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个人所得税分配方案设计摘要本文主要讨论了在已知个人全年总收入的前提下, 并且在法律法规允许的范围内，为了达到使个人缴纳的税款最少的目标,而提出的一种优化纳税模型。同时也研究了在考虑税收的前提下的最佳还贷方案。首先，对于问题一，我们采用了线性规划方法，建立了相应的数学模型。在此基础上设计了求解算法, 通过C语言和MATLAB来实现并且完成了程序设计，并且结合实际应用的数据分析计算。我们得出了这样一个结论：当每月工资相同时，且当月工资在4000到元之间，年终奖金的在2000到元之间时，并且当两者的总金额为元时，此时一年需上交的税收最少，为8400元。例如月工资为4000元，年终奖金为52000元。其次，问题二是建立在问题一的基础上提出来的，我们在题一的基础上设计了求解算法，分别运用了MATLAB和C语言求解，得出了年收入从30000元到150000元，且间隔为1000元的所有最优纳税情况。再者，根据税后的个人收入情况和个人选择的主体差异性,定制了一个合理的贷款方案和房贷偿还方案。我们采用等额本息还款的方法，通过C语言程序实现，从而求解知：当该夫妇向个人住房公积金贷款498000元，总共还了174个月，前43个月每月偿还300元，后131个月每月还5500元。向银行贷款202000元，总共还了43个月，每个月还5200元。在这样的方案下的总还款额约为956315.9元。最后，我们对得出的结论进行实际分析。通过该模型的建立，我的对这一类优化问题有了进一步的认识，并且深深地体会到了优化的重要性。关键词 优化纳税 贷款方案 偿还方案 线性规划 递推 数学模型一 问题重述个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。2005年10月27日，第十届全国人大常委会第十八次会议再次审议个人所得税法修正案草案，会议表决通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定，起征点1600元于2006年1月1日起施行。 2007年6月29日，第十届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议通过了关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定，对个人所得税法进行了第四次修正。2007年12月29日，十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定。个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。 即工资、薪金所得，以每个月收入额（已按规定扣除“四金”）减除费用2000元后的余额，为应纳税所得额。（“四金”是指：养老保险金、医疗保险金、失业保险金、住房公积金）其具体征税方案如下：一、每月工资应纳税计算方案：月应纳税所得额=月工薪收入（已按规定扣除“四金”）-费用扣除标准（2000）超额累进税率级数月应纳税所得额税率（）速算扣除数1不超过500元部分502超过500元至2000元的部分10253超过2000元至5000元的部分15 1254超过5000元至20000元的部分20 3755超过20000元至40000元的部分25 13756超过40000元至60000元的部30 33757超过60000元至80000元的部分35 63758超过80000元至100000元的部分40 103759超过100000元的部分 45 15375二、年终一次性奖金纳税计算方案：1先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。 问题一：请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。问题二：请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元。问题三：现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。如果新房的售价为100万元，首付款必须30%。请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。个人住房公积金贷款年利率表贷款期限5年以下（含）5年以上利率(%)4.024.59 个人住房银行抵押贷款年利率表贷款期限1年1至3年（含）3至5年（含）5年以上利率(%)5.315.40 5.765.94二 模型假设假设1：该员工已知其年收入，并且公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额。假设2：为便于计算，问题中所涉及的下述方案中不含个人所得实物收入、福利费等应税收入，仅指工资薪金中的应税收入。并且每个月的收入额已按规定扣除“四金”，即养老保险金、医疗保险金、失业保险金、住房公积金。个人的年总收入仅分为：每月的月收入和年终奖的收入。 假设3：为便于计算，每个月的工资金额按100元为间隔递增来比较相应的税收。假设4：该公司的夫妇，他们的收入为一样，即每人的年收入为6.25万元。 