高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8_1空间几何体的结构及其表面积体积课件理苏教版

8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.多面体的结构特征,知识梳理,互相平行,全等,公共顶点,平行于底面,相似,2.旋转体的形成,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是 (1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz ，且yOz . (2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy ，xOz ，x轴和y轴所确定的平面表示水平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 于x轴、y轴或z轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中 ； 平行于y轴的线段， .,斜二测,90,90,45(或135),90,平行,保持原长度不变,长度为原来的一半,4.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,5.常用结论 (1)与体积有关的几个结论 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a，球的半径为R， 若球为正方体的外接球，则2R ； 若球为正方体的内切球，则2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则2R .,b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R . c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”,“三变”,“三不变”,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.( ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形.( ) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( ),考点自测,1.(教材改编)下列说法正确的是_. 相等的角在直观图中仍然相等； 相等的线段在直观图中仍然相等； 正方形的直观图是正方形； 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.,答案,解析,由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.故正确.,2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.,答案,解析,2,S表r2rlr2r2r3r212， r24， r2(cm).,3.如图，直观图所表示的平面图形是_.(填序号) 正三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形,答案,解析,由直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后原图ACy轴，BCx轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.故正确.,4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥 DABC的体积为_.,答案,解析,取AC的中点O，连结DO，BO，ADC，ABC都是等腰直角三角形.,因为DOBO ，BDa，所以BDO也是等腰直角三角形.,又因为DOAC，DOBO，ACBOO， 所以DO平面ABC，即DO就是三棱锥DABC的高.,5.(2016南京、淮安、盐城二模)表面积为12的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_.,答案,解析,12,设圆柱的底面半径为r，高为h，则2r22rh12，得h ，,所以圆柱的体积Vr2h(6rr3)，,令V(63r2)0，得r ，,且此时体积V最大，故底面半径与高的比 .,题型分类 深度剖析,题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 存在每个面都是直角三角形的四面体； 棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是_.,答案,解析,不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； 正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的 三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知.,(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断. (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.,思维升华,跟踪训练1 (1)以下命题： 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为_.,答案,解析,1,命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥； 命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰； 命题对； 命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.,(2)给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_.,答案,解析,对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错； 对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错； 对于，若底面不是矩形，则错； 由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故正确.,综上，命题不正确.,题型二 空间几何体的直观图 例2 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图 ABC的面积为_.,答案,解析,如图所示的实际图形和直观图，,由可知，ABABa，OC ，,在图中作CDAB于D，,则CD .,(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面 图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm， 则原图形是_. 正方形； 矩形； 菱形； 一般的平行四边形.,答案,解析,如图，在原图形OABC中，应有OD2OD 2 cm，CDCD2 cm.,OAOC，故四边形OABC是菱形.,用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出.,思维升华,跟踪训练2 (2016镇江模拟)如图所示，ABC是ABC的直观图， 且ABC是边长为a的正三角形，则ABC的面积为_.,答案,解析,建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，边AB在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C使OC2OC，A，B点即为A，B点，长度不变. 已知ABACa，在OAC中，,由正弦定理得,所以原三角形ABC的高OC ，,题型三 求空间几何体的表面积 例3 (1)一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.,答案,解析,12,由题意知该六棱锥为正六棱锥， 设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.,h1，斜高h 2，,S侧6 2212.,(2)(2016苏州模拟)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.,解答,如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F， 连结AE，AF，AD. 又由题意知AEAB，AFAC， 得RtAAERtAAF，AEAF， DEDF，AD平分BAC， BCAD，BCAA， 而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，,斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab( 1)ab.,则由AAEAAF，AAAA，,又ABAC，,又斜三棱柱的底面积为 ，,斜三棱柱的表面积为( 1)ab .,(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况. (2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,思维升华,跟踪训练3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 . (1)求三棱台的斜高；,解答,设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，,则O1O ，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；,过D1作D1EAD于E，则D1EO1O ，,则DEODO1D1 .,在RtD1DE中，,故三棱台的斜高为 .,(2)求三棱台的侧面积和表面积.,解答,设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，,故三棱台的侧面积为 ，表面积为 .,题型四 求简单几何体的体积 例4 (2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.,答案,解析,设新的底面半径为r，,由题意得 r24r28 524228，解得r .,空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.,思维升华,跟踪训练4 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形， EFAB，EF2，则该多面体的体积为_.,答案,解析,如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，,连结DG，CH，容易求得EGHF ， AGGDBHHC ，,VVEADGVFBCHVAGDBHC,2VEADGVAGDBHC,题型五 与球有关的切、接问题 例5 (2016扬州模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的 球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_.,答案,解析,如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M.,又AM BC ，,OM AA16，,所以球O的半径ROA,引申探究 1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解答,由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为 ，,2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？,解答,正四面体的表面积为S1,其内切球半径r为正四面体高的 ，,因此内切球表面积为S24r2 ，,3.已知侧棱和底面边长都是 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？,解答,依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 6，,高为 3，,因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.,空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.,思维升华,跟踪训练5 (2016全国丙卷改编)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个 体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_.,答案,解析,由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.,三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为 .,典例 (2016盐城模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_.,巧用补形法解决立体几何问题,思想与方法系列15,解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等.,思想方法指导,答案,解析,96,几何画板展示,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使AABBCC8， 所以V几何体 V三棱柱 SABCAA 24896.,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1.给出下列命题： 在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个 顶点； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确命题的序号是_.,答案,2.(2016连云港模拟)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为_.,答案,解析,10,如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,3.用平面截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面的距离为4，则此球的表面积为_.,答案,解析,100,依题意，设球半径为R，满足R2324225， S球4R2100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.(2016镇江模拟)若直观图为如图所示的直角梯形，ABC45， ABAD1，DCBC，则原图形的面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，AB1，ABE45，,BE .,而四边形AECD为矩形，AD1，,ECAD1.,BCBEEC 1.,由此可还原原图形如图，是一个直角梯形.,在原图形中，AD1，AB2，BC 1，,且ADBC，ABBC，,原图形的面积为S (ADBC)AB,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 ，以顶点A为球心，2为半径 作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由题意，图中弧 为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，,因为A1AEBAF ，所以EAF ，,由弧长公式知弧 的长为2 .,弧 为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，,因为球心到平面BCC1B1的距离d ，球的半径R2，,所以小圆的半径r 1，,又GBF ，所以弧 的长为1 .,故两段弧长之和为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为_.,答案,解析,由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为 .,ABCA1B1C1为直三棱柱，平面ABC平面BCC1B1， BC为截面圆的直径，BAC90. ABAC，AB1.,侧面ABB1A1的面积为 1 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.已知四面体ABCD满足ABCD ，ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面积是_.,答案,解析,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE，BE. ACADBCBD2，AECD，BECD.,在RtAED中，CD ，AE .,同理BE .,取AB的中点为F，连结EF.,由AEBE，得EFAB.,在RtEFA中，AF AB ，AE ，EF1.,取EF的中点为O，连结OA，则OF .在RtOFA中，OA .,同理得OAOBOCOD， 该四面体的外接球的半径是 ， 外接球的表面积是7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8. 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1. 则三棱锥PABC体积的最大值为_.,答案,解析,VPABC POSABC， 当ABC的面积最大时，三棱锥PABC体