二次曲线的方程化简、作图及分类毕业论文.doc

本科毕业论文本科毕业论文 题目： 二次曲线的方程化简、作图及分类 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学 2007 级 5 班 姓名： 曹振佐 指导教师： 李秀兰 职 称： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日 二次曲线的方程化简、作图及分类 摘 要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线 作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作 图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下 画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐 标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然 地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程 的度量分类也就比较简捷地一起完成了. 关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换 目 录 1 引言.1 2 预备知识1 3 二次曲线的方程的化简.2 3.1 用坐标变换化简二次曲线.2 3.1.1 化简缺少项的二次曲线.2xy 3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线.2xy 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线3xy 3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线.3xy 3.1.3 一般二次曲线方程的化简4 3.1.3.1 中心曲线的化简.4 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简.5 3.2 通过主直径, 主方向化简二次曲线.5 3.2.1 中心曲线的化简.6 3.2.2 无心曲线的化简.6 3.2.3 线心曲线的化简.7 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线8 3.3.1 中心曲线的化简.8 3.3.2 无心曲线的化简.8 3.3.3 线心曲线的化简.9 3.4 正交变换化简二次曲线9 3.5 合同变换法化简有心二次曲线10 4 二次曲线的方程的作图.12 4.1 中心二次曲线的作图方法.12 4.2 无心二次曲线的作图方法.13 4.3 线心二次曲线的作图方法.15 5 二次曲线的方程分类.16 5.1 二次曲线的分类.16 参考文献17 1 1 引言 我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、 中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不 同角度的分类和作图. 平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕 竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进 一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线 方程的系数构成的不变量以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二 321 III， 1 K 次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就 最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识. 2 预备知识 在平面直角坐标系上,由二元一次方程xyO 0222 332313 2 2212 2 11 ayaxayaaxa) 1 ( 所表示的曲线,叫做二次曲线. 我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进 行分类和作图. 为了方便起见,我们引进下面一些记号: , 332313 2 2212 2 11 222),(ayaxayaxyaxayxF , 1312111 ),(ayaxayxF , 2322122 ),(ayaxayxF , 3323133 ),(ayaxayxF , 2 2212 2 11 2),(yaxyaxayx 这样我们容易验证,下面的恒等式成立 ,),(),(),(),( 321 yxFyxyFyxxFyxF 式也就可以写成) 1 ( .),(),(),(),( 321 yxFyxyFyxxFyxF 我们把的系数所排成的矩阵),(yxF 332313 232212 131211 aaa aaa aaa A 叫做二次曲线的矩阵.）（ 1 2 的系数所排成的矩阵），（yx 2212 1211* aa aa A 叫做的矩阵.），（yx 显然二次曲线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是) 1 (A 的系数.),(),(),( 321 yxFyxFyxF 下面我们引用加个符号 , , , . 