高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_6 双曲线课件 理 苏教版

9.6 双曲线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.双曲线定义 平面内到两个定点F1，F2的 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做 ，两焦点间的距离叫做 . 集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在.,知识梳理,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2aF1F2,2aF1F2,2aF1F2,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,实半轴长,虚半轴长,a2b2,巧设双曲线方程 (1)与双曲线 1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 t(t0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 1(mn0).,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)方程 1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程 (m0，n0，0)的渐近线方程是 0，即 0.( ),(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( ) (5)若双曲线 1(a0，b0)与 1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( ),考点自测,1.(教材改编)若双曲线 1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.,答案,解析,由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB ，则C的实轴长为_.,答案,解析,4,由题设C： 1.,抛物线y216x的准线为x4，,a2，2a4.,C的实轴长为4.,3.(2016无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y ， 那么双曲线的离心率为_.,答案,解析,根据题意，设双曲线的方程为 1，,即双曲线的离心率为 .,4.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线 1的焦距是_.,答案,解析,由已知，a27，b23， 则c27310， 故焦距为2c .,5.双曲线 y21的顶点到其渐近线的距离等于_.,答案,解析,双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，,一条渐近线方程是y ，即x2y0，,则顶点到渐近线的距离,题型分类 深度剖析,题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程 例1 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与 圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,答案,解析,x2 1(x1),几何画板展示,如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得MC1AC1MA，MC2BC2MB， 因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC2， 即MC2MC1BC2AC12， 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C26. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28. 故点M的轨迹方程为x2 1(x1).,命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为 ；,解答,设双曲线的标准方程为,由题意知，2b12，e .,b6，c10，a8.,双曲线的标准方程为,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解答,双曲线经过点M(0,12)， M(0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a12. 又2c26， c13， b2c2a225.,双曲线的标准方程为,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,(3)经过两点P(3, )和Q( ，7).,解答,双曲线的标准方程为,命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 例3 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上， PF12PF2，则cosF1PF2_.,答案,解析,由双曲线的定义有PF1PF2PF22a ，,PF12PF2 ，,几何画板展示,引申探究 1.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？,解答,不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a ，,在F1PF2中，由余弦定理，得,所以PF1PF28，,所以,2.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“ 0”，则F1PF2的面积是多少？,解答,不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a ，,所以,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.,思维升华,跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线 1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则APAF2的最小值为_.,由题意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值， 当A，P，F1三点共线时，取得最小值，,APAF2的最小值为APAF12a .,答案,解析,几何画板展示,(2)设F1，F2分别为双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上 存在一点P使得PF1PF23b，PF1PF2 ，则该双曲线的离心率为_.,答案,解析,不妨设P为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2. 根据双曲线的定义，得r1r22a，,又r1r23b，故,题型二 双曲线的几何性质 例4 (1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线 1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为_.,答案,解析,2,若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2y2r2上，,则点A坐标为( )，此时rc.,又点A在渐近线上，所以 ，,(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： 1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心 为C2的焦点，则C1的离心率为_.,答案,解析,由题意，不妨设直线OA的方程为y ，直线OB的方程为y .,设抛物线C2的焦点为F，则 ，,OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，,设C1的离心率为e，则,双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 (a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e21k2.,思维升华,跟踪训练2 (2016全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E： 1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1 ，则E的离心率为_.,答案,解析,离心率e ，,由正弦定理得,题型三 直线与双曲线的综合问题 例5 (2016苏州模拟)已知椭圆C1的方程为 y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点. (1)求双曲线C2的方程；,解答,设双曲线C2的方程为 1(a0，b0)，,则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.,故C2的方程为 