假设5：该夫妇的存款有能力支付房子的首付，即（100*30%）30万元，且他们可以向银行和公积金申请的贷款总额为70万元。假设6： 银行按复利计算，且贷款期限内利率不变。假设7：银行和住房公积金允许该夫妇自行安排每个月的还款金额，但不能为0，直到还款结束，且可以不同时还完。假设8：该夫妇每月还款额不能超过平均月收入的50%，平均月收入（万）=（税后年收入+1.5万）/12。三 符号说明年收入年工资总额年终奖金月工资表示年终奖金的每个月需上交的税收月工资所需上交的税收年终奖金的所需上交的税收每年需上交的税收总额向住房公积金贷款的月数向银行贷款的月数向住房公积金贷款的金额向银行贷款的金额每月还住房公积金的金额每月还银行的金额第个月总共还的金额 第个月还公积金后所剩的欠款第个月还银行后所剩的欠款住房公积金的月利率银行的月利率还完时共还公积金的钱数还完时共还银行的钱数还公积金所需月数还银行所需月数四 问题分析问题一：首先，纳税方案必须在纳税义务发生之前依法进行。纳税人进行纳税筹划时，必须在法律法规允许的范围内，合理预期应税所得，在纳税义务发生前完成筹划工作。这是合理实施纳税方案的前提。 每个月的纳税总额分为两部分, 一部分为月工资部分所需上交的税额,另外一部分为年终奖的部分所需上交的税要使最小就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。 通过直观的分析，企业发放年终奖奖金以及员工每月工资的不均衡发放，必然导致个人所得税税负提高，实际到手的收入减少。为了降低个人所得税的税率，增加个人实际收入，企业应均衡发放年终奖和员工的月工资。因此企业在发放年终一次性奖金时. 应抓住税率临界点。本方案即在寻找这个税率的临界点。其次，我们都知道，假设没有年终奖, 在税前年收入为定值元时,这时的。 将平均分配到12 个月, 即每月工资为。如果每月的工资可按员工意愿分配，由此很容易知道，当时，所需上交的税额为最小。再者，因为该员工年收入为100000元，而月工资的2000元部分的不需要缴税的。相当于10万元中的元的不需要缴税的。也即实际需要缴税的数目为元。再对76000进行合理分配奖金数目，已达到税收最少的目的。问题二： 问题二是建立在问题一的基础上所作的进一步推广。求出年收入从3万元以1000元为间隔到15万元各种情况所对应的最优工资、奖金分配方案使所交税收最少。问题三：该问题主要研究了一种优化的还款方式，但是因为要考虑个人所得税，所以也存在着一种最优纳税方案。同时该问题中有住房公积金贷款和银行贷款两种，且它们两者的利率不同，所以还要考虑一种合理的借款方式。在这些基础上设计了算法。在个人收入已知的情况下，要尽可能使个人所得税最小，同时又要使所缴纳的利息最少。首先，因为该夫妇每人的平均年收入各为6.25万。通过上两题的分析求解，我们可得到年收入为62500元时所对应的最优年税收方案如下：总税收3250元； 月工资4000元； 年终奖14500元； 税后年收入118500元也即是该夫妇总共要交税6500元。又因为他们的每月还款额不能超过税后平均月收入的50%，即元。银行利息的计算公式是：利息资金额利率占用时间。因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。这里我们采用等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。在该问题中，我们是以月为单位还款的，所以要把年率表转换成月利率表如下：个人住房公积金贷款月利率表贷款期限5年以下（含）5年以上利率(%)0.00330.0031个人住房银行抵押贷款月利率表贷款期限1年1至3年（含）3至5年（含）5年以上利率(%)0.00430.00440004700048五 模型建立与求解问题一模型的建立：(1)根据中华人民共和国个人所得税纳税标准，某月所得月工资，月工资部分所需上交的税收为。 与 之间的关系式如下所示:(2)员工年终奖收入（年终一次性奖金纳税计算与每月收入纳税计算独立进行），年终一次性奖金纳税计算方案：先将雇员当月内取得的全年一次性奖金， 除以12 个月即，按其商数确定适用税率和速算扣除数。如果该员工所得月收入，那么年终奖金的1/12的税收计算如下： 如果该员工所得的月工资收入，那么年终奖金的1/12的税收计算如下：问题一模型的求解：根据上面的分析，月工资的2000元部分是不需要缴税的，相当于100000元中的元是不需要缴税的，也即实际需要缴税的数目为元，包括年终奖金。要缴税部分的钱平均分到每个月，这样的分配税收是最少的。在这种情况下，该员工的月工资肯定是高于2000元的。设超出2000元部分的工资为元，为年终奖金的。我们可以得出如下一些等式和不等式。年收入： ；月工资： ；年终奖金的： ；月税收：；年终奖金的对应的奖金：；月工资部分税收的分段函数如下：年终奖金的部分的税收的分段函数如下：；通过以上一些分析，并且建立算法。C语言及matlab程序见附表1。图一：月工资与最佳税收表 由C语言程序的结果可知：当月工资元时，年终奖金元时，相应的每月的税收最少为700元，即每年的税收为8400元。又由上面的MATLAB程序图像并结合实际情况讨论可知，只要、均在2000与5000之间，并且，那么他们的税收总额也是最少，即8400元。