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高层办公楼电梯问题摘要随着社会的发展，人们对电梯的需求量也在不断增加，电梯问题也随之而来。本文着重探讨如何合理地调控使用现有电梯，提高电梯的服务效率。 针对该写字楼在上高峰时期出现的人员拥挤，电梯调度供不应求的现象，分别在不同的约束条件下建立了优化的电梯调运模型。 问题一中，由于电梯数目固定，为使电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间，故只能通过优化电梯的调度方案，减少每部电梯运行过程中的停靠次数来缩短电梯平均往返运行时间，以达到提高电梯运行效率的目的。通过计算机仿真电梯运行情况，我们得到分区越多，电梯平均往返时间越短，电梯运行越高效。因此对楼层进行分区，每部电梯分别服务特定楼层，我们将整个楼层分为六个服务区，每区分配一部电梯。通过对各区域电梯平均往返时间的计算，得出每一区域运送完所有人员所需时间，将各个区域作为动态规划的各个阶段，每个区域的最高楼层作为各阶段的状态变量，以时间作为权值，建立动态规划中最短路问题的模型，运用Floyd算法，得出运送完所有人员所需时间最短条件下的最优路径，即得到楼层最优分配方案。问题二中，由于电梯分段服务可以缩短电梯运行周期，增加单位时间运送的人数。所以我们以此为依据，考虑电梯单次运行时间的限制，及运送人数的限制，并结合电梯的成本进行数学规划。从而得到所要安装的电梯的数量、档次及每部电梯的服务区段。关键词：动态规划 matlab仿真 非线性规划 Floyd算法一、 问题重述每天早上，上班的一段时间内，在一栋写字楼上班的人们随机地走进大楼，乘电梯到达各层。结果有几台电梯在高峰期每一层都停下来上下一两位乘客，这样的浪费造成了高峰期严重的电梯拥挤，常常碰到再5分钟就迟到了但等了好长时间电梯还没来的情况，侯梯的人焦急万分。所以公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。根据以下已知条件，建立模型解决后边问题。(1) 数据 楼层人数楼层人数楼层人数楼层人数12345678 208 177 222 130 181 191 236910111213141516236139272272272270300264171819202l222324200200200200207207207207252627282930205205140136132132表l 各楼层办公人数（个）一览表(2)第一层的高度为762m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为39l m；(3)电梯的最大运行速度是304.8mmin，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22ms2； (4)电梯的容量为19人每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10； (5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；第一问：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。第二问：如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8 mmin，304.8 mmin，365.8mmin）。二、 问题分析 2.1 问题一的分析我们考察该现象出现的原因有以下两个方面：一，电梯数目不足；二，电梯调度不科学，没有被科学有效的利用。由于电梯数目固定，故需对电梯的运行规则进行调控。电梯运行效率低下主要是由于电梯运行过程中停靠次数过多造成的，因此需分析电梯停靠次数与其运行周期的关系，为此，我们用计算机模拟电梯运行情况。为了减少电梯因停靠次数过多，反复加速减速过程而造成电梯运行周期过长浪费的时间，我们采取对电梯和楼层分区控制的方法，将整栋大楼分为若干个电梯服务区，并设第i个区域服务的楼层数为，分配的电梯数为，根据已知的数据，得出电梯往返一次所需的时间，然后通过建立动态规划模型得出运送完所有楼层人员所需时间最短的一种分区方法，这样就能保证在8：20-9：00时间段内电梯能尽可能地把各层楼的人快速送到，即得到了优化的电梯调运模型。2.2 问题二的分析从问题一的分析中可知将楼层分成连续的几段，一部电梯只服务一段楼层就可以缩短电梯的运行周期，增加单位时间内的人员运送量。现在要重新安装改造电梯，用较少的电梯比较多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少。即首先考虑电梯的数量，数量越少成本越低，其次考虑电梯的档次。