). V锥体=_(_为底面面积,_为高). V球=_(其中_为球的半径).,Sh,h,S,S,h,R,2.重要结论 (1)画三视图的基本要求:正(主)俯一样长,俯侧一样宽,正(主)侧(左)一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正(主)视图的下面;侧(左)视图放在正(主)视图的右面.,3.易错提醒 (1)未注意三视图中实、虚线的区别 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线. (2)不能准确分析组合体的结构致误 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差.,【考题回顾】 1.(2014江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ),【解题提示】由三视图中的俯视图是几何体在下底面上的投影可得. 【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.,2.(2013新课标全国卷)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ),【解析】选A.设球的半径为R cm,由勾股定理可知， R2=(R-2)2+42,解得R=5，所以球的体积V=,3.(2014山东高考)一个六棱锥的体积为 其底面是边长 为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_. 【解析】设六棱锥的高为h，斜高为h， 则由体积 得： h=1， 所以侧面积为 2h6=12. 答案：12,4.(2014台州模拟)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.,【解析】由三视图知，该几何体是一个横放的四棱锥,底面是 直角梯形，上底为1,下底为3,高为2,锥体的高为2,故体积为 (1+3)22= . 答案：,热点考向一 空间几何体的三视图与直观图关系的确认 【考情快报】,【典题1】(1)(2013新课标全国卷)一个四面体的顶点在空 间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影 面,则得到正视图可以为 ( ),(2)(2014温州模拟)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是 ( ),【信息联想】(1)看到该四面体的四个顶点坐标,想到 _. (2)看到该几何体的三视图,想到_ _.,该四面体为正四面体,进而想到其正视图,三视图中的虚实线对应,几何体中各面的情况,从而可确定各面的形状,【规范解答】(1)选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A中的图. (2)选A.由俯视图知,该几何体上底面是割去一个角的正方形,排除D;由侧视图,知该几何体左侧面有一条从左下到右上的面对角线,排除B,C,故选A.,【规律方法】 1.由直观图确认三视图的策略 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.,【变式训练】1.正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1如图所示,以四边形ABB1A1为水平面,四边形BCC1B1的前面为正前方画出的三视图正确的是 ( ),【解析】选A.矩形BCC1B1的前面为正前方,故正(主)视图为矩形,左侧为ABC,所以侧(左)视图为三角形.俯视图为两个有公共边的矩形,公共边为CC1在平面ABB1A1内的投影,故选A.,2.(2014湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中, 一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1), (2,2,2).给出编号为,的四个图,则该四面体的 正视图和俯视图分别为 ( ),A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】选D.在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为,俯视图为,故选D.,【加固训练】1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为 ( ),【解析】选B.依题意,侧(左)视图中棱的方向是从左上角到右下角.,2.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 ( ),【解析】选D.根据三视图,四个选项逐一判断知D正确.,热点考向二 空间几何体表面积与体积的计算 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 由空间几何体的结构特征计算其表面积与体积 【典题2】(2014银川模拟)如图,斜三棱柱ABC-ABC中, 底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA与底面相邻两边AB,AC都成45角. (1)求此斜三棱柱的表面积. (2)求三棱锥A-BBC的体积.,【信息联想】(1)看到斜三棱柱的表面积,想到 _. (2)看到三棱锥A-BBC,想到_.,其表面积等于侧面积与底面积的和,其体积计算公式,【规范解答】(1)如图,过A作AD平面ABC于点D,过点D作DEAB于点E,DFAC于点F. 连接AE,AF,AD,可得AFAC,AEAB. 由题意可知AAE=AAF=45,AA=AA, 于是RtAAERtAAF. 因此AE=AF,从而可得DE=DF.故AD平分BAC. 又因为AB=AC,所以BCAD. 故BCAA. 因为AABB,所以BCBB.,因此四边形BCCB是矩形，故斜三棱柱的侧面积为 2absin 45+ab=( +1)ab. 又因为斜三棱柱的底面积为2 所以斜三棱柱的表面积为（ +1）ab+ （2）由（1）得,【互动探究】在本例的条件下,若再知点A到底面的距离为 b,求棱锥A-BCCB的体积.,【解析】分别取BC,BC的中点 M,M,连接AM,MM,MA, 由例题解析知 平面AMMA平面BCCB, 过A作AHMM,则AH平面BCCB, 过A作ANAM,则AN平面ABC,即AN= b,命题角度二 根据三视图求空间几何体的表面积与体积 【典题3】(1)(2014安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 ( ),(2)(2014哈尔滨模拟)一个空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为12+ ,则正(主)视图中x的值为( ) A.5 B.3 C.4 D.2,【信息联想】(1)看到三视图,想到_ _. (2)看到三视图,想到_ _.,该几何体为一个正方体截,去两个全等小正三棱锥后所得的组合体,该几何体为上面是一个正四棱锥,下面,是一个圆柱的组合体,【规范解答】(1)选A.