问题二模型的建立： 问题二的模型是建立在问题一的基础上，列出了年收入从3万元以1000元为间隔到15万元的所有情况。 问题二模型的求解：运用同上一题类似的C语言及MATLAB程序可以得到不同年收入的基本情况，列表且其相对应的图示如下： 表一：年收入最优分配表：年收入月工资年终奖金最佳税收300002058.425299300310002083.675996350320002166.676000400330002258.425899450340002334.175990500350002416.6760005503600025006000600370002508.426899700380002508.677896800390002734.426187900400002508.9298931000410002500110001100420002500120001200430002500130001300440002508.42138991400450002500.17149981500460002501159881600470002509.42168871700480002500.17179981800490002500190001900500002508.42198992000510002500210002100520002500220002200530002500230002300540002500.67239922400550002583.33240002500560002666.67240002600570002750.67239922700580002833.33240002800590002916.67240002900600003000240003000610003083.33240003100620003166.67240003200630003250240003300640003333.33240003400650003416.67240003500660003501.17239863600670003583.42239993700680003666.67240003800690003750240003900700003833.42239994000710003916.67240004100720004000240004200730004009.17248904350740004000260004500750004100.08257994650760004009.17278904800770004000290004950780004100.08287995100790004009.17308905250800004000320005400810004100.08317995550820004009.17338905700830004000350005850840004100.08347996000850004008.67368966150860004000380006300870004100.08377996450880004009.17398906600890004008.42408996750900005425.83248906900910005425.83258907050920005425.83268907200930005425.83278907350940005425.83288907500950005425.83298907650960005425.83308907800970005425.83318907950980004000.83499908100990004009.1750890825010000040005200084001010004100.835179085501020004009.1753890870010300040005500088501040004100.835479090001050004009.1756890915010600040005800093001070004100.835779094501080004009.175989096001090004092.255989397501100004175.835989099001110005850.8340790100501120004342.2559893102001130004425.8359890103501140006100.8340790105001150004592.2559893106501160004675.8359890108001170006350.8340790109501180004842.2559893111001190004925.8359890112501200006600.8340790114001210005092.2559893115501220005175.8359890117001230006850.8340790118501240005342.2559893120001250005425.8359890121501260005500.1759998123001270005583.3360000124501280005675.8359890126001290005750.1759998127501300005833.3360000129001310005925.8359890130501320006000.1759998132001330006083.3360000133501340006