高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_5指数与指数函数课件理苏教版

2.5 指数与指数函数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规 定 (a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 . (2)有理数指数幂的运算性质：asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s，tQ，a0，b0.,知识梳理,0,没有意义,2.指数函数的图象与性质,(0，),R,几何画板展示,(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(1， ). 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的 图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ax(a0，a1)的图象越高，底数越大.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),(4)函数yax是R上的增函数.( ) (5)函数y (a1)的值域是(0，).( ) (6)函数y2x1是指数函数.( ),考点自测,1.(教材改编)若函数f(x)ax(a0且a1)的图象经过点P(2， )，则f(1)_.,答案,解析,2.(2016苏州模拟)已知函数f(x)ax22的图象恒过定点A，则A的坐标为_.,由a01知，当x20， 即x2时，f(2)3， 即图象必过定点(2，3).,答案,解析,(2，3),3.已知 则a，b，c的大小关系是_.,答案,解析,cba,即ab1，,cba.,2,原式 1 2.,答案,解析,5.若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_.,由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式： (1) 0；,解答,原式,(2),原式,解答,(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.,思维升华,跟踪训练1 化简 _.,答案,解析,原式2 213101 .,题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f(x)|2x1|. (1)求f(x)的单调区间；,解答,因此函数f(x)在(，0)上递减，在(0，)上递增.,(2)比较f(x1)与f(x)的大小；,解答,在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x1)的图象如图所示. 由图象知，当 ，即x0log2 时，两图象相交， 由图象可知，当xf(x1)； 当xlog2 时，f(x)f(x1)； 当xlog2 时，f(x)f(x1).,几何画板展示,(3)试确定函数g(x)f(x)x2的零点的个数.,解答,将g(x)f(x)x2的零点个数问题转化为函数f(x)与yx2的图象的交点个数问题， 在同一坐标系中，分别作出函数f(x)|2x1|和yx2的图象(图略)， 有四个交点，故g(x)有四个零点.,(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.,思维升华,跟踪训练2 已知函数f(x) 设ab0，若f(a)f(b)，则 bf(a)的取值范围是_.,答案,解析,函数的图象如图所示. 因为ab0，f(a)f(b)， 所以0.5b1且1.5f(a)2. 所以0.75bf(a)2.,几何画板展示,题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用 例3 (1)(2016徐州模拟)下列各式比较大小正确的是_. 1.72.51.73； 0.610.62； 0.80.11.250.2； 1.70.30.93.1.,中，y0.6x是减函数， 0.610.62.,答案,解析,(2)设函数f(x) 若f(a)1，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,(3，1),当a0时，不等式f(a)1可化为( )a71，,又a0，3a0. 当a0时，不等式f(a)1可化为 1. 所以0a1，,所以a3.,综上，a的取值范围为(3，1).,几何画板展示,命题点2 复合函数的单调性 例4 (1)已知函数f(x) (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_.,答案,解析,令t|2xm|，则t|2xm|在区间 ，)上单调递增， 在区间(， 上单调递减. 而y2t为R上的增函数， 所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有 2， 即m4，所以m的取值范围是(，4.,(，4,(2)函数 的单调减区间为_.,答案,解析,(，1,设ux22x1，y u在R上为减函数，,函数f(x) 的减区间即为函数ux22x1的增区间.,又ux22x1的增区间为(，1，,f(x)的减区间为(，1.,引申探究 函数f(x)4x2x1的单调增区间是_.,设t2x，则yt22t的单调增区间为1，)， 令2x1，得x0， 函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，).,答案,解析,0，),命题点3 函数的值域(或最值) 例5 (1)函数y 1在区间3，2上的值域是_.,答案,解析,因为x3，2，,(2)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1，1上的最大值是14， 则a的值为_.,答案,解析,令axt，则ya2x2ax1t22t1,(t1)22.,当a1时，因为x1，1，所以t ，a，,又函数y(t1)22在 上单调递增，,所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去).,当0a1时，因为x1，1，所以ta， ，,又函数y(t1)22在a， 上单调递增，,则ymax( 1)2214，解得a (负值舍去).,综上，a3或a .,(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.,思维升华,跟踪训练3 (1)已知函数f(x) 的值域是8，1， 则实数a的取值范围是_.,答案,解析,3，0),当0x4时，f(x)8，1，,当ax0时，f(x)( )a，1)，,所以 ，1)8，1，,即8 1，即3a0，,所以实数a的取值范围是3，0).,几何画板展示,当x0时，g(x)f(x)2x 为单调增函数，,当xg(0)0， 所以函数g(x)的最小值是0.,所以g(x)g(0)0；,0,答案,解析,典例 (2016南京模拟)已知函数 (a，b为常数，且a0，a1)在区间 ，0上有最大值3，最小值 ， 则a，b的值分别为_.,与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.,指数函数底数的讨论,现场纠错系列2,错解展示,现场纠错,纠错心得,解析 令tx22x(x1)21， x0，1t0.,答案 2，2,返回,解析 令tx22x(x1)21， x ，0，t1，0. 