立方纯金属及部分二元合金杨氏模量的评估.doc

立方结构的纯金属及二元合金杨氏模量的计算刘兴军*，刘波涛，韩佳甲，王翠萍（厦门大学材料学院，福建 厦门 361005）摘要：本研究以立方结构的纯金属为研究对象，在文献报道的实验信息的基础上，运用改进的半经验模型优化与计算了金属在不同温度时的杨氏模量借鉴相图计算的CALPHAD方法，构建了二元合金杨氏模量计算的新模型基于二元合金的实验信息，对Ag-Au、Ta-W、Pt-Rh和Pt-Ir 4个二元系的杨氏模量计算参数进行了优化，计算了合金在不同温度、成分时的杨氏模量，计算结果与实验信息取得了良好的一致性关键词：杨氏模量；改进模型； CALPHAD 方法；计算 中图分类号：TG 113.25 文献标志码：A 杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是机械设计和材料性能研究中重要的力学参量1同时，杨氏模量也是选定机械零件材料的重要依据实验测量杨氏模量的主要方法有：机械拉伸法2、动态测量法3和纳米压痕法4因实验测量受到仪器条件的限制，高温时的金属杨氏模量的实验信息匮乏因此，通过建立理论模型和经验模型计算材料的杨氏模量是一项重要的基础理论研究工作最常用的理论模型是基于密度泛函理论的第一性原理计算5第一性原理计算仅需要原子的种类和晶体结构参数来计算材料的物理性能6，但需要耗费大量的计算资源并且存在较大的误差Portvin7和Wachtman等8分别提出了计算杨氏模量的经验模型然而，Portvin模型无法计算材料随温度变化的杨氏模量，而Wachtman模型只适用于部分金属氧化物，该模型无法计算二元合金随成分变化的杨氏模量在徐志东等9 提出的半经验模型中参数Q的值为25，Q只是通过少量金属的常温实验信息获得，不适用于计算不同温度时的杨氏模量本研究对徐志东等提出的半经验模型9进行改进，用于计算立方结构的纯金属随温度变化的杨氏模量同时，借鉴相图计算的CALPHAD方法1011，构建二元合金杨氏模量计算的新模型，基于不同温度、成分时的二元合金杨氏模量的实验信息，优化模型中的杨氏模量计算参数，以实现二元合金体系在不同温度、成分时杨氏模量的计算1 计算方法1.1 立方结构的纯金属杨氏模量是原子间结合力的宏观反映对于立方结构的纯金属，通过对双原子模型的推导，可得到如下半经验模型9：. (1)式中，E是杨氏模量，T为温度，E0是在初始温度T0时的杨氏模量，为材料在相应温度时的线膨胀系数在式 (1) 中，由于参数Q来源于少量金属常温下的实验值，有待改进本研究基于现有立方金属的线膨胀系数和杨氏模量随温度变化的实验信息，采用非线性最小二乘法拟合，确定模型中参数Q的值，用于计算立方结构的纯金属在不同温度时的杨氏模量1.2 立方结构的二元合金CALPHAD方法是结合体系的实验信息，选择合理的热力学模型，优化确定热力学参数，依据相平衡原理计算相图的方法12本研究将借鉴CALPHAD方法，构建新模型用于计算二元合金在不同温度、成分时的杨氏模量其具体表达式如下： (2)式中EA、EB 分别是组元 A、B在温度T时的杨氏模量，可从立方结构纯金属的半经验模型式 (1) 中求得；xA, xB 分别代表组元A、B在二元合金中的含量；IAB为此二元合金的杨氏模量计算参数杨氏模量计算参数IAB为成分和温度的函数，其表达式如下：. (3)式 (3) 中a0, b0, a1, b1为本研究计算时待优化的参数 2 计算结果与讨论2.1立方结构的纯金属杨氏模量的计算本研究中立方结构的纯金属主要是过渡族金属及铝半经验模型式 (1) 中的线膨胀系数实验信息来自AIP手册13，杨氏模量的实验数据大部分来源于Kster14的研究工作同时，利用Chang等15、Purwins等16、Hearmon17和Katahara等18报道的部分金属弹性系数的实验信息，运用Voight-Reuss-Hill (VRH)1920方法，计算获得了部分金属的杨氏模量值本研究基于实验信息，对于半经验模型式 (1) 中的参数Q，采用非线性最小二乘法拟合，优化得到了Q值为23.5利用改进后的半经验模型式 (1)，计算了表1中所示的立方结构纯金属的杨氏模量，计算中的初始温度T0及对应的杨氏模量 E0见表1 表1 立方结构的纯金属在初始温度T0时的杨氏模量E0Tab. 1 Youngs modulus E0 for cubic pure metals at temperature T0元素T0/KE0/GPa参考文献Al293.572.414Au295.479.214Ag30091.115Cu300128.315Pt298.15164.621Rh298.15372.421Ir298.15525.521Mo297.4336.114W299.9414.914Ta296.6188.614Ni292223.514Fe294.7215.914图1 (a)(g) 所示为面心立方结构的纯金属Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir的杨氏模量计算结果与实验值的比较其中，Al和Au的杨氏模量取自于Kster14的实验数据，Ag和Cu来源于Chang 和Himmel15的实验数据，Pt、Rh和Ir的杨氏模量为Meker21测得的实验值从图1 (a)(f) 中可以看出，该模型计算的纯金属随温度变化的杨氏模量与实验值符合良好如图1 (c)(e) 所示，纯金属Ag、Cu的杨氏模量实验值低于800 K，Pt的实验结果低于1200 K本研究利用Ag、Cu、Pt高温时线膨胀系数的实验信息13，计算预测了其高温时的杨氏模量图2 (a)(c) 为体心立方结构的纯金属Mo、Ta、W杨氏模量的计算结果与实验值14的比较计算不同温度时的杨氏模量与实验值吻合良好由于纯金属Mo、Ta、W的杨氏模量实验测定温度低于1100 K，本研究利用Mo、Ta、W高温时线膨胀系数的实验信息13，计算预测了温度至2000 K左右时Mo、Ta、W的杨氏模量此计算结果对高温合金力学性能的设计具有一定的参考价值图1 面心立方结构的纯金属 Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir的杨氏模量 (E) 的计算结果与实验值1415, 21的比较Fig. 1 Calculated Youngs modulus (E) together with experimental data1415, 21 for Al, Au, Ag, Cu, Pt, Rh and Ir with fcc structure图2 体心立方结构的纯金属Mo、W、Ta的杨氏模量 (E) 的计算结果与实验值14的比较Fig. 2 Calculated Youngs modulus (E) together with experimental data14 for Mo, W and Ta with bcc structure 图3 (a)(b) 为具有磁性转变的纯金属Ni、Fe杨氏模量的计算结果与实验值14的比较对于纯金属Ni (面心立方结构)，计算得到的杨氏模量随温度变化的曲线与磁饱和状态下的实验值吻合良好由于Ni在居里温度Tc (627 K) 处发生磁性转变，理论计算结果曲线出现弯曲如图3 (b)所示，纯Fe在居里温度Tc (1041 K) 以下，计算结果与实验值取得了良好的一致性在居里温度Tc附近， Fe的杨氏模量的实验值 (在磁性转变后) 急剧下降，计算结果与实验数据的变化趋势是一致的当温度达到1185 K时，Fe将发生同素异构转变，即发生体心立方结构的-Fe向面心立方结构的-Fe的转变，模型式 (1) 无法计算高于此相变温度的杨氏模量 图3 纯金属Ni、Fe的杨氏模量 (E) 的计算结果与实验值14的比较Fig. 