弹性力学 平面问题的差分解.ppt

,第七章 平面问题的差分解,第七章 平面问题的差分解,平面问题的差分解,7-1 差分公式的推导,7-2 稳定温度场的差分解,7-3 不稳定温度场的差分解,7-4 应力函数的差分解,7-5 应力函数差分解的实例,7-6 温度应力问题的应力函数差分解,7-7 位移的差分解,7-8 位移差分解的实例,7-9 多连体问题的位移差分解,习题课,平面问题的差分解,弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法就是数值解法的一种。,所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。,7-1 差分公式的推导,平面问题的差分解,我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，如图7-1。,设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，例如在3-上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点处，函数f可展为泰勒级数如下：,图7-1,平面问题的差分解,我们将只考虑离开结点充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：,在结点，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：,联立（c）、（d），解得差分公式：,平面问题的差分解,同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：,以上（）（）是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：,图7-2,平面问题的差分解,差分公式()及()是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。,以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。,应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。,7-2 稳定温度场的差分解,平面问题的差分解,本节以无热源的、平面的、稳定的温度场为例，说明差分法的应用。,在无热源的平面稳定场中， ，所以热传导微分方程简化为调和方程 ，即：,（a）,为了用差分法求解，在温度场的域内织成网格，如图7-1所示。在任意一个结点，如在结点0，由差分公式有：,（c）,（b）,平面问题的差分解,代入 ，即得差分方程：,（1）,（1）如果一个温度场的全部边界条件都具有第一类边界条件，则所有边界结点处的 值都是已知的。这样，只须在每一个内结点处建立一个（1）型的差分方程，就可以由这些方程求得所有内结点处的未知 值。,（2）对于具有第二类边界条件的边界结点0，如图7-3a，由于该结点处的温度 是未知的，需要计算，因而也需要在该结点建立一个（1）型的差分方程。为了消去边界外的虚结点1处的温度 ，假定该边界是垂直于 轴的，而且该边界的向外法线是沿 轴的正向，如图所示，则上述边界条件成为：,平面问题的差分解,图7-3,（a）,（b）,其中 是结点0处的沿 方向的已知热流密度。对 应用差分公式，则上式成为：,解出 ，代入（1）式，即得修正的差分方程：,（2）,平面问题的差分解,（3）对于具有第三类边界条件的边界结点0，如图7-3b，也须立出相应于未知值 的差分方程。为了消去该方程中的虚结点温度 ，可利用边界条件得：,其中 为边界以外的介质的已知温度。应用差分公式，可得：,解出 ，代入（1）式，即得修正的差分方程：,当边界垂直于 轴时，也可导出与上式相似的修正差分方程。,（4）对于具有第四类边界条件的边界结点，在完全接触的情,（3）,平面问题的差分解,况下，由于两个接触体的温度场是连续的，因此只要两个接触体具有相同的热性常数，这个边界结点就和内结点完全一样。