计量地理 第十章 主成分分析地理模型.doc

第十章 主成分分析地理模型 主成分分析是把多个指标化成少数几个综合指标的统计分析方法。 由于地理学所研究的问题综合性很强，考虑的方面很广，所以描述研究对象特征的特征量很多，这就迫使我们在很高维的空间来研究问题，从而带来了很多不便。 为了能更容易了解研究对象的特点和规律，更有利于对问题的研究，需要在损失一些次要信息的条件下，通过一些变换减少特征量的个数，降到低维系统来研究，即将P个指标所构成的P维系统简化为一维系统。 从主分量的观点来探讨这个问题，主成分分析所构成的第一主分量正是这一问题的答案。 多指标（变量）研究存在的问题主成分分析方法第一节 主成分分析的方法和原理 为了能定量地研究某一对象的特点及规律，总要选取一些表示它的特性的数量指标，常称为特征量或称为因子。 一般开始时的特征量较多，而且往往相互相关，进一步人们希望在初选的N个特征量X1，X2，XN的基础上，能找到比N更少的几个综合性特征量。 比如R（RN）个特征量之间互不相关，而且能反映原来的主要信息，这样就可用较少的几个综合特征量来研究对象的特点，显然就会给研究工作带来许多的方便。 假设有N个样品，每个样品有二个指标，即在二维空间中讨论主分量的几何意义。 设N个样品在二维空间的分布大致为一个椭圆，如图所示： x2 x1 将坐标系进行正交变换，旋转一个角度q，使其椭圆长轴方向取坐标Y1 ，在椭圆短轴方向取其坐标为Y2，经过旋转变换后，得到图的新坐标。新坐标Y1OY2有如下性质 Y1和Y2称为原始变量X1和X2的综合变量。由于N个点在Y1轴上的方差最大，因而将二维空间的点用在Y1轴上的一维综合变量来代替，所损失的信息量最小，由此称Y1轴为第一主分量。 Y2轴与Y轴正交，有较小的方差，称它为第二主分量。 一般来说，如果N个样品，每个样品有P个指标，X1，X2，XP，经过主成分分析，将它们综合成P个综合变量，即： Y1= C11X1+C12X2+C1PXP Y2= C21X1+C22X2+C2PXP YP= CP1X1+CP2X2+CPPXP （公式）并且满足:公式：CK12+CK22+CKP2=1 (K=1,2,P)其Cij由下列原则决定:第二节 主成分分析的解法设X= 是一个p维随机向量。 坐标旋转的意义 假定X为标准化处理后的数据矩阵， 则XX为原始数据的相关矩阵。 令 R=XX求解齐次方程R=I|=0的非零解，得到P个特征方程的特征根，相应的各个Cij为其特征向量的分量。称为第一、第二、第p个主分量。第三节 主成分分析的计算过程 为了使样本在降维中所引起的平方误差最小，必须进行两方面的工作:主成分分析计算步骤6、根据对总方差的累计贡献率，选择前R个主成分作为新的特征量，达到降维的目的，这时主成分资料矩阵中有用的部分为R阵的前R列，同理负荷系数矩阵有用的部分也为L阵的前R列。第四节 主成分分析的应用1、 主成分分析法构造回归模型 主成分分析在简化结构、消除变量之间的相关性方面起到了明显的效果，但也给回归模型的解释带来一定的复杂性。 因为主分量是原始变量的线性组合，最终仍需回到原始变量中去，才能给回归模型赋予地理意义上的解释。 当然，这些线性系数可以视作权重系数，在某种意义上，这些权是反映了各个变量的相对重要性的数量。2、 主成分分析筛选变量法 为了使回归模型在实际中得到解释，使模型本身易于作结构分析、控制和预