阳光外国语学校滕晓英关注过程性教学的有效性点燃思维火花.doc

关注过程性教学的有效性 点燃思维火花 谈“三角形中位线定理”的推导 摘要：教学实践证明，数学教学中注重过程是学生获得数学基本技能，发展数学思维能力，初步掌握学习和探究数学问题的基本方法的重要途径。有效的教学学习过程，不能单纯依赖模仿与记忆，教师应当引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。关键词：过程教学 思维能力 学习策略一、研究背景新课标要求，有效的教学学习过程，不能单纯依赖模仿与记忆，教师应当引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。平面几何中的定理都有它的发现和发展过程，许多著名定理都是人们经过艰辛的努力，甚至是花费几代人的心血，经历几个世纪的努力，才发现或获得证明，如果直接按照“给出定理证明定理应用定理”的模式去进行教学，学生往往难以理解和掌握，教学效果有时很不理想。这就需要我们在进行有些重要定理的教学时，改变以往老的教学模式，精心设计，引导学生不断地去探索，去研究，去发现定理，从而真正体会每个定理的真实含义。现以“三角形中位线定理”的推导为例，谈谈如何在几何定理的推导中注重过程教学。二、教学内容分析三角形的中位线是上海版教材八年级第二学期“三角形、梯形的中位线”第一课时的内容,是在学生学完了三角形，四边形内容的基础上进行的。 三角形中位线定理是平面几何的一个重要定理，它的推证是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用。该定理对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。三角形中位线定理的证明，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用。本节课中关于三角形中位线定理的推导，是几何定理教学中的难点，那么到底应该怎样引导学生“发现”这个命题并找到证明它的方法呢？以下是结合我在校公开课上执教的课例做说明，谈谈我是如何突破教学难点的。三、课堂教学片段及反思第一次教学片段我先直接给出三角形中位线概念。然后进行以下提问。我：你能猜出三角形中位线与第三边有怎样的关系吗？生1：平行生2：（稍加思考）等于第三边的一半。我：同学们的猜测是否正确，需要进一步验证，可以怎样验证呢？（此刻，我的内心是比较紧张的，因为不知道学生能否回答得出来，还好，数学课代表举手了，于是请他回答。）生：延长DE至点F，使得EFDE，联结CF图1（如图1所示），由和全等，得CF=AD=BD;由得AD/CF，得到平行四边形DBCF，得DE/BC，DE= DF= BC；定理得证 。 (我心中悬着的石头总算落地了，课代表顺利地讲解了思路，课可以按原计划顺利开展下去了。其他同学也频频点头，都觉得他讲的非常有道理。) 我：这位同学说的非常好，由此我们可以得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。第一次反思：本节课是让学生通过观察得到三角形中位线的相关性质，再请好同学讲解证明思路，并证明，从而得到三角形中位线定理。由于定理的推导比较顺利，时间也用的不多。于是有了大量的时间用于练习，教师感觉非常有成就感。然而同组听课老师提出的三个疑惑使我意识到了问题的严重性。疑惑一，学生通过观察得到的三角形中位线的性质是否准确；疑惑二，证明思路由好学生直接给出，不具代表性，是不是大部分学生都能想到证明的思路呢，况且这个证明过程与课本上的一样，不排除他是通过预习后得到的方法，不一定真的知道为什么可以这样添辅助线。疑惑三，基础较差的学生在为什么在解题时不能很好表述三角形中位线的性质。是啊，教学中存在那么多的问题，我怎么没有意识到呢，还沾沾自喜，以为上的不错！思来想去，终于找到了问题的根源所在，那就是在几何定理的教学中重定理的应用轻定理的生成。在定理的产生和论证过程中没有给学生思考的时间，都是教师在教授，灌溉知识，或是通过好学生在间接灌溉知识。