曲面恒力机构的设计--论文.docx

曲面恒力机构的设计摘要：设计了一种曲面恒力机构，该机构主要由一个圆柱面和一个曲面组成。圆柱面与曲面之间接触点法向力的大小和方向满足一定的关系，使法向力在竖直方向的分力保持恒定。建立了法向力大小与方向之间的关系，并确定了圆柱面圆心运动轨迹为抛物线，通过包络加工可得到实际曲面。最后，分别讨论了由摩擦力引起的误差、机构安装误差和加工误差对该机构恒力输出的影响。结果表明，摩擦力对机构恒力输出的影响很小，验证了忽略摩擦力的合理性，简化了运动轨迹方程的求解过程，从而使得该机构的数学模型简单，且获取实际曲面轮廓的加工方法简单，能够实现较为精确的恒力输出。关键词：曲面；恒力；轨迹方程；误差分析Design of curved surface constant force mechanismAbstract: A kind of curved surface constant force mechanism has been designed. The principle of this mechanism is that the contour of parts to produce constant force meets certain requirements, so that the direction of the normal force of the componentscontact point has certain function relationship to do with horizontal force. Through reasonable design the theoretical calculation（未完）.Key words：curved surface；constant force；trajectory equations；error analysis 0 引言恒力机构能在牵引物体运动过程中保持恒定的作用力，它不同于传统的圆柱弹簧与其他弹性体，恒力机构不满足胡克定理1。恒力机构对设备的安全性和可靠性有重要影响，恒力机构现已在诸多领域和场合得到了广泛应用，如物体夹持2、管道清洗3、热力发电4、机器人末端机构5,6等。目前，获取恒力的方法主要包括通过重力获取和通过弹性体变形获取。文献7,8介绍的线切割机恒力张紧机构通过重物受到的重力作为恒力的输出，使得零件加工精度提高，这种方式对使用条件有一定的要求，只能在竖直方向产生恒力，使用范围窄，因此，在实际应用，通过弹性体的变形获取恒力方式得到了广泛更加的应用。文献9,10设计了一种恒力机构作为电子连接器，该机构简单，通过建立优化数学模型，研究了它的恒力特性。文献11设计了一种基于弹簧-凸轮-转轮的恒力机构，通过弹簧-凸轮生成恒定力矩，恒定力矩通过转轮输出恒定力。通过数值求解的方法，求解出了凸轮的轮廓。文献12设计了一种恒力弹性机构，其原理是通过设计传力构件廓形，控制构件接触点法向，使机构内部力的传递方向与位移之间呈一定的函数关系，从而达到机构的输出力与位移之间呈所需函数关系的目的。在设计构件时首先假设两接触构件轮廓相同，然后建立数学模型，求出轮廓方程，由于轮廓方程过于复杂，采用数值求解方法获得曲面轮廓。在上述研究中，机构的数学模型要么较为复杂，要么难以建立。针对以上不足，本文设计了一种曲面恒力机构。该方案主要由一个圆柱面和一个曲面组成，曲面轮廓满足一定的要求，使得圆柱面与曲面之间接触点法向力的方向与水平力呈一定的函数关系。基于此原理，设计了该机构的结构方案。求解出了的圆柱面圆心运动轨迹方程，并计算了实际曲面轮廓。讨论了由摩擦力引起的误差、机构安装误差和加工误差对该机构恒力输出的影响。该恒力机构的数学模型简单，获取实际曲面轮廓的加工方法简单，能够实现较为精确的恒力输出。1曲面恒力机构的结构设计图1 曲面恒力机构结构图Fig1. The structure of the curved surface constant force mechanism如图1所示，整个结构关于曲面推杆1呈对称布置，其中垂直滑块4和垂直滑块5上都安装有多个轴承，主要是为了减小摩擦，且轴承之间错开安装可使体积减小，结构紧凑。初始状态时，两个垂直滑块5接触，且曲面推杆1的曲面部分与两个垂直滑块同时接触。两个弹簧3有一定的预压，预压长度与轴承6半径相等，为了使弹簧3的预压长度较为精确，可通过调节螺钉2进行微调。预压完成后，将曲面推杆1往下移动适当距离，并将曲面推杆1的上端与被作用部件接触。工作时，弹簧3产生的弹力经过垂直滑块4作用到垂直滑块5上，最终传递给曲面推杆1。图2 曲面恒力机构结构简图Fig2. The diagram of the curved surface constant force mechanism如图2（a）所示，该结构简图由一个圆和一条曲线组成，圆与曲线接触，圆只能沿x轴做水平运动，曲线只能沿y轴做上下运动。