y21.,(2)若直线l：ykx 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且 2(其中O为原点)，求k的取值范围.,解答,将ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.,由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得,k2 且k21. ,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,又 2，得x1x2y1y22，,解得 k23， ,由得 k21.,故k的取值范围为 .,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.,思维升华,跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： 1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点若 ，则直线l的斜率 为_,答案,解析,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,代入双曲线方程联立解得,所以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，,即直线l的斜率为 .,典例 已知双曲线x2 1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错系列10,(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.,错解展示,现场纠错,纠错心得,返回,解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 且线段AB的中点为(x0，y0)， 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20). ,由题意，得 1，解得k2.,当k2时，方程可化为2x24x30. 162480，方程没有实数解. 不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点， 且点P(1,1)是线段AB的中点.,返回,课时作业,1.(2016泰州联考)已知双曲线C： 1(a0，b0)的焦距为10， 点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为_.,答案,解析,依题意,解得,双曲线C的方程为 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016全国乙卷改编)已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_.,答案,解析,方程 1表示双曲线，,(1,3),(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2016盐城模拟)已知双曲线 1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若AB5，则ABF1的周长为_.,答案,解析,由双曲线 1，知a4.,26,由双曲线定义AF1AF2BF1BF22a8， AF1BF1AF2BF21621， ABF1的周长为AF1BF1AB21526.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_，b_.,答案,解析,由2xy0，得y2x，所以 2.,1,又c ，a2b2c2，解得a1，b2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知点F是双曲线 1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.,答案,解析,由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，,ABE是锐角三角形，,(1,2),e(e33e31)1，e(1,2).,整理得3e22ee4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江)设双曲线x2 1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是_.,答案,解析,如图，由已知可得a1，b ，c2， 从而F1F24，由对称性不妨设P在右支上， 设PF2m，则PF1m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形，,结合实际意义需满足,解得1 m3，又PF1PF22m2，, 2m28.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2016南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_.,答案,解析,不妨设双曲线方程为 1 (a0，b0)，,设F(c,0)，线段PF的中点为(0，b)，则P(c,2b).,由点P在双曲线上，得 41，所以e .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.设双曲线 1的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上位于 第一象限内的一点，且PF1F2的面积为6，则点P的坐标为_.,由双曲线 1的左，右焦点分别为F1，F2，所以F1F26，,设P(x，y) (x0，y0)，,因为PF1F2的面积为6，所以 F1F2y 6y6，,解得y2，将y2代入 1得x .,所以P( ，2).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.已知F1，F2分别是双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得 0(其中O为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,在MF1F2中，边F1F2上的中线等于F1F2的一半，可得 .,根据双曲线定义得,双曲线的离心率e 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.(2015课标全国改编)已知M(x0，y0)是双曲线C： y21上的一点， F1，F2是C的两个焦点，若 0，则y0的取值范围是_.,答案,解析,由题意知a ，b1，c ，,点M(x0，y0)在双曲线上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在 双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为_.,答案,解析,由定义，知PF1PF22a.,又PF14PF2，PF1 a，PF2 a.,在PF1F2中，由余弦定理，得,要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，,当cosF1PF21时，得e ，即e的最大值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(2015课标全国)已知F是双曲线C：x2 1的右焦点，P是C的左支上一点，A( ).当APF的周长最小时，该三角形的面积为_.,答案,解析,设左焦点为F1，PFPF12a2， PF2PF1，APF的周长为AFAPPFAFAP2PF1，APF周长最小即为APPF1最小， 当A、P、F1三点在一条直线时最小，,过AF1的直线方程为 1，与x2 1联立，,解得P点坐标为( )，此时,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.(2016江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 1(a0，b0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且 3， ，求直线和双曲线的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,e ，b22a2，,设直线l的方程为yxm.,双曲线方程可化为2x2y22a2.,x22mxm22a20，,4m24(m22a2)0，直线l一定与双曲线相交. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x22m，x1x2m22a2.,x13x2，x2m， m22a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,消去x2，得m2a2.,x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m) 2x1x2m(x1x2)m2 m24a23， m1，a21，b22.,直线l的方程为yx1，双曲线的方程为x2 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,