在整个教学过程中，没有听到大多数学生的想法，也没有激发学生思维的火花。如何才能有效引导学生发现结论，找到证明的突破口呢？让学生知其然，更知其所以然。第二次教学片段我提出问题如下：一张三角形纸片，用一条平行于这个三角形一边的直线，把它分割成一个梯形和一个小三角形，使得梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形。用剪刀尝试分割。学生通过动手操作发现这条剪痕的两个端点分别是两边的中点。由此引出三角形中位线概念。接着我要求学生先画一个三角形，再画三角形的中位线，然后通过观察、度量等方法猜测三角形中位线与三角形第三边的数量、位置关系如何？生1：通过测量我发现三角形的中位线等于第三边的一半。生2：通过观察我发现三角形的中位线平行于第三边。生3：通过测量得到,由此我推出DE/BC。 我：同学们的大胆猜测是否正确，需要进一步验证，那么怎样验证呢？请大家分小组讨论。（学生以四人一组开始讨论，6分钟后我要求学生汇报讨论结果）生：如图1延长DE至点F，使得EFDE，联结CF（证明过程与课本上给出的还是一样）我：怎么想到这样证明呢？生：从刚刚的动手操作中得到启发。把认为是绕着点E旋转180度后得到的，所以想到这样添辅助线。（分析过程也和课本上给出的一样）我：说的非常好，那么其他同学还有其他的证明方法吗？（话音刚落，有同学摇头的，有同学皱眉的，他们的表情和动作告诉我一个信息：没有想到其他的证明方法！此刻我的心情有点沮丧，为什么小组讨论了，还是想不到其他办法呢？）于是根据刚刚那位同学的思路，进行结论的证明，得到三角形中位线定理。在学生用文字叙述完定理后要求学生用几何语言形式表达，即在中，AD=BD,AE=CE DE/BC,且DE=BC第二次反思：本节课通过一个问题情境，即让学生动手操作将一个三角形分割成一个梯形和一个小三角形，然后再拼成一个平行四边形。本来是打算让学生在操作的过程中，体会到了中位线的存在，真实感受中位线，从而引出三角形的中位线概念。继而想到为什么这样的分割方法能拼成平行四边形呢？这里就为中位线定理的证明做了铺垫。然而在实际的操作中发现，有好多的学生拼出的图形只能说是像平行四边形，因为线段AE并没有精确地与线段EC重合，有的学生甚至误差很大，少数学生根本就拼不出四边形。说明他们并没有真正找到中位线，自然更体会不到这个操作对定理证明的作用。可见动手操作的过程只是给部分基础较好的学生提供了一种辅助线的添法。提前揭示了定理的证明，但同时也局限了学生的思维。这就说明学生还是没有理解问题的实质，即如何证明线段的倍分关系和平行关系。只是就题论题而已。可见这个问题情境并非有效。在猜想性质的过程中是通过让学生画出三角形的中位线，然后运用观察、测量等方法得到三角形中位线的性质。这也是让学生在动手实验的基础上猜测性质，比较有说服力。但同组听课老师指出，事实上，在作图过程中，有多少同学能精确作出中位线，测量到的数据只能是做到近似，而非准确。因此虽然学生都顺利地提出了“猜想”，但仔细分析不能不说这具有“偶然性”，并且也不排除学生预先知道这一结果的可能。而学生的再创造的学习过程绝不可能都是通过偶然来发现的，这里缺乏一个合情推理的过程。由此可见，要学生“提出猜想”实际上是一个非常复杂的问题，远非通过“度量”、“观察”一组数据就可完成的。如何使学生的猜想有所依托，“合情推理”是实施“提出猜想命题”这一学习任务的关键。 在证明猜想的过程中，我要求学生小组讨论，得到证明方法。本来想，运用小组讨论的形式可以给学生较长时间的思考，然后依靠小组的力量，集体的智慧，总能想出几个证明方法的。然而学生的反应再次给了我当头一棒。为什么经过讨论后还是书上的一种证明方法和分析思路呢？学生是真的找到了证明的方法还是预习起的作用呢？可见小组讨论并没有达到教师预设的目的。这是一个无效的小组讨论。原因在哪呢？由于三角形中位线定理的证明需要通过添加辅助线来证明。这个对学生而言是非常难的。教师在学生小组讨论前没有很好的启发学生如何添辅助线，导致学生不能很好的利用所给条件进行突破！也就是说，在学生对结论进行证明时，应该重视数学知识的发生过程，让学生理解和体会这个思路如何被想到的，也就是证明的思维是如何发生的。 