理学]线性代数B习题.ppt

习题,2.1 设行列式 ，则第四行各元素余子式 之和的值为 .,解,则 .,2.2 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, 且 ，,解 对于 将矩阵C的第 列逐列前移至第j列，,经mn次列的交换，C变成 ，而 ，所以,2.3 五阶行列式 .,解,2.4 设A是n阶矩阵，满足 (E是n阶单位矩阵，AT是 A的转置矩阵)， ，求 . 解,3.1 设矩阵 满足 ，其中A*为A的伴随 矩阵，AT为A的转置矩阵。若a11,a12,a13为三个相等的正数， 则 （ ）。,解 由,3.2 已知实矩阵 满足条件: ， 其中Aij是aij的代数余子式； 。计算行列式 。,解 由,3.3 设A、B、 、 均为n阶可逆矩阵，则,（ ）.,解 因为,3.4 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满足 ， 则( ). (A) 与 均不可逆 (B) 可逆， 不可逆 (C) 不可逆， 可逆 (D) 与 均可逆 解 由,3.5 设A和B为可逆矩阵， 为分块矩阵，则 .,解 因为,所以,3.6 设,解 因为,所以 ，选(C)。,则必有（ ）。,3.7 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到 的矩阵记为B。证明B可逆；求 。,解 将n阶单位矩阵E的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为E(i,j)，则 。因为E(i,j)和A都可逆，所以B可逆，且,3.8 设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 .,解 设Mij和Aij分别是矩阵A的(i,j)元的余子式和代数余子式，则A*的(i,j)元为 。因为 ，所以A的3阶子式 ，从而,3.9 设三阶矩阵 ，若A的伴随矩阵的秩为1， 则必有（ ）。 解 。 由 得 ，即A有2阶非零子式，从而 。 由 得 。而 。 所以选(C)。,3.10 设A是 矩阵，且 ，而 ，,解 由,则 。,3.11 设 , B为三阶非零矩阵, 且 ，,解 因为B为非零矩阵， 所以 。又 ，因此 . 否则A可逆， , 与 矛盾。,则 。,其中 。则线性方程组 的解是 .,解,根据克莱姆法则，方程组 有唯一解 。,4.1 设,4.2 设矩阵 ，矩阵X满足 ，,其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。 解 由 得 ，两边左乘A，有,4.3 设有齐次线性方程组 和 ，其中A，B均为 矩阵，现有4个命题： 若 的解均是 的解，则 ； 若 ，则 的解均是 的解； 若 与 同解，则 ； 若 ，则 与 同解。 以上命题中正确的是（ ）。 解 选 。,4.4 设A、B都是n阶非零矩阵，且 ，则A和B的秩（ ）. 必有一个等于零 都小于n 一个小于n，一个等于n 都等于n 解 因为A、B都是非零矩阵，故A、B的秩都大于零。如果A、B之一的秩为n，则该矩阵可逆，由 可得另一个是零矩阵，与题设矛盾，故选 。,所以 。综合可得 。,其中 。则矩阵A的秩 。,4.5 设 ，,解 因为 ，所以 。又因,4.6 设 ，AT为A的转置矩阵，则行列式,解 因为ATA是3阶矩阵， ，所以,中 ， ，求证 ；a为 何值时，方程组有唯一解，求x1；a为何值时，方程组有无 穷多解，求通解。 解 设 ，要证 ，用数学归纳法。因为 ， ，所以当 时结论成立。设当 时结论也都成立，那么当 时，由,4. 7 设矩阵 满足方程 ，其,可见结论成立，所以 。 当 时， ，方程组有唯一解， 当 时，方程组有无穷多解，通解为 ， 其中k为任意常数。,5.1 设 ，矩阵 ，n为正整数，则,解,5.2 设 均为三维列向量，记矩阵 ， ，如果 ， 那么 。 解,5.3 设维n列向量组 线性无关，则n维列向量组 线性无关的充分必要条件为（ ）。 向量组 可由向量组 线性表示 向量组 可由向量组 线性表示 向量组 与向量组 等价 矩阵 与矩阵 等价 解 选 。,5.4 设A,B为满足 的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 解 选 。,5.5 设 ，则三 条直线 （其中 ）交于一点的充要条件是（ ）。 线性相关 线性无关 线性相关， 线性无关 解 三直线交于一点，即方程 有唯一解， 从而 ，选 。,5.6 是三维列向量， 为 的转置， 为 的转置。证 ； 若线性相关，则 。 证 ； 若线性相关，则存在数k，使 ，不妨设 有 ，则,其中 表示列向量 的转置， 。,5.7 试证明n维列向量组 线性无关的充分必要 条件是,证,线性无关,5.8 设三阶矩阵A满足 ，其中列向量,试求矩阵A。 解 ，即,5.9 已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x,Ax,A2x 线性无关，且满足 。记 ，求 三阶矩阵B，使 ；计算行列式 。 解 ,5.10 设 ，其中E是n阶单位矩阵， 是n维非零 列向量， 是 的转置，证明： 的充要条件是 ；当 时，A是不可逆矩阵。 证 ,当 时，有 。如果A可逆，则在等式 的两边左乘 ，得 ，这与A可逆矛盾。故A不可逆。,6.1 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为 ， 则线性方程组 的通解为 。 解 因为A的各行元素之和均为零，所以 是该 方程组的解。又A的秩为 ，故方程组的基础解系只含一个 解。故此，通解为,6.2 已知 是非齐次线性方程组 的两个不同 的解， 是对应齐次线性方程组 的基础解系，k1,k2 为任意常数，则方程组的通解（一般解）必是（ ）. 解 选 。,6.3 齐次线性方程组 的系数矩阵记为A。 若存在三阶矩阵 使得 ，则（ ）。 解 因为存在 使 ，知齐次线性方程组 有非零解，从而 。现,又因 ，所以 的基础解系只含两个解，B的 三列作为 的解必线性相关，因此 ，选 。,6.4 已知 ，P为三阶非零矩阵，且满足 ，则（ ）。 时P的秩必为1 时P的秩必为2 时P的秩必为1 时P的秩必为2 解 。若 ，则 ， ； 若 ，则 ， ，选 。,6.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵 ，若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系（ ）. 不存在 仅含一个非零解向量 含有两个线性无关的解向量 含有三个线性无关的解向量 解 因 有互不相等的解，知 ；又 ，推知 ，从而 。故此， 仅含一个非零解向量，选 。,6.6 设 ，已知线性方程组Ax=b 有两个不同的解，求 ；求方程组Ax=b的通解。 解 因Ax=b有两个不同的解，知 。现,有二阶非零子式 由于,要使 ，则 。 当 时，,方程组Ax=b的通解为 ，k为任意常数。,某线性齐次方程组（）的通解为 。 求线性方程组（）的基础解系；问线性方程组（）和 （）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。 若没有，则说明理由。 解