由三视图可知原几何 体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥. 正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱锥 是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个 全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其表面面积的和为3, 三棱锥的底面是边长为 的正三角形,其表面积的和为 , 故所求几何体的表面积为24-3+ =21+ .,（2）选B.由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个 正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，侧棱 长是3，根据勾股定理知正四棱锥的高是 下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x， 因为几何体的体积为12+ 所以4x+ ,【规律方法】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.,2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状. (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量. (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.,【变式训练】1.(2014辽宁高考)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ),【解题提示】结合三视图的特点,可知该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的. 【解析】选C.截得该几何体的原正方体的体积为222=8; 截去的圆柱(部分)底面半径为1,母线长为2,截去的两部分体 积为 (122)2=;故该几何体的体积为8-.,2.(2014厦门模拟)如图为一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形,A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为 .,【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边 长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为 答案：,热点考向三 多面体与球的切、接问题 【考情快报】,【典题4】(1)(2014长春模拟)在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是 SC,BC的中点,且MNAM,若侧棱SA=2 ,则正三棱锥S-ABC外接 球的表面积是 ( ) A.12 B.32 C.36 D.48,(2)(2014成都模拟)如图,一个几何体的三视图中正(主)视图和侧(左)视图为边长为2,锐角为60的菱形,俯视图为正方形,则此几何体的内切球表面积为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8,【信息联想】(1)看到正三棱锥及MNAM,想到_. (2)看到几何体的三视图及内切球,想到_ _.,ASSB,ASSC,BSSC,进而将三棱锥补成正方体求解,过球心(高)及正四棱,锥的斜高作截面,将其转化为平面图形的内切问题,【规范解答】(1)选C.因为三棱锥S-ABC是正棱锥,所以SBAC(对棱互相垂直),所以MNAC, 又因为MNAM,而AMAC=A, 所以MN平面SAC,即SB平面SAC, 所以ASB=BSC=ASC=90,将此三棱锥补成正方体,则它 们有相同的外接球,所以2R=2 ,所以R=3, 所以S=4R2=432=36.,(2)选B.由三视图可知,该几何体为两个正四棱锥的组合体, 且四棱锥的斜高恰好等于底面正方形的边长,过正四棱锥的 高、斜高作平面,得轴截面,由内切知,球的半径r=1sin60 = ,所以S球=4 =3.,【规律方法】多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.,【变式训练】1.（2014陕西高考）已知底面边长为1，侧棱 长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体 积为（ ）,【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，可设 正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1，则 =1可得 又侧棱长为 ，所以球心到截面圆的距离d= ；由 截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，根据勾股定 理得球半径R= =1，代入球的体积公式得球 的体积为,2.（2014昆明模拟）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_.,【解析】圆锥与球的截面如图，设球的 半径为r，则圆锥底面圆的直径为 r， 圆锥底面面积为 圆锥 的侧面面积为 所以圆锥的表面积为 球的表面积为4r2， 所以其面积比为 . 答案：,【加固训练】1.（2014重庆模拟）已知空间4个球，它们 的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球 与这4个球都外切，则这个小球的半径为( ),【解析】选A.以此4个球的球心为顶点， 可以构成一个棱长为4的正四面体， 则小球的球心到正四面体的各顶点距 离相等为r+2(r为小球半径)，如图， 其中O为小球球心，所以(r+2)2= 解得r= -2，选A.,2.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为 的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为 .,【解析】由于PA,PB,PC两两垂直，则点P在底面ABC上的射影 就是正三角形ABC的中心M，设正三角形ABC的边长为a，则正 三棱锥的侧棱长为 a，AM= a，设正三棱锥的高为h， 在RtPAM中，由勾股定理得 PA2=PM2+AM2 再设球心为O，则OM底面ABC，且OM= -h.,在RtOAM中，由勾股定理得OA