《结构力学动力计算》PPT课件.pptx

第十章 结构动力计算,结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律，计算动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。,动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。,强迫振动:结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。,自由振动和强迫振动,自由振动:结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。, 10.1 动力计算的特点和动力自由度,1、动力计算的特点,静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。,动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。,内力与荷载不能构成静平衡,必须考据惯性力。根据达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题处理。列平衡方程时要考虑两点 (1). 力系中包括惯性力 (2). 荷载内力等都是时间的函数。,2、动力荷载的分类,P(t)=Psint,1)周期荷载：荷载随时间作周期性变化 简谐荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击,机器转动）。,2)冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。,3)随机荷载 风荷载，地震荷载,3、振动体系的自由度,自由度： 结构运动时，确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目。 （与几何组成自由度不同）。,自由度数=基本未知量数,根据简化方式不同，基本未知量可分为质点位移，广义坐标，结点位移。 实际结构有无限个自由度数，需要对计算方法加以简化，减少自由度数。自由度数与简化的方法有关,计算方法的简化,常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移）为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法） 2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数）为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有限自由度问题。,将连续分布的质量集中为质点,1.集中质量法的简化例,1.集中质量法的简化与自由度：,一质点简化,三质点简化,注意：不一定一个质点一个自由度,基本未知量为质点的未知线位移,1.质量集中法的自由度分析例,（5）结构的自由度与是否超静定无关。,自由度数=质点未知线位移数,假定梁的挠度曲线为,满足位移边界条件的形状函数,广义坐标（级数项系数）,自由度数=广义坐标数(级数项数),2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数）为基本未知量。,3.有限单元法,将结构分割为若干个单元，用结点位移表示各单元挠度曲线方程。将无限自由度问题化为有限自由度问题。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 基本未知量为结点未知位移（线位移+角位移）,10个自由度,9个自由度,1.自由振动运动微分方程,自由振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的 确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。,10.2 单自由度体系的自由振动,动平衡方程,动荷载: F(t) 刚度系数: k 柔度系数: d =1/k 位移:y(t),静平衡方程,荷载: F 刚度系数: k 柔度系数: d =1/k 位移:y,柔度法 (位移平衡),刚度法 (力平衡),柔度法 (位移平衡),刚度法 (力平衡),质量: m 时间:t 速度: 加速度：,F(t),弹性力 = -ky(t), 与位移方向相反；,两种动平衡方程,刚度法-动力平衡方程,两种方程的数学意义都是2阶常微分方程。 外荷载F(t)=0的方程为2阶齐次常微分方程（自振微分方程）,柔度法-动位移平衡方程,-惯性力-弹性力=动力,柔度*惯性力+柔度*动力=动位移,设,通解为,动力平衡方程属于二阶齐次常微分方程,特征方程,涉及到两阶微分等于同型函数的问题,设 代入得,由于齐次常微分方程的通解为所有特解的线性叠加，所以,单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。