22111 aaI 2212 1211 2 aa aa I 332313 232212 131211 3 aaa aaa aaa I 3323 2322 3313 1311 1 aa aa aa aa K 这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的 1 I * A 2 I * A 3 IA 行列式. 3 二次曲线的方程的化简 3.1 用坐标变换化简二次曲线 3.1.1 化简缺少项的二次曲线xy 3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线xy 方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心 的坐标由中心方程组 给出. ),( 00 yx 00, y x , 0 , 0 232212 131211 ayaxa ayaxa )2( 这样将变换公式 代入原方程,即可化简原二次曲线. , , 0 0 yyy xxx 例1 化简二次曲线方程 .011624 22 yxyx 解 二次曲线的系数矩阵 . 101 048 181 A 因为 ,所以 此曲线是中心二次曲线. .04 40 01 2 I 3 由中心方程组得 )2( ，084 , 01 y x 解 .2, 1 00 yx 可得 变换公式 ，2 , 1 yy xx 代入原方程, 整理得 .(椭圆)0164 22 yx 3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线xy 例 2 化简二次曲线方程 .0100364094 22 yxyx 解 将方程的左端配方,得: .036)2(9)5(4 22 yx 令 , 2 , 5 yy xx 可得 变换公式 , 2 , 5 yy xx 于是方程化为.(椭圆)03694 22 yx 3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线xy 方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积 项消去,而由公式 给出. 12 2211 2 2cot a aa ) 3( 然后将变换公式 代入原方程. ,cossin ,sincos yxy yxx 例3 化简二次曲线方程 .0806092416 22 yxyxyx 解 这里.242 , 9,16 122211 aaa 由得 ,) 3( 24 7 24 916 2cot 4 , 25 7 ) 24 7 (1 24 7 2cos 2 , 5 4 2 25 7 1 2 2cos1 sin , 5 3 2 25 7 1 2 2cos1 cos 所以 转轴公式为 ),34( 5 1 cossin ),43( 5 1 sincos yxyxy yxyxx 代入原方程,整理得.(抛物线) 2 4xy 3.1.3 一般二次曲线方程的化简 3.1.3.1 中心曲线的化简 方法 一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程 .02110103 22 yxyxyx 解 因为 即此曲线为中心曲线.0 5 4 1 2 3 2 3 1 2 I 先移轴,由中心方程组得 , 05 2 3 , 05 2 3 yx yx 解得 . 2 , 2 0 0 y x 故移轴公式为 , 2 , 2 yy xx 代入原方程,整理得. 013 2 2 yyxx)4( 5 对方程进行转轴 .)4(1, 1, 2 3 , 133 22 12 11 aaaa , 即 .0 3 11 2 2cot 12 22 11 a aa 4 故转轴公式为 代入方程 ),( 2 2 ),( 2 2 yxy yxx )4( 整理得最简方程为 .(双曲线)01 2 5 2 1 2 2 yx 3.1.3.2 非中心二次曲线的化简 方法 一般采用先转轴后移轴进行化简 例5 化简二次曲线方程 .01682 22 yyxyx 解 因为 , 所以此曲线是非中心曲线. 011 11 11 2 I 先进行转轴 , 即 .0 2 11 2cot 4 故转轴公式为 ),( 2 2 ),( 2 2 yxy yxx 代入原方程,得 . 01624242 2 yxy)5( 对进行移轴( 实质配方),得:)5( .) 2 3 (22)2( 2 xy 令 则变换公式为 , 2 3 ,2 xx yy , 2 3 ,2 xx yy 则原方程化简为 .(抛物线) 2 22xy 3.2 通过主直径,主方向化简二次曲线 方法 一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含项.xy 6 3.2.1 中心曲线的化简 方法 取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的 中心. 例6 化简二次曲线方程 .01224 22 yxyxyx 解 因为 , , 211 1 I03 12 21 2 I 所以 此曲线是中心曲线.其特征方程为 ,032 2 因此两特征根为 , .1 1 3 2 由, 分别对应的两个主方向为 ,.1 1 3 2 1:1: 11 YX1:1: 22 YX 由两主方向决定的主直径分别为和取二主直径为新坐标系轴, 02 yx0 yx 得 , 2 , 2 2 yx y yx x 解得 , 1)( 2 2 , 1)( 2 2 yxy yxx 代入原方程,化简得 .(双曲线)1 3 2 2 y x 3.2.2 无心曲线的化简 方法 取它的唯一的一个主直径为轴,过顶点垂直于主直径的直线为轴建xy 立坐标系(顶点为坐标原点) 例7 化简二次曲线方程 .01682 22 xyxyx 解 这里.0, 4, 1, 1, 1 2313221211 aaaaa 7 因为 ,所以 此曲线是无心曲线. 23 13 22 12 12 11 a a a a a a 因为 .其特征方程为0, 2 21 II ,02 2 因此两特征根为 .0, 2 21 对应于的非渐近主方向为.2 1 1:1: 11 YX 取主直径为 为新坐标系轴,主直径与曲线的交点即顶点为02 yx x) 2 1 , 2 5 ( 过顶点且以非渐近主方向为方向的直线方程为即 11:Y X) 2 5 ( 2 1 xy . 03 yx 则变换公式为 , 2 2 , 2 3 yx y yx x 解得 , 2 1 )( 2 2 , 2 5 )( 2 2 yxy yxx 代入原方程,整理得 .