高考数学大一轮复习第六章数列6_3等比数列及其前n项和课件理苏教版

6.3 等比数列及其前n项和,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列_ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ， 通常用字母 表示(q0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an . 3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b 的 .,知识梳理,从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同,一个常数,公比,q,a1qn1,等比中项,4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 . (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)， 仍是等比数列. 5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn， 当q1时，Snna1； 当q1时，Sn,qnm,akalaman,6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 .,qn,等比数列an的单调性 (4)当q0时，an为摆动数列.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.( ) (2)G为a，b的等比中项G2ab.( ) (3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列. ( ) (4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.( ),考点自测,1.(教材改编)等比数列an中，a22，a5 ，则公比q_.,答案,解析,a2a1q2，a5a1q4 ，,2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是_(填序号). 任何两个实数都有等比中项； 两个正数的等比中项必是正数； 两个负数的等比中项不存在； 同号两数必存在互为相反数的两个等比中项.,答案,解析,一正数、一负数没有等比中项； 两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负； 两个负数a，b的等比中项为 ； 所以、错误，易知正确.,3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6_.,根据题意知，等比数列an的公比不是1. 由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)， 即1223(S615)，解得S663.,答案,解析,63,4.(教材改编)设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.,由S64S3，,答案,解析,3,所以q33(q31不合题意，舍去)， 所以a4a1q3133.,5.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 _.,设等比数列an的公比为q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2，,答案,解析,11,题型分类 深度剖析,题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)(2015课标全国)已知等比数列an满足a1 ，a3a54(a41)， 则a2_.,由an为等比数列，得a3a5 ， 又a3a54(a41)，所以 4(a41)， 解得a42.设等比数列an的公比为q， 则由a4a1q3，得2 ，解得q2， 所以a2a1q .,答案,解析,(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3 ，a2a4 ，则 _.,答案,解析,2n1,解得q ，代入得a12，,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.,思维升华,跟踪训练1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知 a2a41，S37，则S5_.,答案,解析,显然公比q1，由题意得,(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.,由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3， 可得a33a2，所以公比q3， 故等比数列通项ana1qn13n1.,答案,解析,3n1,题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；,由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12. a25，b1a22a13.,证明,由，得an14an4an1(n2)， bnan12an，bn2bn1(n2)， 故bn是首项b13，公比为2的等比数列.,an12an2(an2an1)(n2).,(2)求数列an的通项公式.,由(1)知bnan12an32n1，,解答,故an(3n1)2n2.,引申探究 若将例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式.,由已知得n2时，Sn2Sn1n. Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1， an112(an1)，n2， (*) 又a11，S2a1a22a12， 即a212(a11)，当n1时(*)式也成立， 故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列， an122n12n，an2n1.,解答,(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.,思维升华,跟踪训练2 已知数列an满足a11，an13an1. (1)证明：an 是等比数列，并求an的通项公式；,证明,由an13an1，得an1 3(an ).,所以an 是首项为 ，公比为3的等比数列.,证明,因为当n1时，3n123n1，,题型三 等比数列性质的应用 例3 (1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.,因为a10a11a9a122a10a112e5， 所以a10a11e5. 所以ln a1ln a2ln a20 ln(a1a2a20) ln(a1a20)(a2a19)(a10a11) ln(a10a11)1010ln(a10a11) 10ln e550ln e50.,答案,解析,50,(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若 ，则 _.,答案,解析,方法一 S6S312，an的公比q1.,方法二 an是等比数列，且 ，公比q1， S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，,等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.,思维升华,跟踪训练3 (1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于_.,前4项和S4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)， 又等比数列an中，a2a3a1a410， S4lg 1002.,答案,解析,2,(2)(2016南通一调) 设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6的值为_.,答案,解析,方法一 由等比数列的性质得，q2 4，所以q2.,方法二 由S2，S4S2，S6S4成等比数列可得(S4S2)2S2(S6S4)，所以S663.,63,典例 (14分)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式. (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.,分类讨论思想在等比数列中的应用,思想与方法系列13,规范解答,思想方法指导,(1)解 设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4， 可得2a4a3，于是q . 2分 又a1 ，所以等比数列an的通项公式为,(2)证明 由(1)知，Sn ，,当n为奇数时，Sn 随n的增大而减小，,当n为偶数时，Sn 随n的增大而减小，,课时作业,1.(教材改编)an，bn都是等比数列，那么下列正确的序号是_. anbn，anbn都一定是等比数列； anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列； anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列； anbn，anbn都不一定是等比数列.,anbn不一定是等比数列，如an1，bn1， 因为anbn0，所以anbn不是等比数列. 设an，bn的公比分别为p，q，,答案,解析,所以anbn一定是等比数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列an中，若a4a5a6 3，log3a1log3a2log3a8log3a9的值为_.,答案,解析,log3a1log3a2log3a8log3a9log3a1a2a8a9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.,答案,解析,14,设数列an的公比为q，,可得q93，an1anan1 324， 因此q3n68134q36， 所以n14.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*4.(2015福建改编)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_.,由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0. 在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2； b，a，2；2，a，b；2，b，a； 成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.,答案,解析,p5，q4，pq9.,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则 (a5a7a9)的值是_.,答案,解析,由log3an1log3an1(nN*)， 得log3an1log3an1，即 1， 解得 3，所以数列an是公比为3的等比数列. 因为a5a7a9(a2a4a6)q3， 所以a5a7a993335. 所以,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2017盐城检测)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53， 则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为_.,答案,解析,log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7),所以sin(log3a1log3a2log3a7) .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q_.,答案,解析,4,由，得3a3a4a3，即4a3a4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016南京调研)设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn.若S3 ，且S1，S2，S4成等比数列，则a10_.,答案,解析,设等差数列an的公差为d(d0)，因为S1，S2，S4成等比数列， 所以 S1S4， 从而(2a1d)2a1(4a16d)，整理得2a1dd20， 因为d0，所以d2a1， 又因为S3 ，所以3a13d(a1d)2， 将d2a1代入上式得3a16a1(a12a1)2， 即9a1 ，解之得a11(a10舍)，从而d2，所以a1019219.,19,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*9.已知正项等比数列an满足a2 0152a2 013a2 014，若存在两项am，an， 使得 4a1，则 的最小值为_.,答案,解析,设an的公比为q(q0)，由正项等比数列an满足a2 0152a2 013a2 014， 可得a2 013q22a2 013a2 013q，,q2q20，q0，q2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.(2016苏锡常镇一调)设数列an是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列an的公差为_.,设公差为d，其中d0，则S1，S2，S4分别为1,2d,46d. 由S1，S2，S4成等比数列，得(2d)246d， 即d22d. 因为d0，所以d2.,答案,解析,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.(2016苏北四市期末)已知各项均为正数的数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*). (1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；,解答,令n1，得a2 . 令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，,因为0，所以1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)若 ，求Sn.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当 时，anSn1an1Snanan1 anan1，,所以数列 是以2为首项， 为公差的等差数列，,当n2时，Sn11( 1)an1， ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知an是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示an的前n项和. (1)求an及Sn；,因为an是首项a11，公差d2的等差数列， 所以ana1(n1)d2n1. 故Sn13(2n1),解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2(a41)qS40，求bn的通项公式及