,方程的解 (P357 图10-11)：,令,通解,初始条件,简谐自由振动的特性,位移（自振方程）,加速度,惯性力,位移与惯性力作同频同步振动,如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比，则质点在该方向上可发生简谐自由振动,(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期),自振圆频率: （自振频率）,自振周期:,(2p个单位时间内的振动次数，或每秒振动次数*2p),频率,(每秒振动次数，周期的倒数),刚度或柔度: k或d 质量: m 初始位移：y0 初始速度：v0,确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量,内因素,外因素,与内在因素有关的物理量,自振方程,振幅：,初始相位角：,刚度或柔度: k或d 质量: m 初始位移：y0 初始速度：v0,确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量,内因素,外因素,与外因素有关的物理量,代入初始条件得,解得,自振频率和自振周期是体系固有的，只与内在因素有关，与外在因素无关。 算法：柔度法 沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作 图,图乘法得 柔度系数,自振频率,自振周期,算例 求图示体系的自振频率和自振周期。（P359）,图,图示结构体系虽有两个质量，但它们只能沿水平方向同时运动，故仍为单自由度体系。 算法：柔度法 沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作 图,图乘法得 柔度系数,自振频率,自振周期,算例 求图示体系的自振频率和自振周期。,算例求图示体系的自振频率和周期,C端最大位移,解法1： 设B处的竖向位移为y、加速度为 则C处的竖向位移为5/4y、加速度为,-惯性力*力臂-弹性力*力臂=0,平衡方程,已知：,B点初位移和速度：,C端最大位移： 1.25A=0.187m,B点振幅,解法2，柔度法,沿质点的可位移方向虚设单位荷载，求得的质点的位移即为柔度系数,C端最大位移：1.25A=0.187m,B点振幅,解法3： 设C点最大位移为YC ； C点最大速度为wYC ；B点最大位移为0.8 YC 体系最大动能 T max和最大应变能Ve max为,根据能量守恒原理,C端最大位移：1.25A=0.187m,B点振幅,式中,自振频率,刚度法建立动力平衡方程（2阶非齐次常微分方程）,-惯性力-弹性力=外力,103 单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）,一. 简谐荷载下的动力反应,F 荷载幅值,q荷载的圆频率,动力平衡方程,该方程为2阶非齐次常微分方程,设特解：,代入得,通解为：,特解为,齐次通解 + 特解,微分方程,最大静位移：,代入得,通解,初始条件,初始条件,的振动方程为,上式分为两部分。第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率振动。由于实际振动过程中存在阻尼，按自振频率振动的第二部分会逐渐消失，剩下第一部分，进入平稳阶段（稳态振动）,稳态振动方程,动力系数：,（最大动位移与最大静位移的比值）,稳态振动方程,动力系数：,（最大动位移与最大静位移的比值）,当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大，这种现象称为共振,例10-3：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩(P362),已知,解：（1）柔度法求自振频率 柔度系数：,自振频率：,图,（3）动力系数：,（2）荷载频率：,静荷载+|动力系数|*动荷载幅值作用时的最大弯矩,最大正应力,（4）求跨中最大正应力,静弯矩,动弯矩幅值,*动荷载不作用在质点上时的动力计算（柔度法）,柔度法建立动位移平衡方程,令,(a),(b),动位移=柔度1*惯性力+柔度2*动力,得到与刚度法相似的微分方程,稳态解,(c),(d),(e),2阶非齐次常微分方程,（1）、振幅,由以上可知: b仍是位移的动力系数. 思考:b是否内力的动力系数？,稳态振动方程,最大值为振幅,代入,得,（2）、动内力幅值,、,、,作同频同步运动，三者同时达到幅值。,由于产生内力的动力与惯性力的作用位置不同， b在物理意义上不是内力的动力系数。先算出惯性力幅值。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。,惯性力,惯性力幅值（最大值）为,*例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图.,已知 ：,解,(a),(b),(1)计算动力系数,(2)简支梁的振幅,(c),(d),(e),(3)作动弯矩的幅值图,惯性力幅值,动弯矩幅值图,(f),将动荷载幅值 F 和惯性力 幅值 I 作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图-动弯矩幅值图。,当力作用在质点上时，I+F=bF,当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。 对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态和振动时结构的最大动位移和最大动内力。 对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。,关于单自由度体系稳态振动的最大动位移和最大动内力,二. 一般动荷载下的动力反应- Duhamel积分,体系在一般动荷载作用下的动力反应，可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和。