如果接触不完全，或者两个接触体具有不同的热性常数，则问题比较复杂，这里不进行讨论。,例：设有矩形薄板，如图7-4，长8米，宽6米，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知结点温度标在各结点上（单位为），试求板内的结点温度 至 。,按照（1）式立出结点a至f处的差分方程：,解：用 的网格， 米。,图7-4,平面问题的差分解,按照（3）式立出结点g及i处的差分方程：,联立求解上列8个方程，得到（单位为）：,当温度具有曲线边界或斜边界时，在靠近边界处将出现不规则的内结点，如图7-5a中的结点0。,平面问题的差分解,平面问题的差分解,命 依次等于 及 ，即 依次等于 及 ,得：,消去 ，得到：,平面问题的差分解,于是得到差分方程：,同理可以导出图7-5b中不规则结点0的差分方程为：,假定图7-5a中的边界 是第二类边界。将温度 在临近结点 处沿 方向展为泰勒级数，略去 的三次幂及更高次幂的项，得：,命 依次等于 及 ，得到：,（4）,（5）,平面问题的差分解,消去 ，得：,由边界条件 消去 ，得：,代入（4）式，简化后得差分方程：,同理可以导出图7-5b中不规则结点0的差分方程为：,（d）,平面问题的差分解,代入式（d），得：,如果图7-5b中的边界 是第三类边界，则除了方程（e）外还可以得出相似的方程：,（e）,解出 代入式（4），即得差分方程。,将式（e）和（f）代入式（5），即可得出差分方程。,（f）,7-3 不稳定温度场的差分解,平面问题的差分解,本节简单介绍平面不稳定温度场的差分解法，主要为了说明，如何计算混凝土体中由于混凝土凝结发热而出现的不稳定温度场，供温度应力的计算及温度控制用。,图7-6,平面问题的差分解,平面问题的差分解,平面问题的差分解,(4)对于具有第四类边界条件的边界结点，在完全接触的情况下,边界结点就和内结点完全一样。,不论边界条件如何，都可以由 前的结点温度求得 后的结点温度。具体计算时，可将温度场的经历时间分为若干个相等或不相等的时段 ，从初瞬时开始，依次利用差分方程算出各个时段终了时的结点温度，从而确定各结点处的变温过程。,平面问题的差分解,如果对于 采用向后差分公式，则每一个差分方程中将包含多个结点在 后的温度，因而整个温度场内各结点处的差分方程成为联立方程；对于每一个时段 ，都要求解一次联立方程。这样，虽然由于没有收敛条件的限制， 可以取得大一些，但计算工作量仍然可能很大。,例：设有一混凝土墩，其水平横截面为1.6米 1.6米的正方形。混凝土的浇注温度为2，浇注以后，表面的温度也大致保持为2（第一类边界条件）。混凝土的导温系数取为 米2/时。试用差分法计算混凝土凝结发热期间的不稳定温度场。,解：假定混凝土墩的高度远大于1.6米，因而该温度场的问题可以近似地作为平面问题。在横截面上织成,平面问题的差分解,所以差分方程为：,由于全部混凝土均属于同一龄期，故有 。于是上列三式简化为：,平面问题的差分解,假定由混凝土绝热温升试验得来的数据如下表所示：,平面问题的差分解,三结点处温度变化的过程如图7-9所示：,7-4 应力函数的差分解,平面问题的差分解,当不计体力时，平面问题中的应力分量可以用应力函数的二阶导数表示：,如果在弹性体上织成如图7-10所示的网格，应用差分公式就可以把任一结点处的应力分量表示成为：,（a）,图7-10,（b）,平面问题的差分解,可见，只要已知各结点处的 值，就可以求得各结点处的应力分量。,对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。但是对于边界内一行（距边界为 ）的结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的 值和边界外一行的虚结点的 值。因此必须将网格扩展到边界外，假想在边界外还有一行结点。先算出边界上各结点的 ，再求靠近边界外面一行的各结点的 ，然后解出边界内各结点的联立差分方程。