(抛物线) 2 22xy 3.2.3 线心曲线的化简 方法 取它的中心直线为轴,任取垂直它的直线为轴,建立坐标系.xy 例8 化简二次曲线方程 .03222 22 yxyxyx 解 因为 所以此曲线是线心曲线. , 23 13 22 12 12 11 a a a a a a 唯一的主直径为 .01 yx 8 取主直径为新系的轴,取任一垂直它的直线如为轴,这时变换公式为 x0 yx y , 2 1 , 2 yx y yx x 解得 , 2 1 )( 2 2 , 2 1 )( 2 2 yxy yxx 代入原方程,得.(两条平行直线)22 y 3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 3.3.1 中心曲线的化简 方法 用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为 0 2 32 2 2 1 I I yx 例9 化简二次曲线方程 .01212525 22 yxyxyx 解 特征方程为,288,24,10 321 III .02410 2 因此两特征根为 . 4 , 6 21 可知最简形式为 .0 24 288 46 2 2 yx 即 .(椭圆)1 32 2 2 yx 3.3.2 无心曲线的化简 方法 用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为.02 1 32 1 x I I yI 例10 化简二次曲线方程 9 .0482 22 xyxyx 解 因为 .016 404 011 411 , 0 11 11 , 2 321 III 它的最简形式为 .0 2 16 22 2 xy 即 .(抛物线)022 2 xy 3.3.3 线心曲线的化简 方法 用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为: 0 1 12 1 I K yI 例11 化简二次曲线方程 .03222 22 yxyxyx 解 这里 即此曲线是线心曲线., 23 13 22 12 12 11 a a a a a a .8 31 11 31 11 , 2 11 KI 所以 它的最简形式为:.0 2 8 2 2 y 即 .(两条平行的直线)2 y 3.4 正交变换化简二次曲线 方法 任意实二次型 ,AXXxxaxxxf T i jiijn n 1 n 1j 21 ),( 都可以用正交变换化为平方和.QYX 22 22 2 11nny yyf 这里是的全部特征根.), 2 , 1(ni i A 例12 化简二次曲线方程 .0242412 22 yxyxyx 解 上式中所有二次项构成实二次型 10 .它的系数矩阵. 22 12),(yxyxyxf 16 61 A 特征矩阵 . )5)(7( 16 61 )( A f 即 的特征根为 .A5, 7 21 当时,的特征向量分别为单位化得5, 7 21 A) 1 , 1(),1 , 1 ( 21 . ) 2 1 , 2 1 (), 2 1 , 2 1 ( 21 以为列向量,作正交矩阵 21, , 2 1 2 1 2 1 2 1 Q 正交变换为 , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 yxy yxx 代入原方程,得 .0857 2 yyx 配方得 .0 5 16 ) 4 5 (57 2 yx 令 , 4 5 , yy xx 则坐标交换为 , 5 22 2 1 2 1 , 5 22 2 1 2 1 yxy yxx 得标准方程为.(双曲线) 5 16 57 2 2 yx 3.5 合同变换法化简有心二次曲线 11 方法 对矩阵A作合同变换,即. 333231 232221 131211 3 2 1 . 00 00 00 ccc ccc ccc d d d E A 所作变换为 , , 23 22 21 13 12 11 cycxcy cycxcx 这样式就化简成 ) 1 ( 0),( 3 2 2 2 1 dydxdyxF 例13 化简二次曲线方程 .02110103 22 yxyxyx 解 系数矩阵 . 2155 51 2 3 5 2 3 1 A 因为 , 4 5 1 2 3 2 3 1 2 I 所以 此曲线为中心曲线. . 105100 3100 15 5555 25 00 00 4242 3 4 15 55 2001 52104 22 5521 3 3312 1001015 2 22 010012 010010 001001 001001 A E 这样经变换 12 , 2 , 2 2 3 yy yxx 使原方程化为 .(双曲线)01 4 5 2 2 yx 检验 把变换 , 2 , 2 2 3 yy yxx 代入原方程,并整理得 .01 4 5 2 2 yx 经检验,此方法对中心曲线是成立的. 4 二次曲线的方程的作图 4.1 中心二次曲线的作图方法 对中心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为0),(:yxFC . 0 2 32 2 2 1 I I yx)6( 其中是曲线的两特征根,且轴分别沿和对应的主方向.因此 21, C , y x 1 2 轴关于原坐标系中轴的倾角满足. x x 221 21 12 111 tan a a a a X Y 可见要从中心二次曲线的简化方程作出其图形,只需以过的中心C)6(C 且与原坐标系中轴的倾角为直线作为轴,建立直角坐标系,然),( 00 yxOx x yxO 后在该坐标系下作出所表示的曲线即可.)6( 例14 求二次曲线的简化方程,并作042226565: 22 yxyxyxC 出其图形. 解 因为 不变量. 128,16,10 321 III 所以解特征方程 .01610 2 即得曲线的两特征根且由.C, 8, 2 21 8 2 3 I I 13 图 1 椭圆：1 4 2 2 y x 得曲线的简化方程为 .0882 2 2 yx 即 (椭圆)1 4 2 2 y x 另外通过解中心方程组 , 0253 , 02335 yx yx 可得曲线的中心 .)2 4 1 ,2 4 3 ( O 过作与轴的倾角的直线 ,并以此作为轴建立 Ox 4 1arctan 2 2 yx x 直角坐标系,且在该坐标系下作出方程(椭圆)所表示的曲线, yxO 1 4 2 2 y x 如图1所示. 1 4 2 2 y x o o x x y y 4.2 无心二次曲线的作图方法 对无心二次曲线,由于 同号,不妨设它们均非负.