高考数学大一轮复习 第十三章 选考部分 13_2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明课件 文 北师大版

13.2 不等式选讲,第2课时 不等式的证明,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,(1)比较法： 求差比较法： 知道abab0，ab，只要证明_ 即可，这种方法称为求差比较法.,1.不等式证明的方法,知识梳理,求商比较法：,ab0,(2)分析法： 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止.这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法.,(4)放缩法和反证法： 在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)， 或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法. 反证法是常用的证明方法.它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立.其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论.,(5)数学归纳法： 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题.证明需要经过两个步骤： 验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确. 假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确.在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确.,2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： 柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2) (当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.,(acbd)2,考点自测,解答,(121212)(abc)3.,解答,x0，y0，,解答,题型分类 深度剖析,例1 (1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x 2y3；,题型一 用综合法与分析法证明不等式,证明,因为x0，y0，xy0，,证明,只需证明(abc)23.,所以原不等式成立.,即证：a2b2c22(abbcca)3，,而abbcca1，,故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca).,即证：a2b2c2abbcca.,思维升华,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,跟踪训练1 设a、b、c均为正数，且abc1，证明：,证明,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得,a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21，,即a2b2c22ab2bc2ca1.,证明,当|ab|0时，不等式显然成立.,题型二 放缩法证明不等式,证明,当|ab|0时，,思维升华,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：,利用函数的单调性；,(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.,跟踪训练2,证明,由2nnkn(k1,2，n)，得,原不等式成立.,题型三 柯西不等式的应用,证明,(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解答,思维升华,(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,证明,由柯西不等式及题意得，,又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y),课时作业,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知xy1，求2x23y2的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,又abc0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由柯西不等式得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，,9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.,2a2bc8，,证明：(1)ab2； (2)a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,(2)假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,即ab2.,(1)求M；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,M为不等式f(x)2的解集.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以f(x)2的解集Mx|1x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.,由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；,|x3|x4|(x3)(x4)|1，,且|x3|x4|a的解集不是空集，,a1，即a的取值范围是(1，).,由柯西不等式，得,(xyz)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,即251(xyz)2.,5|xyz|，5xyz5.,xyz的取值范围是5,5.,10.已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,因为a，b(0，)，ab1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x1，x2(0，)，,(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明,方法一 由a，b(0，)，ab1，,所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,方法二 因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x1，x2