,平面问题的差分解,（一）边界上各结点的 值及导数值,如图7-11，点的 值为：,图7-11,（d）,其中，（1）式右边的积分表示 与 之间沿 方向的面力之和；（2）式右边的积分表示 与 之间沿 方向的面力之和的负数；（3）式右边的积分表示 与 之间的面力对 点力矩之和。,平面问题的差分解,(二)边界外一行的虚结点处的 值,如图7-10中的虚结点13和14：,（三）有限差分法计算步骤,平面问题的差分解,7-5 应力函数差分解的实例,平面问题的差分解,解：假定反力是集中力。取坐标轴如图所示，取网格间距 边长。由于对称，只计算梁的左一半。,图7-12,设有正方形的混凝土深梁，如图7-12，上边受均布向下的铅直载荷 ，由下角点处的反力维持平衡,试用应力函数的差分解求出应力分量。,平面问题的差分解,(2)将边界外一行各个虚结点处的 值( 至 )用边界内一行各结点处的 值表示。由于上下两边 ，所以有：,平面问题的差分解,同样：,（3）对边界内的各结点建立差分方程。,例如对结点1（注意对称性）：,（4）计算边界外一行各结点处的 值。,平面问题的差分解,由式（a）、（b）、（c）可得（ 为单位）：,（5）计算应力。,可见，对于象本例题中这样的深梁，用材料力学公式算出的应力远远不能反映实际情况。,7-6 温度应力问题的应力函数差分解,平面问题的差分解,对于温度应力的平面问题，在平面应力的情况下，物理方程为：,（a）,（b）,平面问题的差分解,（c）,（d）,（e）,平面问题的差分解,用差分法求解温度应力时，根据前面知识有：,对于任一结点0，由式（e）有：,将式（g）、（h）代入式（i），得所需的差分方程：,（1）,（f）,（g）,（h）,（i）,平面问题的差分解,（j）,这样，用差分法求解温度应力问题，就是在（2）所示的边界条件下求解（1）型的差分方程。这些方程中只包含内结点处的 值作为未知量，因而可以用来求解这些未知值，从而求得各结点处的应力分量。,平面问题的差分解,此外，前后两个无热源的平面稳定温度场之差，不会在没有边界约束的单连体中引起任何温度应力（不论前一个稳定温度场经过怎样的不稳定过程而过渡到后一个稳定温度场）。,7-7 位移的差分解,平面问题的差分解,对于只具有应力边界条件的单连体受有常体力时的平面问题，可以通过应力函数的差分解比较简单地求得应力的数值。但是对于多连体，则求解比较繁。当弹性体具有应力边界条件或混合边界条件时，特别是在体力并非常量的情况下，则更难以利用应力函数的差分解。另一方面，即使通过应力函数差分解求得应力的数值，要进一步求出位移也是很繁的。,利用位移的差分解，则不论弹性体是单连体还是多连体，也不论它具有何种边界，以及它所受的体力是否为常量，总可以比较简便地求得位移的数值，从而求得应力的数值。,如图7-13，设网线段0-1上有一点 ，距结点0的距离为 。规定：,平面问题的差分解,结点）处的数值取为常量，据此有：,（二）函数 在垂直于网线方向的导数，在该网线上各点（不包括结点）处的数值取为按线性变化，据此有：,平面问题的差分解,其中：,（三）对于不在网线上的任一点 ，则取为：,这样就有：,平面问题的差分解,二、领域,某个结点的“领域”，是指环绕该结点的那两段、三段或四段网线的垂直平分线所围成的区域。例如图7-14中，角隅结点1的领域是 的正方形1 ；角隅结点2的领域 是 的矩形 。,三、推导内结点处的差分公式,在图7-15中，内结点0的领域是虚线所示的 的正方形。在该领域上，作用于 方向的外力总和用 代表，以沿 轴的正方向为正；作用于 方向的应力有 、 、 和 。由该领域在 方向的平衡条件得：,平面问题的差分解,由差分公式，有：,平面问题的差分解,为了计算方便，将上列两个差分方程分别用图7-16和图7-17的差分图式来表示。,平面问题的差分解,平面问题的差分解,四、边界结点处的差分方程,(1)设弹性体具有垂直于 轴的某一边界 ，如图7-18，其向外法线系沿 轴的正向。边界结点0的领域为 的矩形，如图中虚线所示。用 表示该领域所受的 方向的外力总和（包括体力和面力，以沿 的正向为正）。