,(1)t=0 时瞬时冲量作用,设体系 时静止,瞬时冲量,使体系产生的初速度,初位移,自振方程通用式,代入得瞬时冲量作用后的自振方程,（2）.,时瞬时冲量作用,位移,任一时刻,微分冲量下体系的动力反应,一般动荷载下体系的动力反应,Duhamel积分,若,时,则体系的动力反应,（3）. Duhamel积分,例1. 求突加荷载作用下质量 m 的位移。初始条件为零，不计阻尼。,三. 几种常见动力荷载下的动力反应,（1）. 突加荷载,解 :将,代入式Duhamel积分式,（1）. 突加荷载,动力系数,自由振动的中心为0点，突加荷载的振动中心非0点（最大静位移点） ，但两者的振动形态实质上相同。,振动中心,第1阶段，与突加荷载相同,第2阶段，自由振动，初始位移和速度即第1阶段末的值,（2）. 短时荷载,动力系数,b,u /T,动力系数,第1阶段，与突加荷载相同 第2阶段，自由振动,例:,第1阶段，与突加荷载相同 第2阶段，自由振动,例:,第1阶段，与突加荷载相同 第2阶段，自由振动,例:,（3）. 线性渐增荷载,线性渐增荷载下的振动方程（10-21式）,例：,例：,若荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,则荷载增加完毕后不振动,例：,若荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,则荷载增加完毕后不振动,例：,若荷载线性渐增的时间tr是周期T的整数倍,则荷载增加完毕后不振动,描点法作b tr /T (动力系数反映谱)图,b,tr /T,振动范围: 2(b-1),作业 作10-21式所示的y(t)-t关系曲线，求动力系数b 已知 （a , b为学号最后两位，0以10代替）,104,阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的各种因素的统称。,产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。,阻尼力大小与速度有关 （1）与质点速度成正比（粘滞阻尼力） （2）与质点速度平方成正比（流体阻力产生的阻尼力） （3）与质点速度无关（摩擦产生的阻尼力）,阻尼对振动的影响,阻尼力对质点运动起阻碍作用 ，与质点速度方向相反,粘滞阻尼力假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用 表示。,弹性力,阻尼力,惯性力,动力平衡方程为：,c阻尼常数,-惯性力-阻尼力-弹性力=动力,动力平衡方程(有阻尼强迫振动),无阻尼自由振动,无阻尼强迫振动,有阻尼自由振动,无阻尼 无动荷载,无阻尼,无动荷载,平衡方程,-惯性力-阻尼力-弹性力=动力,一.有阻尼自由振动,动力平衡方程,令 阻尼比,设特解为,特征方程,特征根,(1).,令,特征根,代入得通解,特征根,(1).,由初始条件,自振方程解,相位角,通解,初相位a为0时的最大振幅,小阻尼自振,例（x=0.05）,例（x=0.1）,例（x=0.2）,例（x=0.5）,小阻尼自振,小阻尼的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。,相邻两个振幅的比值,w:无阻尼自振频率 wr:有阻尼自振频率,振动方程,频率,周期,时，阻尼对自振频率的影响可忽略；,钢筋混凝土结构：,钢结构：,T , w:无阻尼自振周期，频率 Tr , wr :有阻尼自振周期，频率,阻尼比的确定,振幅对数衰减率,阻尼比,时，阻尼对自振频率与周期的影响可忽略，,所以相邻振幅比可近似为,例,不振动（因为y(t)0）,（2） （临界阻尼比）,（3） （超阻尼情况）不振动,特征根,通解,引入初始条件 得,通过实验可确定体系的阻尼比。,例： 对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量 m 均集中在横梁处，横梁 。在刚架横梁处加一水平力, 测得侧移 。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期 ，及一个周期后刚架的侧移为 。求刚架的阻尼比 和阻尼系数 。,解,阻尼比,阻尼常数,二.有阻尼强迫振动,（1）.突加荷载Fp0作用,无阻尼自振的中心为0点，有阻尼突加荷载的振动中心为非0点（最大静位移点），但两者的振动形态实质上相同。,振动中心,例,二.有阻尼强迫振动,（2）.简谐荷载作用下的动力系数,阻尼越小共振效应越显著。当阻尼比大于0.5时，动力系数的最大值约等于1，因此动力作用对结构应力与变形的影响的不比静力状态下的更大。,10-5 双自由度体系的自由振动,工程中，很多实际结构可简化为单自由度体系进行计算，但要进行更加精确地分析，以及对于绝大多数实际结构必须作为多自由度体系进行计算。 多自由度体系自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自振频率和振型。,多自由度体系自由振动的求解方法： 刚度法 柔度法,刚度系数*位移=荷载,刚度矩阵位移向量=荷载向量,双自由度,单自由度,-弹性力=荷载,-弹性力向量=荷载向量,一. 刚度法-静荷载作用下的刚度方程,一.