罗增儒数学解题学引论（11）.doc

膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅肂肂薅薁肂膄莈袀膁芆薄螆膀荿莆蚂腿肈薂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅螂芇蒁薁袁莀蚇衿袀聿蒀螅衿膂蚅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈袅莀薄蚄羄肀莇薀羃膂薃袈羃莅莆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁羈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇芆蚆蕿肆蒈葿羇肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅肂肂薅薁肂膄莈袀膁芆薄螆膀荿莆蚂腿肈薂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅螂芇蒁薁袁莀蚇衿袀聿蒀螅衿膂蚅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈袅莀薄蚄羄肀莇薀羃膂薃袈羃莅莆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁羈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇芆蚆蕿肆蒈葿羇肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅肂肂薅薁肂膄莈袀膁芆薄螆膀荿莆蚂腿肈薂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿膆膅虿蚅螂芇蒁薁袁莀蚇衿袀聿蒀螅衿膂蚅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈袅莀薄蚄羄肀莇薀羃膂薃袈羃莅莆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁羈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇芆蚆蕿肆蒈葿羇肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅肂肂薅薁肂膄莈袀膁芆薄螆膀荿莆蚂腿肈薂蚈膈芁蒅羇 名师讲座(11)罗增儒 数学解题学引论（11）第十一讲 怎样学会解数学题的解题观弗里德曼原苏联等著的怎样学会解数学题一书提出或引述了许多关于解题的精彩看法.1在“致读者”中，认为“学会解答任何一道习题是不可能的.” “应当学会这样一种对待习题的态度，即：把习题看作是精密研究的对象，而把解答习题看作是设计和发明的目标”. 在第三章又提出“寻找解题不能教会，而只能靠自己学会. 我们的这本书的目的不是为了教读者，而是为了帮助读者学会解题”. 并且说：“解题是一种创造性的活动，而寻找题解是一个发明的过程. 让我们在解题的过程中学会创造和发明吧！”由这些论述可以看到，作者强调了解题的实践性和创造性.2解答数学习题的实质是什么呢？作者认为“解数学题，这就是要找到一种一般数学原理（定义、公理、定理、定律、公式）的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论（解题的中间结果），得到习题所要的东西，即习题的答案”. 这是“关于解答数学习题实质的初步的，最一般的说明”.记x为条件，y为答案，若存在数学原理，使，则就是这道习题的原理系列，为中间结果或条件的推论.例29 分解因式的解题表.解题步骤一般数学原 理习题条件或者条件的推论结果1加法的交换律和结合律2从括号里提取公因式的法则3同上4分解平方差的法则5等式的传递性已得到的所有等式可见，解答这个因式分解题的实质，就是找出5项数学原理序列，依次作用于多项式，得出最后答案：这个数学原理序列是怎样找到的，如何确认它们是正确的. 作者提出了8阶段解题程序（图213）.3解题过程的结构. “如果把解题过程理解为从开始得到习题到完全解完这道题的过程，那么这个过程显然不单是由叙述已经找到的题解组成的，而是由一系列的阶段组成的，叙述题解只是其中的一个阶段.” 其全过程可分成8个阶段：第一阶段分析习题；第二阶段作习题的图示；第三阶段寻找解题方法；第四阶段进行解题；第五阶段检验题解；第六阶段讨论习题；第七阶段陈述习题答案.第八阶段分析题解.可能将这个解题过程图示如下：4如何寻找解题方案呢？作者引述有关成果，提出了4个特别有益的建议：（1）识别习题的类型“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型”. “要知道，识别了习题的类型，在多数情况下，我们就得到了解题的方法，因为在数学教材里，对于许多类型的习题都有解答它们的一般法则”.（2）归结为已经解过的题原苏联著名数学家、莫斯科大学教授CA雅诺夫斯卡娅（18961966）有一次向奥林匹克数学竞赛参加者发表了什么叫解题？的演讲. 她的答案显得惊人地简单，完全出乎听众的意料：“解题就是把题归结为已经解过的题”.如果我们开始解一道解，分析的结果不能从中识别出类型，换句话说，发现给定的习题属于我们所不熟悉的类型，对于这种类型我们不知道解答它的一般方法，那我们应当怎么办呢？只有设法归结为熟悉的早已解过的习题（利用变换、改编或其他方法）. 