世纪金榜人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套课件热点专题突破系列（五）圆锥曲线的综合问题

热点专题突破系列(五) 圆锥曲线的综合问题,考点一 圆锥曲线中的定点问题 【考情分析】以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过巧妙 设计和整合命题,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交汇 考查. 【典例1】(2015西安模拟)已知椭圆C: =1(ab0)经过点 一个焦点是F(0,-1).,(1)求椭圆C的方程. (2)设椭圆C与y轴的两个交点为A1,A2,点P在直线y=a2上,直线PA1,PA2分别与椭圆C交于M,N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒过定点Q?证明你的结论.,【解题提示】(1)由点 在椭圆C上及F(0,-1)可求椭圆C的方程. (2)先利用P的特殊位置,即P在y轴上时,确定若直线MN恒过定点,则 该定点一定在y轴上,然后利用三点共线的条件解决.,【规范解答】(1)由题意知c=1, 可设椭圆方程为 因为 在椭圆上, 所以 解得b2=3, 所以椭圆的方程为,(2)假设存在定点Q. 当点P在y轴上时,M,N分别与A1,A2重合,若直线MN经过定点Q, 则Q必在y轴上,设Q(0,m), 当点P不在y轴上时, 设P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2), 因为A1(0,2),A2(0,-2), 所以直线PA1的方程为 直线PA2的方程为,将 代入 得(3+t2)x2+6tx=0, 解得 所以 将 代入 得(27+t2)x2-18tx=0, 解得,所以 因为 所以 所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1, 所以当点P在直线y=a2上运动时,直线MN恒经过定点Q(0,1).,【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.,【变式训练】(2015南京模拟)如图,已知椭圆C: +y2=1(a1)的 上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.,(1)求椭圆C的方程. (2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且 求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.,【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程 (x-3)2+(y-1)2=3, 圆M的圆心为M(3,1),半径 由A(0,1),F(c,0) 得直线AF: 即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得 (舍去). 当c= 时,a2=c2+1=3, 故椭圆C的方程为C:,(2)由 知APAQ, 从而直线AP与坐标轴不垂直, 由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1, 直线AQ的方程为 将y=kx+1代入椭圆C的方程 并整理得: (1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0或,因此P的坐标为 即 将上式中的k换成 得 直线l的方程为 化简得直线l的方程为 因此直线l过定点,【加固训练】(2015保定模拟)设椭圆E: =1(ab0)的离心 率为 且过点 (1)求椭圆E的方程. (2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两 点M,N(M,N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否