考虑到在这座楼中上班人员是在短时间内密集的到来，可认为电梯每次都是满载运行。综合考虑电梯运行中所使用的时间，及底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟可以得到一个约束条件。另外电梯在40min中内还要把服务段内的人全部送到进而可以得到电梯的服务楼层数。再考虑不同电梯的成本就可以得到这个服务段的电梯使用的档次情况。用以上方法依次计算就可以得到电梯的使用数量及每部电梯的档次。三、 模型假设（1）所有电梯满载，运行过程不发生故障。（2）电梯的加速度固定，不考虑运行过程中加速度的变动。 （3）只有上行人员，认为所有人员只上不下。 （4）所有人员均乘电梯上楼，不走楼梯。四、 符号约定： 底层高度： 除底层外其它楼层高度： 加速度： 最高速度：电梯从底层到第二层停止所需时间：电梯从第i层开始运行到第i+1层停止所需时间（i=1）: 电梯加到最高速度所需时间： 电梯加到最高速度所需高度： 服务区总数目： 服务区序数： 第i个服务区楼层数： 服务区i分配的电梯数： 服务区i中电梯运行周期： 服务区i分配楼层的最高层： 服务区i总人数： 服务区i所有人员运送完毕所需总时间五、 模型建立与求解5.1问题一的建模与求解：为了减少电梯因停靠次数过多，反复加速减速过程而造成电梯运行周期过长浪费的时间，我们采取对电梯和楼层分区控制的方法，将整栋大楼分为I个电梯服务区，并设第i个区域服务的楼层数为，分配的电梯数为，根据已知的数据，得出电梯往返一次所需的时间，是关于的函数，然后通过建立动态规划模型得出运送完所有楼层人员所需时间最短的一种分区方法，这样就能保证在8：20-9：00时间段内电梯能尽可能地把各层楼的人快速送到，即得到了优化的电梯调运模型。5.1.1仿真电梯运行状态为了更真实的了解电梯的运行状态，我们在一定的约束条件下在计算机中仿真电梯的的运行状态。 仿真条件： 电梯在所服务区域楼层每层均有停靠 忽略电梯开关、乘客上下及其它浪费时间为降低仿真的复杂度，我们以电梯上行最高层为20层时停靠6次与停靠5次电梯的运行情况进行仿真，通过分析停靠次数相同时停靠点的分布集中程度对电梯总上行时间的影响，研究楼层分区多少对总运行时间的影响。仿真过程通过matlab编程实现（程序见附录），仿真图如下：得到在不同停靠次数、不同停靠层集中度情况下电梯上行花费的时间（s），数据如下表1：停靠6次停靠5次停靠层分散37.7935.16停靠层较集中34.9332.04停靠层完全集中33.5630.75从图表可知，在以上的假设条件下，停靠层集中时所花费的时间要比分散时少，因此，为减少时间，应该尽可能的使电梯服务区楼层集中，也即使楼层分区最多，在本题中，我们将整个楼层分为六个服务区，每个服务区一部电梯。5.1.2电梯往返一次所需时间由于本题考虑的是电梯上高峰时期的动态规划，因此可以认为电梯每次都能达到满载，并且假设电梯在其所服务的每一个楼层均有停靠。对于第i个区域的电梯，其运行过程可分为三部分，第一阶段：从一层上升到服务区域最底层的时间为，第二阶段：从服务区域的最底层到最高层所用时间为，第三阶段：从所服务楼层的最高层下降到第一层所用时间为，另外还有电梯开关时间、乘客上下时间以及其他损失时间。则电梯往返一次的运行总时间为。通过以上5.1.1的分析，我们得出了这样的结论：在对楼层进行分区时，所分区域越多，运送一定人数所需时间越少，调控效果越理想。因此，我们这里只需对整个楼层分为六个服务区（即I=6），每个服务区分配一部电梯的情况进行考虑，分析在这种情况下怎样分配每个服务区的服务层数才能达到我们的规划目的。当i=1时，即对第一个区域，记该区域所分配楼层的最高层为，分配的电梯数为1,则：第一阶段运行高度为：运行时间为：第二阶段的运行高度为：)运行时间为：第三阶段的运行高度为：运行时间为：电梯开关、乘客上下及其它浪费时间为：则电梯往返一次所需时间为：当2i6时，即对第二至六个服务区，区域所分配楼层的最高层为，各区域分配一部电梯，则：第一阶段运行高度为：运行时间为：第二阶段运行高度为：运行时间为：第三阶段运行高度为：运行时间为：电梯开关、乘客上下及其它浪费时间为：则电梯往返一次所需时间为：5.1.2所有人运送完毕所需总时间由于上梯人员多，电梯量相对不足，为使在规定时段内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，我们只需满足当把所有人员运送完毕时，所需时间最短。根据以上公式及数据可以得到各服务区人员全部运送完毕所需时间TM。对服务区i，所有人员运送完毕所需时间为：其中表示服务区所服务楼层人员总和，由、及原始数据得出。5.1.3动态规划模型的建立得到电梯的往返时间后，我们就可以来确定电梯的调运方案。