若a1，函数f(x)at在1，0上为增函数，,若0a1，函数f(x)at在1，0上为减函数，,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.(2016苏州模拟)设2x8y1，9y3x9，则xy的值为_.,答案,解析,27,2x8y123(y1)，x3y3， 9y3x932y，x92y， 解得x21，y6，xy27.,2.函数f(x)2|x1|的图象是_.,答案,解析,|x1|0，f(x)1，排除、. 又x1时，|f(x)|min1，排除.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.已知a40.2，b0.40.2，c0.40.8，则a，b，c的大小关系为_.,由0.20.40.8，即bc. 又a40.2401，b0.40.2b，综上，abc.,答案,解析,abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为_.,由f(x)过定点(2，1)可知b2， 因为f(x)3x2在2，4上是增函数， 所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.,答案,解析,1，9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.(2015山东改编)若函数f(x) 是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为_.,答案,解析,(0，1),f(x)为奇函数，f(x)f(x)，,当x0时，2x10，2x132x3，解得0x1； 当x0时，2x10，2x132x3，无解.,x的取值范围为(0，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江改编)已知函数f(x)满足f(x)2x，xR.若f(a)2b，则a，b的大小关系为_.,依题意得f(a)2a， 若f(a)2b，则2af(a)2b，2a2b， 又y2x是R上的增函数，ab.,答案,解析,ab,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.设函数f(x) 则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.,当x1时，由ex12得x1ln 2， x1时恒成立； 当x1时，由 2得x8，1x8. 综上，符合题意的x的取值范围是x8.,答案,解析,(，8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的 取值范围是_.,(数形结合法) 由图象可知02a1，0a .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016镇江模拟)已知yf(x)是定义在R上的奇函数且当x0时，f(x) ，则此函数的值域为_.,答案,解析,yf(x)是定义在R上的奇函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知函数f(x)2ax2(a为常数)， (1)求函数f(x)的定义域；,函数f(x)2ax2对任意实数都有意义， 所以定义域为实数集R.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若a0，试证明函数f(x)在R上是增函数；,任取x1，x2R，且x10，得ax12ax22. 因为y2x在R上是增函数， 所以有 ， 即f(x1)f(x2). 所以函数f(x)在R上是增函数.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(3)当a1时，求函数yf(x)，x(1，3的值域.,由(2)知， 当a1时，f(x)2x2在(1，3上是增函数. 所以f(1)f(x)f(3)， 即2f(x)32. 所以函数f(x)的值域为(2，32.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知函数f(x)( )|x|a. (1)求f(x)的单调区间；,解答,令t|x|a，则f(x)( )t， 不论a取何值，t在(，0上单调递减， 在0，)上单调递增， 又y( )t是单调递减的， 因此f(x)的单调递增区间是(，0， 单调递减区间是0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)的最大值等于 ，求a的值.,解答,所以g(x)|x|a应该有最小值2，即g(0)2， 从而a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知函数f(x) . (1)若a1，求f(x)的单调区间；,解答,当a1时，f(x) ，,令tx24x3，,由于函数tx24x3在(，2)上单调递增，,在(2，)上单调递减，而y t 在R上单调递减，,所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增， 即函数f(x)的单调递增区间是(2，)， 单调递减区间是(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若f(x)有最大值3，求a的值.,解答,令g(x)ax24x3，则f(x) g(x)，,由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，,即当f(x)有最大值3时，a的值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数的值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由(1)得g(t)t22t3,(t)232( t2)，,当 2时，g(t)ming()23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当2时，g(t)ming(2)47，,令471，得 2，不符合舍去.,综上所述，实