2017届高考数学二轮复习第1部分专题四数列必考点文.docx

专题四数列必考点一等差数列、等比数列的基本运算高考预测运筹帷幄1一般数列通项与递推关系的应用和计算2等差(比)数列的通项公式、求和公式及性质的应用速解必备决胜千里1等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)2.前n项和公式变形(1)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；Snmqnm(m为常数，m0，q0)an是等比数列(2)等差数列中Sn和an的关系：Sn，即ana1，等比数列中Sn与an的关系为Sn，即anqa1(1q)Sn.速解方略不拘一格类型一等差数列的运算例1(1)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10()A.B.C10 D12解析：基本法：设首项为a1，由S84S4得4，a8a12a4.a17da12a16d，d2a1，a1.a10a19d9.速解法：由S84S4得8a1d4，d1，a1.a10a19d9.答案：B方略点评：基本法和速解法各选用了不同的求和公式，比较起来，用a1和d的关系求和较简单.(2)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7C9 D11解析：基本法：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.速解法：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.答案：A方略点评：(1)基本法是寻求a1与d的关系，然后用公式求和.速解法是利用等差中项性质转化求和公式.,(2)在等差数列中，当已知a1和d时，用Snna1d，求和.,当已知a1和an或者a1ana2an1形式时，常用Sn. 1等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.解析：a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，将d2代入上式，解得a12，Sn2nn(n1)，故选A.答案：A2(2016高考全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97解析：设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且S99a527，所以a53.又a108，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，选C.答案：C类型二等比数列的运算例2(1)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.解析：基本法：a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，n6.速解法：由题意可知a12，a24，a38，a416，a532，a664，S6248163264126，n6.答案：6方略点评：基本法采用的是求和公式，速解法则为最原始的求和方法，直接看到S6126.(2)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42C63 D84解析：基本法：a3a1q2，a5a3q2a1q4，33q23q421q4q260，q22a3326，a56212，a724a3a5a742.速解法：由题意知，a3a518，又a3a1q2，a5a1q4，a1q2a1q418，q4q260，解得q22或3(舍去)a3a5a7(a1a3a5)q221242.答案：B方略点评：(1)基本法是根据等比数列具体求出各项.,速解法是利用了整体思想“a1a3a5”为整体，技巧性较强.(2)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和“隐含”的条件.1已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C. D.解析：基本法：a3a1q2，a4a1q3，a5a1q4，aq64(a1q31)a1，q616q3640，q38，q2，a2a1q.速解法：设an的公比为q，由等比数列的性质可知a3a5a，a4(a41)，即(a42)20，得a42，则q38，得q2，则a2a1q2，故选C.答案：C2等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5C4 D3解析：由题意知a1a8a2a7a3a6a4a510，数列lg an的前8项和等于lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a4a5)44lg(a4a5)4lg 104.故选C.答案：C终极提升登高博见选择题、填空题的解法消元法方法诠释利用变量建立方程或函数关系后，把变量看作未知数，通过消元的方法达到求解的目的适用方向主要适用于解方程，可代入消元法或加减消元法.限时速解训练十一等差数列、等比数列的基本运算(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在等差数列an中，已知a1a710，则a3a5()A7B8C9 D10解析：选D.因为an是等差数列，所以a3a5a1a710，故选D.2已知等差数列an的前9项的和为27，则2a2a8()A16 B2C64 D128解析：选C.依题意得S927，即a1a96，a2a86,2a2a864，故选C.3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S612，则a6的值为()A4 B5C6 D8解析：选C.依题意，S612，因为a12，解得a66，故选C.4设Sn为等比数列an的前n项和，S41，S83，则S12()A9 B7C5 D4解析：选B.依题意，数列S4，S8S4，S12S8，即1,2，S123成等比数列，于是有S1234，S127，故选B.5等差数列an的公差d0，a120，且a3，a7，a9成等比数列Sn为an的前n项和，则S10的值为()A110 B90C90 D110解析：选D.依题意得aa3a9，即(a16d)2(a12d)(a18d)，即(206d)2(202d)(208d)因为d0，解得d2，故S1010a1d110，故选D.6已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于()A1 B2C4 D8解析：选D.因为数列an为等差数列，所以由a43a8(a4a8)2a82(a6a8)2aa42a3a80得4a72a0，又因为数列an的各项均不为零，所以a72，所以b72，则b2b8b11b3b7b11(b7)38，故选D.7在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n()A11 B12C14 D16解析：选C.由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12可得q93，an1anan1aq3n3324，即(aq3)q3n6324，因此q3n68134q36，所以n14，故选C.8已知递增等比数列an满足a3a76，a2a85，则()A. B.C. D.解析：选D.因为a3a7a2a86，且a2a85，故a2，a8是方程x25x60的两根因为数列an单调递增，故a22，a83，故，故选D.9已知等差数列an的前n项和为Sn，若3，则()A. B.C2 D3解析：选B.Sn为等差数列的前n项和，则S3，S6S3，S9S6，S12S9为等差数列又3，S63S3，S6S32S3，S9S63S3，S12S94S3，于是S1210S3，S96S3，故，故选B.10已知an是等差数列，a35，a917，数列bn的前n项和Sn3n1，若1amb4，则正整数m等于()A29 B28C27 D26解析：选C.因为an是等差数列，a917，a35，所以6d175，得d2，an2n1.又因为Sn3n1，所以当n1时，b12，当n2时，Sn13n11，bn3n3n123n1，由1amb4得12m154，即m27，故选C.11已知数列an是各项均为正数的等比数列，且满足，则a1a5()A24 B8C8 D16解析：选C.