利用不0),(:CyxF 2211,a a 变量可将其简化方程为 其中号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方程为0 1 2 1 3 1 2 x I I I y 0 1 2 1 3 1 2 x I I I y)7( 不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点是曲线的 x O 顶点(主直径与曲线的交点).对任意点,若设其在旧、新坐标系的坐标为和P),(yx 14 ,则数与至多差一个正数倍,所以若主直径上某),( yx),(yxF0 1 2 1 3 1 2 x I I I y 一点或的坐标使或则向量便指向) 0 , (xP（), 0(yP）0) 0 , (xF（0), 0(yF）P O 轴的正向 因轴正向上的点使为负 , 否则,便指向 x（ x) 0 , (xP 1 3 1 2 1 2x I I I y) 轴的负向.可见要从简化方程画出无心二次曲线的图形,只需 x)7(0),(:CyxF 先求出曲线的主直径和顶点,并选取主直径上一点或若),( 00 yxO) 0 , (xP（), 0(yP） 或,则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建0)0 ,(xF（0), 0(yF） O P O x 立直角坐标系;若或则以作为原点,以向量 yxO 0)0 ,(xF（0), 0(yF） O 的正向作为轴正向建立直角坐标系,并在该坐标系下作出方程O P x yxO 所表示的曲线即可.)7( 例15 求二次曲线的简化方程,并作出其图0256102: 22 yxyxyxC 形. 解 对所给二次曲线由于.0),(:yxFC 23 13 22 12 12 11 a a a a a a 所以 曲线是无心的. 因为 曲线的不变量,6402 321 III， 所以曲线的简化方程为 . 024 2 xy)8( 又曲线的主直径为,顶点为.取主直径上一点,由于01 yx) 1 , 2( O)0 , 1 (P ,所以只需以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标0)0 , 1 (F OO P x 系并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可,如图2所示. yxO )8( 15 图 2 抛物线： 2 24xy x 2 24xy o y o x y 4.3 线心二次曲线的作图方法 对线心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为0),(:CyxF . （9）0 2 1 12 I K y 不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴 主直径 ,所以若曲线的不 x（） 变量,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若,只需作出与主0 1 K0 1 K 直径平行的二直线 即0 131211 ayaxa012 2 11 2 1 1 131211 aa I K ayaxa 可. 例16 求二次曲线的简化方程,并作出其图形.03222: 22 yxyxyxC 解 对所给二次曲线由于0),(:yxFC . 23 13 22 12 12 11 a a a a a a 所以曲线是线心的. 因为二次曲线的不变量,又曲线的主直径为802 321 III， ,所以只需在原坐标系下作出直线,即为要作的曲线的01 yx021 yx 图形,如图3所示. 16 图 3 两平行直线：021 yx x 03 yx 01 yx o y 5 二次曲线的方程分类 5.1 二次曲线的分类 通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一 种形式: 1(椭圆)；1 2 2 2 2 b y a x 2(虚椭圆)；1 2 2 2 2 b y a x 3(双曲线)；1 2 2 2 2 b y a x 4(点或称两相交于实点的共轭虚直线)；0 2 2 2 2 b y a x 5(两相交直线)；0 2 2 2 2 b y a x 6(抛物线)；pxy2 2 7(两条平行直线)； 22 ay 8(两平行共轭虚直线)； 22 ay 9(两重合直线)；0 2 y 17 参考文献: 1吕林根,许子道.解析几何M.第4版.北京:高等教育出版社,2006. 2甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题J.安庆师范学院学报,2004,10(2): 45-47. 3吕林根.解析几何学习指导书M北京:高等教育出版社,2006. 4廖民勋.二次曲线方程的化简及作图J.广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81. 5傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广J.湖北师范学院学报(自然科学版), 2001,21(2):72-74. 6苏婷.二次曲线方程化简J.陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. 7林梦雷.二次曲线方程的化简J.漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26. 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