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中档大题满分练7.立体几何(A组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.如图,在四面体ABCD中,ABC=ADC=90,BC=BD=CD.(1)求证:ADBD.(2)若AB与平面BCD所成的角为60,点E是AC的中点,求二面角C-BD-E的大小.【解析】(1)由已知得BC2+BD2=CD2,所以BDBC,又ABBC,BDAB=B,所以BC平面ABD,所以BCAD,又CDAD,BCCD=C,所以AD平面BCD,所以ADBD.(2)由(1)知,AB与平面BCD所成的角为ABD,即ABD=60,设BD=2,则BC=2,在RtADB中,AB=4,由(1)中BC平面ABD,故平面ABC平面ABD,在平面ABD内,过点B作BzAB,则Bz平面ABC,以B为原点,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(4,0,0),C(0,2,0),E(2,1,0),由xD=|BD|cos 60=1,zD=|BD|sin 60=,得D(1,0,),所以=(2,1,0),=(1,0,),设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则取z=1,解得x=-3,y=23,所以m=(-,2,1)是平面BDE的一个法向量,又=(-3,0,)是平面CBD的一个法向量.设二面角C-BD-E的大小为,易知为锐角,则cos =|cos |=12,所以=60,即二面角C-BD-E的大小为60.2.如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O 为EF的中点.(1)求二面角F-AE-B 的余弦值.(2)若点M为线段AC上异于点A的一点,BEOM,求a的值.【解析】(1)因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF,又因为平面AEF平面EFCB,平面AEF平面EFCB=EF,AO平面AEF,所以AO平面EFCB,取BC的中点G,连接OG,由题设知四边形EFCB是等腰梯形,所以OGEF,由AO平面EFCB,又GO平面EFCB,所以AOGO,建立如图所示空间直角坐标系,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2-a),0),=(-a,0,a), =(a-2,(a-2),0),设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则 x=,y=-1,于是n=(,-1,1),又平面AEF的一个法向量为p=(0,1,0),设二面角F-AE-B大小为,所以cos =cos=n路p|n|p|=-.(2)由(1)知AO平面EFCB,又BE平面EFCB,所以AOBE,又OMBE,AOOM=O,所以BE平面AOC,所以BEOC,即=0,因为=(a-2
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