换元法解无理方程.doc

肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃袀袃葿蕿衿肅节薅袈膇薈蒁袈芀莁蝿袇罿膃蚅袆肂荿薁羅膄膂蒇羄袄莇莃羃羆膀蚂羂膈莅蚈羂芁芈薄羁羀蒄蒀羀肃芇螈罿膅蒂蚄肈芇芅薀肇羇蒀蒆蚄聿芃莂蚃芁葿螁蚂羁莁蚇蚁肃薇薃蚀膆莀葿蚀芈膃螈虿羈莈蚄螈肀膁薀螇膂莆蒆螆羂腿蒁螅肄蒅螀螄膇芇蚆螄艿蒃薂螃羈芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄蚃 27.4 换元法解无理方程多稼中学 朱佳美2004年9月29日教学目标： 1、 通过探索换元法解无理方程的原理，让学生理解换元法解无理方程的基本方法，以提高学生的观察力和代数变形能力，帮助学生初步形成数学化归思想。2、 激发学生对解无理方程的求知欲；培养学生克服困难、不断探索新知的学习态度。教学重点：探索换元法解无理方程教学难点：通过代数变形合理设元化简无理方程教学过程 一、 引入我们前面学习了无理方程以及无理方程的解法：两边乘方法。试一试, 你会解方程 2x2 + x - 5 2x2 + x = 6 吗?学生讨论：用两边乘方法解此题会出现一元四次方程，不易解。试寻找其它方法。 解：(1). 设 2x2 + x = y (2). 设 2x2 + x = y则原方程可以化为： 则原方程可以化为：y2 5y 6 = 0 y 5 y = 6 学生讨论：哪种方法好？ 第一种好，它把无理方程转化成有理方程，体现了无理方程有理化的思想。二、 新课（一）换元法解无理方程很好, 这种方法帮助我们把原来的无理方程化简成了有理方程. 这种设辅助元化简无理方程的方法叫做换元法换元法解无理方程（课题）.解方程y2 5y 6 = 0， 得y1 = 6, y2 = -1当y1 = 6时, 2x2 + x = 6两边平方得 2x2 + x = 36.即2x2 + x 36 = 092解得x1 = - , x2 = 4.当y1 = -1时, 2x2 + x = -1. 2x2 + x 的值不可能为负.方程 2x2 + x = -1无解92检验：当x1 = - 时，左边= 6，右边= 6，左边= 右边，92x = - 是原方程的解当 x2 = 4 时，左边= 6，右边= 6，左边= 右边，x = 4是原方程的解92原方程的根是x1 = - , x2 = 4学生归纳换元法解无理方程的步骤：1. 整理方程，找到适当的代数式设元，把原方程转换成关于辅助元的有理方程2. 解关于辅助元的有理方程（检验辅助元）3. 把求出的有理方程的根代入设，解出原方程的根4. 检验写答案问：换元的标准是什么？（以根号为标准）（二）、针对训练：利用换元法将下列方程化简：必做题：1. x2 + 3x - 5 x2 + 3x + 6 + 10 = 0 x2 + 3x + 6 - 5 x2 + 3x + 6 + 4 = 0设 x2 + 3 + 6 = y，则原方程可化为： y2 5y + 4 =02. 3x2 + 6x 2 x2 + 2x = 13(x2 + 2x) 2 x2 + 2x = 1设 x2 + 2x = y，则原方程可化为：3y2 2y = 13. (x 3)2 + x2 6x + 16 = 13x2 6x + 9 + x2 6x + 16 = 13x2 6x + 16 + x2 6x + 16 = 20设 x2 6x + 16 = y，则原方程可化为：y2 + y = 20x - 8xxx - 84. + 3 = 4 3yxx - 8设 = y，则原方程可化为：y + = 4选做题：1. 3x2 + 15x + 2 x2 + 5x + 1 = 23(x2 + 5x + 1 1) + 2 x2 + 5x + 1 = 2设 x2 + 5x + 1 = y，则原方程可化为：3y2 + 2y 5 = 02. 3x2 2 x2 4x + 7 =12x 133x2 + 12x + 21 2 x2 4x + 7 = 8设 x2 4x + 7 = y，则原方程可化为：3y2 - 2y 8 = 03. x2 + 3x 1 = 2x2 + 6x +12x2 + 6x 2 =2 2x2 + 6x +12x2 + 6x + 1 3 = 2 2x2 + 6x +1 设 2x2 + 6x +1 = y , 则原方程可化为：y2 - 3 = 2y3xx2 - 3x31x524. + - = 52x2 - 33x3xx2 - 3 + = 1y523xx2 - 3设 = y，则原方程可化为：y + = 问：换元法的关键是什么？（合理设元）思考题：94xx4x + 9321. 1 + - 2 = 324x4x + 94x+94x - = 321y4x+94x设 = y，则原方程可化为：y - = 2. x + 1 + 2x + 2 = 2 2 + 3(1 + 2 ) x + 1 = (1+ 2 )2x + 1 = 1+ 23. 已知关于X 的方程x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2p p2 = 0。(其中p是实数)(1). 若方程没有实数根，求p的范围。(2). 若p0，问p为何值时，方程只有一个实数根，并求出这个根。解：(1). x2 + 2x + 2p + 2 x2 + 2x + 2p 2p - p2 = 0 设 x2 + 2x + 2p = y，则原方程可化为：y2 + 2y 2p - p2 = 0 = 4 4( p2 + 2p) = 4 + 4p2 + 8p = (2p + 2 )2 0 y1 = p, y2 = -2-p 原方程没有实数根y1 = p, y2 = -2-p 都是原方程的增根 p0 解得：-2 p 0 -2-p0当 2 p 0 y1 = p 0 而y2 = -2-p 0 是增根，舍去 y = p 即 x2 + 2x + 2p = p 解得： p = 1（五）、小结：1 今天你学会了什么？2 换元法解无理方程的步骤是什么？你最容易忽视什么问题？3 换元法是一种常用的数学解题方法。无论是用“两边乘方”法还是用换元法解无理方程，总体思想都是化归思想（即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。）在这里它体现在把无理方程转化成有理方程。化归思想是我们解决数学问题时的有效思想，今后我们在研究和解决难以入手的数学问题时可以迂回而行，把复杂问题转化成几个简单问题来解决。（六）、作业：1. B册. 27.4（4）2. 请你用50-100字描述出你今天学习后的体会。 蚅螈芅蒄蚅袀膈莀蚄羃莃芆蚃肅膆薅蚂螅罿蒁螁袇膄莇螀罿羇芃蝿虿膂腿蝿袁羅薇螈羄芁蒃螇肆肄荿螆螆艿芅螅袈肂薄袄羀芇蒀袄肂肀莆袃螂芆节葿羄肈芈蒈肇莄薆蒇螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂肈膂莁薁螇肄芇薁袀芀薅薀羂肃蒁蕿肄芈莇蚈螄肁芃蚇袆芇腿蚆羈聿薈蚅螈芅蒄蚅袀膈莀蚄羃莃芆蚃肅膆薅蚂螅罿蒁螁袇膄莇螀罿羇芃蝿虿膂腿蝿袁羅薇螈羄芁蒃螇肆肄荿螆螆艿芅螅袈肂薄袄羀芇蒀袄肂肀莆袃螂芆节葿羄肈芈蒈肇莄薆蒇螆膇蒂蒇衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃薄螃膃葿薃袅羆莅薂肈膂莁薁螇肄芇薁袀芀薅薀羂肃蒁蕿肄芈莇蚈螄肁芃蚇袆芇腿蚆羈聿薈蚅螈芅