圆沿着曲线做纯滚动，忽略圆与曲线之间的摩擦力（该摩擦力对机构恒力输出影响很小，详见后面误差分析部分）。当圆处于位置A时，曲线的受力情况如图2（b）所示，并根据作用力和反作用力的关系知，所受合力为F，沿水平方向上的分力为F，该分力由弹簧提供，沿竖直方向上的分力为FN，其中，FN=Fsin。圆由位置A运动到位置A时，合力由F减小到F,而合力与水平方向的夹角由增大到，最终使得FN保持不变。2曲面轮廓的确定2.1圆心运动轨迹的确定 图3恒力机构的受力分析Fig3. The force analysis of the constant force mechanism如图3（a）所示，忽略圆与曲线CD之间的滚动摩擦力，首先假设实际曲线CD已知，求解圆心的运动轨迹。为了方便讨论，将曲线CD固定，圆沿着曲线CD做纯滚动，圆心E的运动轨迹为曲线AB，直线n为圆与曲线CD接触点的切线，且与水平正方向的夹角为，过圆心E做直线n的平行线n1。此时圆的受力如图3（b）所示。假设水平方向上力F由线性弹簧提供，且力的大小与圆心的坐标成正比即F=kx，由几何关系知 tan=kxFN （1）式中：k为弹性系数，N/mm；x为圆心的横坐标，mm；FN为竖直方向的分力，N。又因为曲线的倒数满足y=tan （2）式中：y为圆心运动轨迹方程的倒数。联立（1），（2）解得y=kx22*FN+C（3）式中：C为常数。由该方程知，进过简化后，圆心的运动轨迹为抛物线。22实际轮廓曲线方程的确定图4 圆心运动轨迹与包络线Fig4. The circle trajectory and the envelope line如图4所示，通过圆心运动轨迹AB来求解实际曲线方程CD。由于圆在运动过程中与曲线CD是接触的，所以曲线CD可以看成是圆沿着曲线AB形成的包络线。由方程（3）知，圆心的运动的轨迹是抛物线，其中C值不会影响抛物线的形状，为了讨论的方便，简化计算过程，假设常数C为零，计算此时曲线CD的方程。如图5所示，由于曲线CD关于y轴对称，故只讨论左半部分。设圆心在曲线AB上的点为E（x,y），并过E点作曲线AB的切线，圆与曲线CD的切点为E（x1,y1），并过E点作曲线CD的切线。由包络线的性质知，两条切线EF、EF相互平行。图5 实际曲面轮廓简图Fig5. The diagram of the actual curved surface contour由几何关系知：x1=x-sin*R （4）y1=y+cos*R（5）y=kxFN=tan=y1（6）y=kx22*FN（7）式中： 为两条切线与x轴正方向的夹角；R为圆的半径，mm。联立（4）（7）解得y1=y12*FN2*k+R1+y12（8）式（8）即为实际曲线的方程，但是由于微分方程形式较为复杂，实际解难以求得。为了获得实际曲线轮廓，可以通过圆心间接获得，即让半径为R的铣刀沿圆心轨迹AB运动或者让半径大于R的铣刀往外偏移一定距离（偏移距离为两铣刀半径之差），经铣刀外圆包络加工形成的曲线就是实际轮廓曲线。3 曲面恒力机构的误差分析如上所述，在忽略滚动摩擦力的情况下，圆心方程为y=kx22*FN。根据方程可知，抛物线的形状与弹簧刚度k、弹簧相对于y轴的压缩量（即x值）和所需恒力FN有关。针对以上情况，讨论以下误差对恒力输出的影响：1、考虑滚动摩擦力时产生的误差；2、弹簧安装误差；3、曲面加工误差。其中第2、3种误差是在忽略滚动摩擦力情况下讨论的。3.1考虑滚动摩擦力时的误差31.1 机构受力情况1）弹簧向下运动时图6 垂直滑块受力情况Fig6. The force condition of the wedge assembly如图6所示，垂直滑块竖直方向上受力平衡，得方程组：F1=f1+f22+Fn2 （9）f1=(Fn2-f22) （10）f2=Fn（11）式中：F1、FN为正压力，N；f1、f2为了滚动摩擦力，N；为滚动摩擦系数。将式（11）代入式（10），再代入（9）得：F1=Fn2(1+2*-2)（12）图7垂直滑块受力情况Fig7. The force exerted of the bearing assembly如图7所示， 竖直方向上力平衡方程：F=Fn2+f22+F5-F4*sin()（13）水平方向上力平衡方程：Fn2=f22+f3+f4*cos+F6（14）f3=F*（15）f4=F52+F62*（16）sin=F6F52+F62（17）cos=F5F52+F62（18）Fn=Fn（19）f2=f2（20）式中：为切点与x轴正方向夹角；F、FN为正压力，N；f2、f3、f4为滚动摩擦力，N；F5、F6分别为水平分力、竖直分力，N。 