雅诺夫斯卡娅正是建议这样做的.当然，雅诺夫斯卡娅的建议完全正确，也非常简单，可是实际运用起来却不这么简单. 要知道，对于这种把不熟悉的习题归结为熟悉的、已经解决的习题的做法来说，没有一种确定的法则. 但是，如果仔细地，深入地分析习题，认真地思考解答的每一道习题，在自己的头脑中清醒地记住用来寻找解题的所有方法，记住习题都是用什么方法解出来的，那么，读者一定会逐渐地获得这种归结的能力.例210 在任意凸五边形中，按顺时针方向标记顶点和各边的号码. 用线段连接第一条边和第三条边的中点，第二条边和第四条边的中点. 然后同样用线段连接这两条线段的中点. 如果第五条边的长度等于a，求最后这条线段的长度. 讲解 作习题的图示，因为没有图示分析这道题很困难，如图214，已知求MN=？看过习题，作出它的图示，我们可以看出，这道题属于我们不熟悉的类型. 能把它归结为什么样的熟悉的习题呢？再看一遍条件，我们注意到其中涉及边的中点. 我们以前在哪儿遇到过边的中点呢？在三角形中位线，梯形中位线的习题里遇到过. 或许读者还解过这样的习题，其中谈到用依次连接任意四边形各边中点的方法得到后图形. 本题给我们的是任意五边形，怎么办呢？自然产生由五边形削减成四边形的想法. 连A1A4，在所得的四边形A1，A2，A3，A4中，前3条边的中点用B1，B2和B3标出. 第4条边A1A4的中点用C标出. 如果依次连接四边形A1A2A3A4各边的中点，就得到平行四边形B1B2B3C.由平行四边形对角线互相平分知，B2C的中点M，连CB4，则MN是B2CB4的中位线，有而CB4是A4A1A5的中位线，有得 即 且=这就不仅求出=而且还得出.（3）石堆里抓老鼠“如果遇到不熟悉的和费解的习题，那么，所有已知的建议和提示都无济于事了. 那到底怎样寻找题解呢？”奥林匹克数学竞赛最早发起人之一，苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基教授在回答这个经常提出的问题时，打比方说，“寻找题解就好像去抓藏在石堆里的老鼠.”这有两种方法：“可以把这个石堆的石头一块接一块地逐渐地搬开，直到露出老鼠来. 这时，你们再扑上去，抓住它可是，也可以用另一种方法，就是围绕石堆不停止地来回走动，并留心观察，看看什么地方露出老鼠尾巴没有. 一旦发现老鼠尾巴，你们就用手抓住它，并把老鼠从石堆里拖出来.”这要求我们，既善于把一个问题分解为一些小问题（然后分别求解小问题），又要善于分析问题的实质、直捣问题的关键.（4）解题是一个改编习题的过程“用心理学研究的解题过程已经有一百多年了. 这些研究的成果揭示了许多引人注目的规律. 找到了解题过程许多重要的特点. 苏联著名心理学家鲁宾什节依（18891960）提供的这个过程的一般特点特别引人注目. 他说明了人们解题是一个改编习题的过程，在这个过程中，通过综合习题条件和要求之间的联系，对这些条件和要求进行不间断的分析.”例211 一套徽章分放在一些小盒里，每个小盒有10个格. 在小盒的某些格子里有一个徽章，其他格还是空的. 放这套徽章的任何两个小盒至少能以同样的格子里有或者没有徽章互相区别. 显然，每个小盒里徽章最多数是10，最少数是0（空盒）. 放这套徽章的小盒有多少？这道题多少有些难度，我们将其改编为类似的更具有实际的意义的习题：代替小盒的每一格分别安上一个小电灯泡，这时，小电灯泡的一种可能状态（亮或不亮）对应于格子里有或者没有徽章，结果得到这样的习题：例212 一所住宅里有10个电灯泡. 住宅照明有多少种不同的方法？即使最低限度用一个电灯泡的状态来区别照明方法，照明的两种方法也算是不同的. 每个电灯泡可能亮，也可能不亮. 所有的电灯泡都不亮这种情况也是一种照明方法.这个问题更直观了，但解法也不是显而易见的. 为了更易于计算照明的不同方法（即盒子数），我们用“+”表示亮灯，“”表示关灯，问题转化为由“+”“”组成的10元排列，得到这样一道题：例213 有一个10列的矩阵，在这个矩阵里每个元素的位置都置有“+”号或者“”. 矩阵的任意两行至少有一个相同的列，它们的符号不同. 这个矩阵最多有多少行？这是一道较标准的数学题了，如果对它的求解仍感不够显然的话，那么可把“+”号看成1，“”号看成2（不能看成0），得到这样一道题：例214 由数码1、2能组成多少个不同的十位数？这是一道标准的题目，解法也是现成的. 因为每一数位上都只能有1、2两种可能，由乘法原理得十位数共210=1024个.这样，例211中的小盒有1024个，例212中的照明方法有1024种，例213中的矩阵有1024行. 这里，例212，例213，例214是通过对例211的改编而得到的、或是说，是用模拟它的方法实现的. 袁羇芄蒆袀聿肇蒂衿衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃莁薃蒄螃膄葿蒃袅荿莅薂羈膂芁薂肀羅薀薁螀膀薆薀羂羃蒂蕿肄芈莈薈螄肁芄薇袆芇薂薇罿肀蒈蚆肁芅莄蚅螁肈芀蚄袃芃膆蚃肅肆薅蚂螅莂蒁蚁袇膄莇蚁罿莀芃蚀肂膃薁蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄艿螆螆腿芅螅袈肂薄螅羀芈蒀螄肃肀莆螃螂芆节袂袅聿薀袁羇芄蒆袀聿肇蒂衿衿莂莈蒆羁膅芄蒅肃莁薃蒄螃膄袂袆芈螂螈羅莀薄蚄羄蒃莇羂羃膂薃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿羅罿莁蒂袁肈蒄蚈螇肇膃蒀蚃肇莆蚆虿肆蒈蕿羇肅膈螄袃肄芀薇蝿肃莂螃蚅肂蒄薅羄膁膄