3 Calculated Youngs modulus (E) together with experimental data14 for Ni and Fe2.2 立方结构的二元合金杨氏模量的计算基于有限的实验信息，本研究运用模型式 (2)，对Ag-Au、Ta-W、Pt-Rh和Pt-Ir各二元系的杨氏模量计算参数进行了优化，所得参数如表2所示图4 (a)(b)为Ag-Au、Ta-W二元系杨氏模量的计算结果与实验值1618的比较由图4 (a)(b) 可见，在293 K时，Ag-Au二元系的杨氏模量随Au原子百分比的增加呈现先增大后减小，Ta-W二元系的杨氏模量随W原子百分比的增加呈现连续增大的变化趋势计算的杨氏模量曲线很好地再现了实验结果此外，基于优化的参数，本研究也计算预测了Ag-Au和Ta-W二元系在500、700、900 K温度时的杨氏模量计算结果表明，二元合金的杨氏模量随温度的升高而下降，且不同温度下的杨氏模量随成分变化的趋势与实验结果1618类似 图4 Ag-Au、Ta-W 二元系在分别在293、500、700、900 K时随成分变化的杨氏模量 (E)的计算结果与实验值1618的比较Fig. 4 Calculated Youngs modulus (E) as a function of composition, together with the experimental data1618 for: (a) Ag-Au and (b) Ta-W binary systems at 293, 500, 700 and 900 K, respectively图5 (a)(b) 分别为Pt-Rh和Pt-Ir二元系在不同温度时杨氏模量随成分变化的计算结果与实验值21的比较基于Merker等21报道的有限的杨氏模量实验信息 (Rh和Ir的质量分数均小于30% )，优化得到的Pt-Rh和Pt-Ir二元系合金参数a0, b0, a1, b1见表2根据优化的参数，利用式 (2) 计算了两二元系在不同温度和全成分范围内的杨氏模量从图5 (a)(b) 中可以看出，两二元系的计算结果与实验值吻合良好同时，计算预测的杨氏模量弥补了部分实验信息的不足 图5 Pt-Rh、Pt-Ir 二元系随成分、温度变化的杨氏模量 (E) 的计算结果与实验值21的比较Fig. 5 Calculated Youngs modulus (E) as a function of composition, together with the experimental data21 at finite temperatures for: (a) Pt-Rh and (b) Pt-Ir binary systems表2 本研究评估的Ag-Au、Ta-W、Pt-Rh和Pt-Ir 二元系的优化参数Tab. 2 The optimized parameters in Ag-Au, Ta-W, Pt-Rh and Pt-Ir systems assessed in the present work二元系优化参数a0b0a1b1Ag-Au43.18012.880Ta-W-180.6404.530Pt-Rh207.73-0.12-84.6-0.16Pt-Ir-97.12-0.06-89.22-0.173 结 论1) 本研究在实验信息的基础上，优化得到了半经验模型中的参数Q为23.5，并利用该模型计算了立方结构纯金属的杨氏模量纯金属Al、Au、Ag、Cu、Pt、Rh、Ir、Mo、Ta、W、Ni、Fe (Tc点以下) 的计算结果与实验值取得了良好的一致性 2) 借鉴CALPHAD方法，构建了计算二元合金杨氏模量的新模型，并对Ag-Au、Ta-W、Pt-Rh 和Pt-Ir二元系合金的杨氏模量进行了计算，计算结果与实验值取得了良好的一致性该模型可用于计算二元合金不同成分和温度范围内的杨氏模量，对二元合金力学性能的理论计算具有重要的参考意义参考文献：1 张由群. 杨氏弹性模量的研究 J. 实验科学与技术, 2004, (1): 82-83.2 屠海令, 干勇. 金属材料理化测试全书 M. 北京: 化学工业出版, 2006.3 田莳. 材料物理性能 M. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2001.4 黎明, 温诗铸. 纳米压痕技术理论基础 J. 机械工程学报, 2003, 39(3): 142-145.5 Kohn W, Shan L J. 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