175.8359890135001350006250.1759998136501360006333.3360000138001370006425.8359890139501380006500.1759998141001390006583.3360000142501400006675.8359890144001410006750.1759998145501420006833.3360000147001430006925.83598901485014400070006000015000145000700061000152001460007000.086199915400147000700063000156001480007000.2563997158001490007001.08649871600015000070006600016200图二：年总收入与最优税收相对的年终奖和月工资问题三模型的建立： 该夫妇单个人的收入情况如下：总税收3250元； 月工资4000元； 年终奖金14500元； 税后年收入118500元也即是该夫妇总共要交税6500元。又因为他们的每月还款额不能超过税后平均月收入的50%，即元。所以每月还款额不得超过5562.5元。 设向住房公积金所贷的金额为元，向银行所贷的金额为元。每月还公积金的钱为，每月还银行的钱为。第个月还公积金后所剩的欠公积金的钱为，第个月还银行后所剩的欠银行的钱为。住房公积金的月利率，银行的月利率。还完时共还公积金的钱数，还完时共还银行的钱数。则： ； ；从而可得出：；令 ；同理： ； ； 从而可得出：；令 ；又设还公积金所需月数，还银行所需月数。当时，先求出在的时间后还欠银行的钱。考虑可能为非整数，则取。则设在时间后还欠银行的钱为还银行还需的月份则 问题三模型的求解：通过C语言编程求解（见附录三），得出该夫妇每月按相等的金额偿还贷款本息。向个人住房公积金贷款498000元，总共还了174个月，前43个月每月偿还300元，后131个月每月还5500元。向银行贷款202000元，总共还了43个月，每个月还5200元。在这样的方案下的总还款额约为956315.9元。六 模型的评价 我们对三个题目都建立了基于C语言及MATLAB程序上的数学模型，考虑了一个优化问题。问题一：优点：我们可以通过合理安排工资、薪金发放的金额和年终奖，减轻税负。并且用C语言程序来实现。缺点：用C语言来实现显得优点繁琐。问题二：优点：该模型能够为决策者提供一个统一的全局视角，虽然本题数据量大，但本模型通过数据挖掘能够辨别出隐藏在其中的对决策提供支持的信息。缺点：该模型是在的相对来说数据较少的基础上对数据进行挖掘，如果数据太多可能会加重程序实现的负担。问题三：优点：我们可以综合各种不同的情况来讨论优化问题。通过实际分析设计算法来实现。用理财的思路去考虑最为合理的收入使用分配应该是非常有必要的。尤其对于那些工作比较稳定，但收入平平的工薪阶层房贷者而言，过多的还款压力很可能使其不堪重负，沦为“房奴”一族。在本模型中充分考虑了该问题，将月供还贷压力降低到最低，同时考虑也考虑了工薪阶层房贷者的生活压力及生活开支。缺点：我们建立的模型在考虑优化问题时，还款时间相对来讲比较长。 七 参考文献1 陈光亭 裘哲勇编著 数学建模 高等教育出版社 2010年2月2 姜启源 谢金星 叶俊 编著 数学模型（第三版）高等教育出版社 2007年6月3 谭永基 蔡志杰 俞文魮 编著 数学模型 复旦大学出版社 19964 张智丰 编著 数学实验 科学出版社 2008年5月5 张圣勤 编著 数学实验与数学建模 复旦大学出版社 2008年12月八 附录附表1：C语言程序代码：#includevoid main()int i,mini,s;double m1102,m2102,m=100000,t;for(s=0,i=0;s=8400;s+=100,i+)if(s=2000)m1i=0;elsem1i=s-2000;if(m1i500&m1i2000&m1i5000&m1i20000&m1i40000&m1i60000&m1i80000&m1i100000)m1i=m1i*0.45-15375;m2i=100000-s*12;if(s=2000)m2i=m2i-(2000-s);m2i/=12;if(m2i500&m2i2000&m2i5000&m2i20000&m2i40000&m2i60000&m2i80000&m2i100000)m2i=m2i*0.45-15375;t=m1i+m2i;if(tm)m=t;mini=i;printf(%lf %d,m,100*mini);MATLAB程序代码：子程序：function tax=interest(income1,income2)if(income2=500) tax=income1*0.05; else if(income2=2000) tax=income1*0.1-25; else if(income2=5000) tax=income1*0.15-125; else if(income2=20000) tax=income1*0.2-375; else if(income2=40000) tax=income1*0.25-1375; else if(income2=60000) tax=income1*0.3-3375; else