2017届九年级数学中考总复习等腰三角形提高知识讲解.doc

等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)BC； (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为120，故此题应选D【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【变式2】在ABC中，A=40，当B= 时，ABC是等腰三角形【答案】40、70或100提示：分为两种情况：（1）当A是底角，AB=BC，根据等腰三角形的性质求出A=C=40，根据三角形的内角和定理即可求出B；AC=BC，根据等腰三角形的性质得到A=B=40；（2）当A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出B类型二、等腰三角形的操作题2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形（要求标出每个等腰三角形的内角度数）【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；在右图ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可【答案与解析】解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使ADB=110，ADC=70，BAD=35，CAD=40，如图（2）所示：在AC上取一点D，使ABD=32，CBD=16，ADB=32， BDC=148【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形举一反三：【变式】（2015温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数 【答案】解：如图1：直线把75的角分成25的角和50的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120的角分成80和40的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形 类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用3、（2015春沂水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，A=60，ADC=150，已知四边形ABCD的周长为32cm，求BCD的面积【思路点拨】先根据题意得出ABD是等边三角形，BCD是直角三角形，因而只要求出CD与BD的长就可以求出结果【答案与解析】解：AB=AD=8cm，A=60，ABD是等边三角形，ADC=150CDB=15060=90，BCD是直角三角形，又四边形的周长为32cm，CD+BC=32ADAB=3288=16cm，设CD=x，则BC=16x，根据勾股定理得到82+x2=（16x）2解得x=6cm，SBCD=68=24【总结升华】本题综合考察了等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及直角三角形的面积公式.举一反三：【变式】如图在RtABC中，ACB=90，B=30，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个【答案】4；提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证BAD=CAD=B=30，即证ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证CDE，AEC是等腰三角形；再证ECB=B=30，即证BEC是等腰三角形即图中的等腰三角形共有4个 4、如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，根据等腰三角形的判定推出即可【答案与解析】 证明：ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出CEF=CFE举一反三：【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（）A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算【答案】A；提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长类型四、含30角的直角三角形5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使ACB=15然后朝着旗杆方向前进到点D，测得ADB=30，量得CD=13m，求旗杆AB的高 【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半解答即可【答案与解析】解：ACB=15，ADB=30，CAD=ADB-ACB=30-15=15，即CAD为等腰三角形，AD=CD=13，在ADB中，ABDB，ADB=30，AB=AD=13=6.5(m)【总结升华】本题考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键举一反三：【变式】已知：如图，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB【答案】解：DEAB，AED=BED=90，DE是ADB的平分线，3=4，又DE=DE，BEDAED（ASA），AD=BD，2=B，BAD=2=BAC，1=2=B，AD=BD，又1+2+B=90，B=1=2=30，在直角三角形ACD中，1=30，CD= AD= BD类型五、反证法6、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的