将式（16）、（17）、（19）和（20）代入式（13）得：F=Fn2+f22+F5-F6*（21）将式（21）、（16）、（17）、（19）和（20）代入式（14）得：Fn(1-2-2)2=2*F5+F6(1-2)（22）联立式（12）、（22）解得：F1=1+2-21-2-2(F6(1-2)+2*F5)（23）2）向上运动时该情况计算过程与上述情况类似，此处不作赘述，解得方程为：F1=1-2-21+2-2(F61-2-2*F5)（24）3.1.2 结果分析取动摩擦系数=0.0015，代入式（23）得：F1=1.006F6+0.003*F5，经化简得：F1F6=1.006+0.003*F5F6（25）代入式（24）得：F1=0.994F6-0.003*F5，经化简得：F1F6=0.994-0.003*F5F6（26）由于F5和F6的合力垂直于轴承与曲面接触点切线，所以F5F6=1tan()，再联立（1）得：F5F6=FNkx（27）图8 误差变化情况Fig8. The variation of the error如图8所示，图8（a）、8（b）分别为式（25）、（26）的变化图，其中横坐标表示弹簧的压缩量，纵坐标表示理论情况下弹簧产生的弹力F1与作用在曲面推杆水平方向上的力F6的比值。两图为双曲线的一部分，由图知，随着 F5F6 比值的减小，误差也会减小。横坐标的起点为轴承的半径，为了控制误差，轴承的半径要尽量大。由以上分析知，通过选取合适的结构参数，可以将F1F6的比值限制在0.9751.025，即由滚动摩擦引起的误差不会超过2.5%，从而验证了在求解理论轨迹方程时忽略滚动摩擦力的合理性，简化了轮廓曲线的形式。3.2弹簧安装误差分析由以上分析知，弹簧的压缩量即为圆心到y轴的距离，但是在实际安装时，弹簧相对于y轴的压缩量会有一定偏差，理论情况下满足 y=kxFN=tan()，当有误差时满足tan=kx+xFN（28）式中：x为弹簧压缩量的偏差，mm；FN为实际输出的恒力，N。联立（1），（28）解得：FN=(1+xx)FN（29）由式（29）知，在x不变的情况下，随着x的减小，实际输出的恒力会增加。由于x的最小值为轴承半径，因此，为了控制误差，应尽量增大轴承的半径，此外，弹簧的安装精度也需要得到控制。3.3曲面加工误差分析实际的曲线是铣刀沿抛物线运动，通过外圆包络形成的。在实际加工中，由于刀具半径的误差，使得实际得到的曲线与理论曲线有一定的偏差。图 9 铣刀引起的误差Fig9. The error caused by milling cutter如图9（a）所示，虚线A、B为理论曲线，实线A、B为加工后的实际曲线，图9（b）为图9（a）圆心处放大图，E为理论的轴承圆心位置，E为实际的轴承圆心位置，直线EE与E点的切线分别垂直。由包络线的性质知，此时E、E 两点的斜率是相同的，且EE的距离R就是铣刀半径偏差。假设轴承圆心理论坐标为（x1,y1），实际圆心坐标为（x，y）。由几何关系可得：理论情况：y=kxFN=tan()（30）实际情况：y=k(x-R*sin()FN=tan() （31）联立式（30）、（31）解得：FN=FN-R*k*FNFN2+k2*x2（32）式中：为EE连线与竖直方向上的夹角（即两点切线与x轴正方向的夹角）；FN为实际输出的恒力，N。由式（32）知，在其他变量不变的情况下，随着R的增大，实际输出的恒力会减小。此外，随着x增大，实际输出的恒力会增大，并接近理论值FN。又由于x的最小值为轴承的半径，当x的最小值增大，也有利于减小加工误差。4 结论本文设计的曲面恒力机构原理简单，结构较为紧凑，采用对称布置，受力情况较好。首先，忽略了滚动摩擦力对机构的影响，求出了运动轨迹方程，方程形式为抛物线，并计算了实际曲面的轮廓方程，但方程形式较为复杂，为了获得实际曲面，可让铣刀沿抛物线轨迹运动，经铣刀外圆包络加工形成的曲线就是实际轮廓曲线。讨论了滚动摩擦力引起的误差、机构安装误差和加工误差，得出以下结论：1） 滚动摩擦力对整个机构输出恒力影响较小，在设计计算理论运动轨迹时忽略滚动摩擦力的作用，可以大大简化求解过程；2） 随着轴承直径的增大，三种误差都有减小的趋势，但是轴承直径的增大，会影响整体结构尺寸，在设计时需要综合考虑；3） 通过对后两种误差的分析，总结了相关因素对误差的影响情况，根据这些分析，一定程度上可以指导实际的运用。参考文献：1 Nahar, Dhiraj R. Sugar, Thomas. Compliant Constant-Force Mechanism with a Variable Output for Micro/Macro ApplicationsJ. 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