if(income2=80000) tax=income1*0.35-6375; else if(income210000) tax=income1*0.45-15375; end end end end end end end end end 主程序：clear *;clc;q=100000; num=0;min=1000000;for i=0:100:q num=num+1; reward(num)=i; income(num)=(q-i)/12; a=income(num); if(a2000) a=a-2000; tax1=interest(a,a); else tax1=0; end b=i/12; tax2=interest(b,b); tax(num)=tax1+tax2;end plot(income,tax,r+)title(income_tax);xlabel(income);ylabel(tax);附表二：C语言程序代码：#includevoid main()int i,mini,N,s;double m1126,A,m2126,m,t;for(N=30000;N=150000;N+=1000)m=N;A=N/12;for(s=0,i=0;s=A;s+=100,i+)if(s=2000)m1i=0;elsem1i=s-2000;if(m1i500&m1i2000&m1i5000&m1i20000&m1i40000&m1i60000&m1i80000&m1i100000)m1i=m1i*0.45-15375;m2i=N-s*12;if(s=2000)m2i=m2i-(2000-s);m2i/=12;if(m2i500&m2i2000&m2i5000&m2i20000&m2i40000&m2i60000&m2i80000&m2i100000)m2i=m2i*0.45-15375;t=m1i+m2i;if(tm)m=t;mini=i;printf(年收入 %d, 年税收 %lf, 月工资 %dn,N,m*12,100*mini); Matlab程序：for q=30000:1000:150000 min=1000000; for i=0:100:q B=i; a=(q-B)/12;if(a=2000) S1(i+1)=0; a=0; elsea=a-2000; end if(a0) S1(i+1)=a*0.05; else if(a500&a2000&a5000&a20000&a40000&a60000&a80000&a10000) S1(i+1)=a*0.45-15375; end end end endendend end endend b=B/12;%奖金纳税平均月收入 S2(i+1)=0; if(b=0) S2(i+1)=b*0.05; else if(b500&b2000&b5000&b20000&b40000&b60000&b80000&b1000000) S2(i+1)=b*0.45-15375; end end end end endendendendendS2(i+1)=S2(i+1)*12; %该年所上交的奖金税 S(i+1)=S1(i+1)*12+S2(i+1); if(S(i+1)=min) min=S(i+1); Sg=S1(i+1); Sj=S2(i+1); I=i;end end for i=(I-100):(I+100) B=i;%年收入的奖金 a=(q-B)/12;%每月的工资 if(a=2000) S1(i+1)=0; a=0; else a=a-2000; %月应纳税所得额=月工薪收入 -费用扣除标准（ 2000) end if(a0) S1(i+1)=a*0.05; else if(a500&a2000&a5000&a20000&a40000&a60000&a80000&a10000) S1(i+1)=a*0.45-15375; end end end end endendendendend b=B/12;%奖金纳税平均月收入 S2(i+1)=0; if(b=0) S2(i+1)=b*0.05; else if(b500&b2000&b5000&b20000&b40000&b60000&b80000&b1000000) S2(i+1)=b*0.45-15375; end end end end endendendendendS2(i+1)=S2(i+1)*12; S(i+1)=S1(i+1)*12+S2(i+1); if(S(i+1)=min) min=S(i+1); Sg=S1(i+1); Sj=S2(i+1); jj=i; gz=(q-jj)/12; end end x=q/1000-29; best_tax(x)=min; %(最佳情况总的税收值) month_payment(x)=gz; %(最佳情况总的月工资额 ) best_payment_tax(x)=Sg; %(最佳情况工资部分的税收值 ) reward(x)=jj; %(最佳情况的年终奖 ) best_reward_tax(x)=Sj; %(最佳情况年终奖的税收值 ) end best_tax month_payment reward q=30000:1000:150000 plot(q,best_tax,r+,q,month_payment,bo,q,reward