刚度法,刚度法的自振微分方程是与动力有关的平衡方程，某个质点的动力平衡方程可描述为 -惯性力-弹性力=动荷载,（1）双自由度体系振动微分方程,质点1的动力平衡方程可描述为：,同理，质点2的动力平衡方程可描述为：,质点1的运动产生的1方向惯性力,质点1的位移产生的1方向的弹性力,具体物理意义为：,质点2的位移产生的1方向的弹性力,作用在质点1的动荷载,（2）特解,设微分方程的特解：,代入上式得,F1(t)=0 , F2(t)=0的自振状态下的动力平衡方程为如下微分方程,（涉及到两阶微分等于同型函数的问题）,（3）位移幅值方程(P374 10-39a式),另解： 根据能量守恒原理：一个无阻尼的弹性体系自由度振动时，它在任意时刻的总能量应保持不变(参照P190，191页),设最大位移为Y1，Y2 ；最大速度为v1= wY1 ，v2 = wY2 最大动能 T max和最大应变能Ve max为,位移幅值方程(P374 10-39a式),根据能量守恒原理,（4）频率方程(特征方程)（Y1，Y2有非0解条件）,方程两个根： 规定 ，且都为正,第一频率或基本频率， 第二频率,（3）位移幅值方程,代数解为,（5）主振型,将 代入位移幅值方程得,第一频率对应的振型（某一频率时各质点的振幅的比值）,位移幅值方程,将 代入位移幅值方程得,第一主振型,第二主振型,图示两个振型,第一主振型,第二主振型,双自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。 一般情况下，两个自由度体系的自由振动可以看作是两种频率及其主振型的组合振动,此为自振微分方程 的解,多自由度体系自由振动问题可以归纳为：(P375),主要问题是确定体系的全部自振频率及其主振型。 自振频率个数与自由度个数一致，由特征方程求出。 每个自振频率有自己的相应的主振型，主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时的特定形式。 多自由度的频率和振型是多自由度体系的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数及其质量分布有关，与外部荷载无关。,刚度法计算分析双自由度体系自振问题总结,（1）求刚度系数(或矩阵),（2）求自振频率,由频率方程,得(10-41)式，代入求解两个根,（3）求主振型(特征向量),第一主振型,第二主振型,已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为m1，m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为k1，k2。求刚架水平振动时自振频率和主振型。,刚度法计算举例（P375 例10-4）,刚度法计算举例（求自振频率和主振型）,解（1.a） ：静力法求刚度矩阵,刚度矩阵,一层柱截面平衡方程,二层柱截面平衡方程,设荷载 作用下的位移为,解（1.b）：能量法求刚度矩阵,根据卡氏(Castigliano)第一定理，刚度矩阵为 (参照P105，P122页),设m1的水平位移为D1 ，设m2的水平位移为D2 。,用位移表示应变能,刚度矩阵,（2）求自振频率,频率方程,当 时，,解得,（3）求主振型,两个主振型图：,第一主振型,第二主振型,第一主振型,第二主振型,标准化,标准化,频率方程,当 时，,解得,第一主振型,第二主振型,鞭梢效应,课堂练习：建立图示体系的频率方程,作业：建立图示体系的频率方程,柔度系数*荷载=位移,柔度矩阵 荷载向量=位移向量,双自由度,单自由度,二. 柔度法-静荷载作用下的柔度方程,二.柔度法,柔度法的自振微分方程是与动位移有关的平衡方程，某个质点的动位移平衡方程可描述为 动位移=柔度系数*惯性力 + 柔度系数*动力,（1）双自由度体系振动微分方程,质点1的动位移平衡方程可描述为：,同理，质点2的动位移平衡方程可描述为：,质点1的惯性力影响产生的1方向位移,质点2的惯性力影响产生的1方向位移,具体物理意义为：,作用于质点2的动荷载产生的1方向位移,作用于质点1的动荷载产生的1方向位移,（3）位移幅值方程,（2）特解,设方程的特解：,（涉及到两阶微分等于同型函数的问题）,代入得,自振微分方程(无动荷载作用),代数解为,方程两个根： 规定 ，且都为正,第一频率或基本频率， 第二频率,（4）频率方程(特征方程)（ Y1，Y2 有非0解条件）,（5）主振型,将 代入位移幅值方程得,第一频率对应的振型（某一频率时各质点的振幅的比值）,将 代入位移幅值方程得,第一主振型,第二主振型,（1）求柔度矩阵,（2）求自振频率,由频率方程,得(10-47)式，代入求解两个根,（3）求主振型(特征向量),第一主振型,第二主振型,柔度法计算分析双自由度体系自振问题总结,（1）求柔度系数,作 图,图,图,利用图乘法求得,柔度法计算举例（求自振频率和主振型）,（2）求自振频率,由频率方程,解得,（3）求主振型,两个主振型图：,第一主振型,第二主振型,第一主振型,第二主振型,互等定理与主振型的正交性,惯性力向量,位移向量,状态1,状态2,根据互等定理,状态1的惯性力在状态2的位移上作的虚功= 状态2的惯性力在状态1的位移上作的虚功,正交性的应用(例10-5),对角化,双自由度体系自振微分方程,矩阵表达式,-惯性力向量-弹性力向量=0 质量矩阵 加速度向量+刚度矩阵 位移向量=0,141 多自由度体系的自由振动,1.刚度法,简写,141 多自由度体系的自由振动,1.刚度法,n个自由度体系的动力平衡方程矩阵表达式：,质量矩阵,加速度向量,刚度矩阵,位移向量,简写,n个自由度体系第i个方向的动力平衡方程,-惯性力-弹性力=0,设特解,代入得位移幅值方程（齐次方程）,齐次方程中 Y有非零解条件：满足频率方程(特征方程),可写为,：位移幅值向量,刚度法频率方程,两个自由度,n个自由度,单自由度,刚度法计算分析多自由度体系自振问题总结,（1）求刚度矩阵,（2）求自振频率（3自由度以上用Jacobi法）,由频率方程,求解n个根,（3）求n个主振型（特征向量）,例15-1：刚度法求自振频率和主振型,解（1.a） ：静力法求刚度矩阵,设荷载 作用下的位移为,平衡方