在得到三角形中位线定理后，要求学生用两种方式叙述定理，在几何定理教学中，应注意训练学生用不同的形式来叙述定理，这对于提高学生的表达能力无疑是大有裨益的。第三次教学片段我先要求学生画一个有一条边为6cm的三角形。然后请他们取另外两边中点，联结。在得到中位线的概念后进行提问。我：同学们，你们的三角形和其他同学的一样吗？这样的三角形你能作几个呢？生：不一样，能作无数个。我：现在请大家测量一下你所作的三角形的中位线的长度。通过测量，学生发现这条中位线的长度都是3cm。这时我又提问。我：我们所作的三角形都是形状不相同的，为什么中位线都是相等的呢？这到底与什么有关呢？生1：老师，我发现我们的三角形虽然形状不同，但都有一条边是6cm，而中位线正好是它的一半。我：那么三角形的中位线与这条6cm的边还有怎样的关系呢？生2：我还发现了这条中位线还平行于这条边。我：你又是怎么发现这条中位线平行于6cm这条边呢？生2：观察得到的。生3：我是用量角器测得两个同位角相等，由此判定两条直线平行。在学生通过观察、度量等方法猜测三角形中位线性质的基础上，结合几何画板加以数据比对，克服了先前的由于数据测量误差或是数据量的不足而引起的错误。在学生感慨几何画板给他们的学习带来真正数学经验的同时，我提出以下问题。我：同学们，想一想，为什么我们得到的中位线长度都是3cm，都是第三边的一半且都平行于第三边呢？（此时，学生都面面相觑，不知如何说明。）接着我要求学生运用小组讨论的形式进行猜测的验证。在小组讨论前，进行启发。我：同学们，现在已知什么，要求证什么？生：已知：在中，AD=BD,AE=CE 求证：DE/BC,且DE=BC我：证明某条线段是某条线段的一半，有哪些证明方法？生1：线段加倍法生2：线段折半法我：证明两条直线平行，又有哪些证明方法？生1：平行线判定定理生2：平行四边形对边平行的性质判定。我：很好，接下去就请同学们利用这些方法，证明你所猜测的结论。（经过适当启发，这次的讨论，学生的目的性非常强，讨论也相当激烈，在巡视中，我发现基础较好的学生完全能通过添加辅助线的方法证明他们所发现的结论，6分钟后，我故意抽了一位基础中等偏下的学生汇报讨论结果。这位学生有点紧张，红着脸表示自己没有全部证出来。我鼓励他把自己的想法先说出来，再结合小组意见讲一下。）生1：利用线段加倍法，可延长DE至点F，使得EFDE，联结CF（如图1所示），可证和全等，得CF=AD=BD;由得AD/CF，我把两个三角形全等所能得到的结论都写出来了，但不知道接下去怎么证了？（此时，我很激动，因为我很想知道，这位学生在思维受阻后，小组的其他成员是怎么帮助他的？）我：那么后来呢，其他小组成员怎么说？生1：后来XX说，如果能证明四边形DBCF是平行四边形，那么利用平行四边形的性质就能得出DF=BC，DE/BC了。问题就解决了。而利用CF=BD和AD/CF不就能证明四边形DBCF是平行四边形了啊。哎，我怎么就没想到呢，呵呵。（此时，我很高兴，因为学生能想到把三角形的问题转化到平行四边形中去解决。）我：这个小组的方法非常好，其他小组还有其他的证明方法吗？（马上，又有学生代表小组汇报不同的讨论结果。）生2：利用线段加倍法，延长DE到F，使EF=DE，通过联结AF、FC、CD把问题转化到平行四边形ADCF中去，再根据平行四边形判定证明四边形DBCF是平行四边形，得到DF=BC。(如图2所示) 生3：利用线段折半法，取BC的中点G，联结GE并延长，过A作AF/BC,交GE的延长线于点F。利用平行四边形证明DE=BG。（如图3所示）生4：第一位同学辅助线的添法也可以认为是把认为是绕着点E旋转180度后得到的。我：前两位同学把的线段DE延长成双倍，第三位同学把2倍的线段BC分成一半，第四位同学用图形运动的观点来添加辅助线。同时他们都是把三角形的问题转化成平行四边形的问题来解决，相当精彩。也就是说，在今后的学习中，我们可以通过添加适当的辅助线，将图形转化成另一个图形，然后利用你所学到的知识，解决新的问题。我：请同学们总结三角形中位线的性质生：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。