确定了楼层分为6个区域后，只需从下往上再确定每个服务区的分区点，在确定分区点时，一旦当前一个服务区确定以后，其后续服务区的服务范围只受当前服务区范围决定，而不受当前服务区之前服务区的影响。这个特点满足动态规划方法的最优化原理：“一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状态和初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略。”因而我们考虑利用动态规划方法求解分区点的最优位置。从楼梯口开始，从下到上把各个服务区的服务区域作为动态规划的各个阶段，以各个区域的服务区域的最高楼层作为各阶段的状态，本题中，当把30层楼分为6个区域时，各个阶段所处的状态集合分别为：=2，3，25；=3，4，26；=4，5，27；=5，6，28；=6,7,，29；=30；从前一个阶段的某个状态出发选择当前阶段某个状态，作为当前区域的最高楼层的过程作为一个决策或者一个状态转移。为使运送完毕所有人员所需时间最短，我们可以考虑对各服务区运送完毕所有人员所需时间求和，取和最小时的分区方案为最优调控方案。这样就可近似为动态规划中的求最短路及其距离的问题，如下图所示：12334455667252627282930对以上最短路问题，运用弗洛伊德（floyd）算法求解,编写出matlab程序（见附录），结果如下表：服务区i123456服务楼层2-89-1415-1920-2324-2728-305.2 规划模型的建立与求解：从问题一中可知将楼层分成连续的几段，一部电梯只服务一段楼层就可以缩短电梯的运行周期，增加单位时间内的人员运送量。而现在要重新安装改造电梯，用电梯分别有快速，中速，慢速三种，用较少的电梯比较多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少。即首先考虑电梯的数量，数量越少成本越低，其次考虑电梯的档次。考虑到在这座楼中上班人员是在短时间内密集的到来，可认为电梯每次都是满载运行。由于电梯是分段服务，现在某最高速度为的电梯服务一段楼层，为这段楼层中的最低层的高度。上班人员上电梯的时间为：这部电梯加速到最高速度所经过的高度为：则电梯从底层启动到首次停靠所用的时间为：电梯服务的楼层数为，每层楼的高度为。则余下的次停靠每次所使用的时间为：电梯门开关，及上班人员下电梯所用的时间为：电梯下行所用的时间为：因为底楼最大允许等侯时间不超过1分钟，所以：电梯运行的周期为：这段楼层的人数总和为P，在40min内，这部电梯要把这P个人送到目的地，所要满足的条件为：因为三个档次的电梯的最高速度分别为 。而每部电梯的服务楼层数的增加就可以减少电梯的安装数量。所以使用（1）（9）式，取不同的值进行规划，每次循环取最大的情况下的最小值，即得到这部电梯的档次，和所服务的楼层数。以此计算就可以得到每部电梯的服务段，及电梯的档次和电梯的总数量。经过计算可得下表2：服务段楼层电梯档次124慢速257慢速3810慢速41112慢速51314慢速61516慢速71719中速82022高速92325高速102628中速112930中速从结果中可以看出第11服务段的电梯只服务两层，300多人，为了是电梯更有效的运行，我们对结果进行了优化得到了新的结果如下表3：服务段楼层电梯档次124慢速257慢速3810慢速41112慢速51314慢速61516慢速71719中速82022高速92325中速102527中速112830中速结合以上的分析，在等待时间不超过一分钟，40分钟内将所有的人运送到他们所要到达的楼层的条件下，我们得到了合理的电梯安装方案如表1。该方案使用尽可能少的电梯，。但是我们发现该方案还可以优化，即在电梯数目不变的条件下降低某些电梯的档次来节约成本。最终方案如表2六、 模型评价及改进优点：在问题一中，运用计算机对电梯运行情况进行matlab仿真，得出分区控制可以缩短电梯运行周期，逻辑严谨。建立的动态规划最短路模型，逐阶段全面分析，能够得出最有效的电梯调运方案。在问题二中，结合各方面约束条件逐次进行非线性规划，得到了合理的电梯安装方案，并对此方案进行进一步优化，节约了成本。改进：由于条件限制，在进行电梯运行情况仿真时，我们仅对电梯停靠次数为5次和6次的情况作了具体分析，可能不够完善。在动态规划模型求解过程中，但是由于各服务区状态集元素较多，用此方法计算量偏大，有待进一步探索找出一种更为简便的方法。问题二逐次规划运算量较大，若能运用计算机程序统一求解则更为完善。七、 参考文献【1】 甘应爱等.运筹学.第三版.北京：清华大学出版社，2005.【2】 张圣勤.MATLAB7.0实用教程.北京：机械工业出版社，2008.【3】 孙凤欣等. 乘客等待条件下的电梯优化调度模型.宁波工程学院学报.第18卷第二期.2006，6.【4】 施益昌等.