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高等数学课 讲 教 案 主讲人 课 题 5.1 定积分的概念和性质目的任务 理解定积分的定义性质、了解其几何意义重点难点 定积分的定义性质的理解、几何意义的了解教学方法 讲授法使用教具 提问作业 课后习题备课时间 年 月 日 上课时间 年 月 日查 阅 抽 查 教学过程：一、 引入新课：定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用。本章将从几何与物理问题出发引出定积分的概念，然后讨论它的性质及计算方法。作为定积分的推广，还将介绍广义积分。二、 讲授新课：两个实例：例1 曲边梯形的面积问题： y 设函数f（x）在区间a，b（ab）上非负且连 y=f（x）有曲线y=f（x）、直线x=a、x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，如图。求此图形的面积。【分析】（略）。【方法】 o a b x分割：在区间（a，b）内任意插入n-1个分点： 将区间a，b分成n个小区间： 记每一个小区间的长度为（i=1，2，n）。过每一个分点xi（i=1，2，n）作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如下图 y O a xi-1 xi b x 其面积记作 （i=1，2，n）求和：在每一个小区间xi-1，xi上任取一点i，以xi为底边，以f（i）为高作小矩形，其面积为f（i）xi，则有 因而 取极限： 记，则 类似地，我们还可以解决下面的问题： 例2变速直线运动的路程：设一物体作变速直线运动，已知速度v=v（t）是时间t的连续函数，求在时间间隔T1，T2上物体所经过的路程s。【分析】（略）。【方法】（略）。 总结：以上两个问题虽然其意义不同，但我们发现，解决问题的方法是相同的，并且最后所得的结果都归结为“和式的极限”。在自然科学和工程技术中尚有许多类似的问题需用类似的方法去解决，因而从数学的角度专门对这种类型的极限问题加以研究具有非常重要的实际意义。我们略去其具体的实际意义，只从数学的结构加以抽象的研究，就得到定积分的概念。2、定积分的定义：设函数f（x）在区间a，b上有意义，任取分点xi（i=1，2，n）（a，b），且 将区间a，b分成n个小区间： 记每一个小区间的长度为（i=1，2，n）。在每一个小区间xi-1，xi上任取一点i，得到f（i），作乘积f（i）xi，将它们加起来，得和式。取，若存在，则称函数f（x）在区间a，b上可积，并称此极限为函数f（x）在区间a，b上的定积分。记作 即 积分上限 积分变量 积分号 积分下限 积分和式 被积函数a，b称为积分区间。 应注意的问题：对区间a，b的无限细密划分的理解。所谓可积的含义的解释。 可积的条件：若函数y=f（x）在区间a，b上连续或仅有有限个第一类间断点。 当函数f（x）在区间a，b上可积时，只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，即 在定义中总假设ab的情况，特作如下的规定： a=b时， ab时, 两个引例中，有下述结果： 曲边梯形面积： A= 变速直线运动的路程： s= 举例： 例3求解：（略）。3定积分的几何意义：函数y=f（x）在a，b上连续，且f（x）0时，=A，如图 y y=f（x） A o a b x函数y=f（x）在a，b上连续，且f（x）0时，=-A，如图 y a b o A x y=f（x）若在区间a，b上f（x）即可取正又可取负时，如图，则=A1-A2+A3 y A1 A2 o a A3 b x4、定积分的性质：（假设以下所涉及的函数均可积） 推论： 若在区间a，b上f（x）g（x），则有 推论： 若函数f（x）在必区间a，b上存在最大值M，最小值m，则有 若函数f（x）在区间a，b上连续，则在a，b上至少存在一点，使得 5、举例：例4比较下列各