设正项等比数列的公比为q，q0，则由得，a1a24，同理由得a3a416，则q44，q，a1a2a4，a2，所以a1a5aq48，故选C.12设等差数列an的前n项和为Sn，已知(a81)32 017(a81)1，(a2 0101)32 017(a2 0101)1，则下列结论中正确的是()AS2 0172 017，a2 010a8BS2 0172 017，a2 010a8CS2 0172 017，a2 010a8DS2 0172 017，a2 010a8解析：选A.设f(x)x32 017x，则由f(x)f(x)知f(x)是奇函数由f(x)3x22 0170知函数f(x)x32 017x在R上单调递增因为(a81)32 017(a81)1，(a2 0101)32 017(a2 0101)1，所以由f(a81)1，f(a2 0101)1得a81(a2 0101)，即a8a2 0102，且a2 010a8.所以在等差数列an中，S2 0172 0172 0172 017，故选A.二、填空题(把答案填在题中横线上)13已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列an的公比为_解析：S1，S3，S4成等差数列，2S3S4S1，即S4S3S3S1，从而得a4a3a2，q2q10，解得，q.答案：14已知等差数列an的公差为2，若a4是a2，a8的等比中项，则数列an的前5项和S5_.解析：由题意知aa2a8等差数列的公差为2，(a16)2(a12)(a114)解得a12，S530.答案：3015公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S1060，则S20等于_解析：a4是a3与a7的等比中项，S1060，解得a13，d2，S2020a1d20(3)2320.答案：32016等差数列an的前n项和为Sn.已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析：由Snna1d得解得a13，d，则Sn3n(n210n)，所以nSn(n310n2)，令f(x)(x310x2)则f(x)x2xx，当x时，f(x)递减，当x时，f(x)递增，又67，f(6)48，f(7)49，所以nSn的最小值为49.答案：49必考点二递推数列及数列求和高考预测运筹帷幄1数列的求和问题与最值问题2数列与归纳、递推、不等式的综合应用速解必备决胜千里1常见两种递推关系的变形(1)递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(p1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；(2)递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式2数列的单调性对于数列an，若an1an，则an为递增数列若an1an，则an为递减数列若an1an，则an为常数列3等差数列an的通项公式an是关于n的一次函数andn(a1d)(d0)前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数Snn2n，(d0)4数列中不等式的放缩技巧(1).(2).(3)2()0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0解析：选B.a3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d20，且a1a2a1030，则a5a6的最大值等于()A3 B6C9 D36解析：选C.a1a2a1030，得a5a66，又an0，a5a6229.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13数列an是首项a14的等比数列，且4a1，a5，2a3成等差数列，则a2 019_.解析：设公比为q，则a5a1q4，a3a1q2.又4a1，a5，2a3成等差数列，2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，得q4q220，解得q21或q22(舍去)，q1，a2 0194(1)2 01914.答案：414中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.答案：515若数列an满足且a13，则an_.解析：由，得2，数列是首项为，公差为2的等差数列(n1)22n，an.答案：16已知数列an，a12，点(nan1，(n1)an)在函数f(x)x的图象上，则数列an的通项公式为_解析：因为点(nan1，(n1)an)在函数f(x)x的图象上，所以nan1(n1)an，即，所以2，(n2且nN*)，又a12，以上式子累乘，得ana1222n，所以数列an的通项公式是an2n(nN*)答案：an2n(nN*)专题一四滚动训练(三)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集UR，集合Ax|x2或x3，Bx|x23x40，则集合AB等于()Ax|2x4Bx|3x4Cx|2x1 Dx|1x3解析：选B.因为Bx|x23x40x|1x4，所以ABx|x2或x3x|1x4x|3x4，故选B.2下列有关命题的说法正确的是()A命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为真命题B函数f(x)tan x的定义域为x|xk，kZC命题“xR，使得x2x10”的否定是“xR，均有x2x10”D“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的必要不充分条件解析：选A.命题“若xy，则sin xsin y”为真命题，由于原命题与逆否命题同真假，所以其逆否命题也为真命题故选A.3不等式x2的解集是()A(，0(2,4B0,2)4，)C2,4) D(，2(4，)解析：选B.当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，0x2.原不等式的解集为0,2)4，)4已知函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是()A. B.C. D.解析：选D.函数f(x)sin(xR，0)的最小正周期为，所以，2.从而f(x)sin(xR，0)将各选项代入验证可知选D.5已知1(x0，y0)，则xy的最小值为()A12 B14C16 D18解析：选D.xy(xy)1010218.当且仅当x6，y12时，(xy)min18.6已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析：选C.由条件得aba22，设向量a与b的夹角为，则aba22|a|b|cos 6cos ，又|a|1，cos ，0，.7执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是()A5 B6C11 D22解析：选D.执行该程序可知，解得，即8x22，输入x的最大值是22，故选D.8设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)等于()A10 B.C10 D解析：选B.f(x)是偶函数，有f(x)f(x)，由f(x3)知，f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(107.5)f(1860.5)f(0.5)，当x2,3时，x3，2，f(x)4x，又f(x)f(x)，f(x)4x，当x0.5时，x32.52,3，f(2.5)10，f(0.5).9已知等比数列an的各项是均不等于1的正数，数列bn满足bnlg an，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值等于()A126 B130C132 D134解析：选C.由b318，b612得lg a318，lg a612，即a1q21018，a1q51012，q3106，即q102，a11022.an为正项等比数列，bn为等差数列，且d2，b122，bn22(n1)(2)2n24.Sn22n(2)n223n2.又nN*，当n11或12时，(Sn)max1122311132.10已知函数f(x)若af(a)0，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解析：选A.若a0，则af(a)aloga0loga00a1；若a0，则af(a)alog2(a)0log2(a)00a11a0；综上可得，选A.11设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin Bsin C2sin A,3a5c，则角B等于()