我：由此我们得到了三角形中位线定理。第三次反思：本节课的动手操作是让学生画一个有一条边是6cm的三角形，由于每个学生所画的三角形都是不同的，而中位线的长度都是相等，且都是平行于第三边的。这就很好地激发了学生的探究欲望。在猜想的过程中运用了几何画板技术，首先丰富了数据资料，为学生猜想命题搭建了思维和推理的平台，然后通过具体的逻辑证明，也是让学生的思维顺势经历了从具体计算到逻辑演绎的过程。在开展小组讨论前，教师通过适当启发让学生明确讨论的目的是什么，要解决怎样的问题。可以从哪些方面进行讨论，解决问题的突破口在哪里。从而进行有效的小组讨论。更好地激发学生的解题思维。在讨论结束后，要引导学生汇报讨论结果，并且展示他们的思维过程，到底是怎样想到这样的证明思路的。在思维受阻的时候，又是如何解决的。从而培养他们应用数学分析问题，解决问题的能力和意识。经历了三次讲课，三次反思，这次的教学活动使我受益匪浅。对几何定理教学中的定理推导也有更深刻的体会。对过程性教学的有效性有了更深刻的理解。数学教学不仅要使学生掌握数学知识的结论，还要让学生了解知识生成的全过程；不仅要使学生掌握基本知识和技能，还要让学生掌握数学思想方法，促进思维发展。要提高过程性教学的有效性必须注重以下几个方面。一、 注重思维过程的有效性，培养学生数学思维品质。学生数学认知结构的形成和发展，是经过一系列数学认知(思维)活动过程而得到的。因此，教师在讲授数学知识的同时，也要注意让学生在数学知识的建立和发展过程，数学知识的运用过程中进行积极思维，以培养学生数学思维品质。在定理的推导过程中，教师应首先让学生自己去探索结论，然后运用所学知识对发现的结论进行证明。在证明过程中，及时引导学生暴露他们的思维过程。比如在学生证明完成后问一句：“怎么想到这样证明呢？”或是在得到一种证明方法后再问一句：“还有其他的证明方法吗？”，如果学生没有想到其他方法，可以继续启发学生“看到已知条件，你可以得到哪些结论”或是“要得到这个结论，有哪些方法，如何准确运用已知条件”等等。在教师和学生的一问一答中，让学生把他们正确的或是错误的思维充分暴露出来。在数学活动中，有意识地让学生一题多解，开阔他们的思路，这个过程培养了学生数学思维的敏捷性，灵活性。运用已有信息解决现存问题，也培养了学生数学思维的创造性品质。在中位线定理推导的教学过程中我先是设计了一个动手操作，让学生体会虽然所画的三角形形状不同，但它们的中位线长度相等，原因是因为第三边都是相等的。并且中位线都是平行于第三边的”，那么这个结论应该怎么证明呢？从学生面面相觑的表情中，暴露出他们的思维处于受阻状态。这里因为涉及到问题的本质，学生一般不知道其中的内在原因，进入了一种“心欲求而未得，口欲言而不能”的心理状态。此时我进行及时引导，继续提问：“对于证明某条线段是某条线段的一半，有哪些证明方法？”这时，学生的思路被打开了，逐步揭示了问题的实质。在小组汇报中，有位学生说他在添好辅助线，完成三角形全等的证明后就不知道怎么办的时候，我要求他说说后来怎么解决问题的。目的是让其他学生了解到这位学生之所以没有很好解决问题，是因为他只看见事物表面现象，而没有去思考现象背后的原因，继而引导学生深入性思考问题，培养他们数学深刻性品质。二、注重探究方法的有效性，提升学生探究能力。注重过程的教学就是在教学活动中，以问题探究为中心，以能力培养、开发学生潜能为重点，以发展学生的综合素质为宗旨的教学行为。在这种教学活动中，应该创设学生主动参与、探索发现、交流合作的学习活动环境，让学生通过各式各样的探究活动诸如观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，自己得出数学结论。将学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认识活动凸现出来，使他们参与并体验数学知识的获得过程，建构起对数学的新的认识，并培养数学探究的能力。通过数学探究式教学，学生可以从多角度、深入地理解数学知识，利于建构数学知识间的联系，从而使他们在面对实际问题时，能更容易地激活数学知识，灵活地