平行于 轴的应力分量有 、 、 。由该领域在 方向的平衡条件：,图7-18,平面问题的差分解,应用差分公式，有：,平面问题的差分解,代入式（2），简化后得：,其差分图式如图7-19所示。,图7-19,平面问题的差分解,如果结点0在 方向的位移分量 是未知值，同理可以得到如图7-20所示的图式。,如果边界 的向外法线是沿 轴的负向，则作用于边界结点0的领域的应力分量及外力分量如图7-21所示。与前面运算相似，可得出相应于未知值 及 的差分方程，它们的差分图式分别如图7-22、7-23所示。,平面问题的差分解,图7-22,图7-23,平面问题的差分解,图7-25,图7-24,平面问题的差分解,图7-27,平面问题的差分解,在两个边界的交点(角点),结点0的领域将是 的正方形。假定该二边界的向外法线都沿着坐标轴的正向，如图7-28。在虚线所示的结点领域上，作用于 方向的外力总和仍用 表示，平行于 轴的应力分量只有 和 。如果 是未知的，则相应于 的差分方程可由该领域在 方向的平衡条件得来，该平衡条件为：,利用物理方程和几何方程改换为：,由差分公式可得：,平面问题的差分解,平面问题的差分解,代入上式简化后，得相应于未知值 的差分方程：,其图式如图7-29所示。同样可得相应于未知值 的差分方程，其图式如图7-30所示。,同理，如果在角隅结点0处，一个边界或两个边界的向外法线是沿坐标轴的负向，也可得出相应于 和 的差分图式。,平面问题的差分解,如图7-31至7-36。,图7-30,图7-29,平面问题的差分解,平面问题的差分解,平面问题的差分解,y,平面问题的差分解,7-8 位移的差分解的实例,例1：设有四边固定的矩形薄板，如图7-37，长度与宽度之比为 ，密度为 ，为简单起见取 。试用 的网格计算自重引起的位移和应力。,解：由于对称，只有三个独立的未知值，即 、 、 （ ）。相应于 、 、 的差分方程为：,平面问题的差分解,对于边界上的结点，利用端点导数公式，得：,平面问题的差分解,通过同样的计算，可见在所有各结点处都得到：,例2：设例1中的薄板改在下边受连干支承（光滑支承），如图7-38，试求自重引起的位移及应力。,简化后求解，得：,图7-38,平面问题的差分解,的计算同例1。下面计算几点处的 及 ：,平面问题的差分解,例3：设有矩形深梁，左右两边固定，上边受均布载荷 ，如图7-39。试求位移及应力。取 。,图7-39,平面问题的差分解,相应于 和 的差分方程为：,相应于 和 的差分方程为：,平面问题的差分解,将上列6个方程简化后联立求解，得位移分量为：,应力分量为：,平面问题的差分解,平面问题的差分解,而由应力边界条件有 。所以误差为 。其它应力数值的误差大致也属于这个量阶。为了得到较精确的应力数值，必须把网格加密。,说明：对于只具有应力边界条件的单连体平面问题，虽然也可以用位移差分解求得应力分量，但是，改用应力函数差分解时，同样的网格可以给出较精确的应力数值，而且计算工作量较少。因此，如果不须求出位移而只需求出应力，则毫无疑问的应当用应力函数差分解，而完全不必用位移差分解。,平面问题的差分解,7-9 多连体问题的位移差分解,一、内尖角处的结点位移差分方程,用位移分量的导数来表示应力分量，则上式成为：,（a）,平面问题的差分解,按照差分公式，有：,平面问题的差分解,代入式（a），简化后，得相应于未知值 的差分方程：,差分式如图7-41所示。,平面问题的差分解,同理，可得相应于未知值 的差分方程，差分式如图7-42所示。,二、多连体的位移差分解,设有 的正方形薄板，如图7-43，中间有 的正方形孔口，在上下两边受均布压力 。,取 ，相应于 的差分方程为：,图7-43,平面问题的差分解,其余11个差分方程按7-7中的差分图式列出。联立求解上述12个方程，得（以 为单位）：,应力分量可以和以前一样求得。但是，由于网格太疏，算出的应力数值只是粗略近似的，而内结点处的应力数值将具有特别大的误差。,平面问题的差分解,平面问题的差分解习题课,练习1用差分法计算如图1所示