基于MATLAB动态规划中最短路线的实现程序.电脑学习.第六期.2003，12.【5】 党玉华等.最短路问题的计算机求解.哈尔滨师范大学自然科学学报.第12卷第一期.1996，11.【6】 马潇等.电梯规划的动态模型.计算机工程与运用.2004八、 附录附录一：*20*6*1*t1=0:0.01:4.16;v1=1.22*t1;t2=4.16:0.01:4.59;v2=5.08;t3=4.59:0.01:8.75;v3=5.08-1.22*(t3-4.59);t4=8.75:0.01:10.54;v4=1.22.*(t4-8.75);v4=1.22.*(t4-8.75);t5=10.54:0.01:12.33;v5=1.22.*1.79-(t5-10.54).*1.22;t6=12.33:0.01:14.86;v6=(t6-12.33).*1.22;t7=14.86:0.01:17.39;v7=max(v6)-(t7-14.86).*1.22;t8=17.39:0.01:21.39;v8=(t8-17.39).*1.22;t9=21.39:0.01:25.39;v9=max(v8)-(t9-21.39).*1.22;t10=25.39:0.01:28.49;v10=(t10-25.39).*1.22;t11=28.49:0.01:31.59;v11=max(v10)-(t11-28.49).*1.22;t12=31.59:0.01:34.69;v12=(t12-31.59).*1.22;t13=34.69:0.01:37.79;v13=max(v12)-(t13-34.69).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r,t12,v12,r,t13,v13,r)*20*5*1*t1=0:0.01:3.56;v1=t1.*1.22;t2=3.56:0.01:7.12;v2=max(v1)-(t2-3.56).*1.22;t3=7.12:0.01:11.28;v3=(t3-7.12).*1.22;t4=11.28:0.01:11.74;v4=5.08;t5=11.74:0.01:15.90;v5=5.08-(t5-11.74).*1.22;t6=15.90:0.01:19.00;v6=(t6-15.90).*1.22;t7=19.00:0.01:22.10;v7=max(v6)-(t7-19.00).*1.22;t8=22.10:0.01:26.10;v8=(t8-22.10).*1.22;t9=26.10:0.01:30.10;v9=max(v8)-(t9-26.10).*1.22;t10=30.10:0.01:32.63;v10=(t10-30.10).*1.22;t11=32.63:0.01:35.16;v11=max(v10)-(t11-32.63).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r)*20*6*2*t1=0:0.01:4.16;v1=1.22*t1;t2=4.16:0.01:4.59;v2=5.08;t3=4.59:0.01:8.75;v3=5.08-1.22*(t3-4.59);t4=8.75:0.01:10.54;v4=1.22.*(t4-8.75);t5=10.54:0.01:12.33;v5=1.22.*1.79-(t5-10.54).*1.22;t6=12.33:0.01:14.12;v6=(t6-12.33).*1.22;t7=14.12:0.01:15.91;v7=max(v6)-(t7-14.12).*1.22;t8=15.91:0.01:17.70;v8=(t8-15.91).*1.22;t9=17.70:0.01:19.49;v9=max(v8)-(t9-17.70).*1.22;t10=19.49:0.01:21.28;v10=(t10-19.49).*1.22;t11=21.28:0.01:23.07;v11=max(v10)-(t11-21.28).*1.22;t12=23.04:0.01:27.23;v12=(t12-23.04).*1.22;t13=27.23:0.01:30.77;v13=5.08;t14=30.77:0.01:34.93;v14=5.08-(t14-30.77).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r,t12,v12,r,t13,v13,r,t14,v14,r)*20.6.3*t1=0:0.01:4.16;v1=t1.*1.22;t2=4.16:0.01:11.50;v2=5.08;t3=11.50:0.01:15.66;v3=5.08-(t3-11.50).*1.22;t4=15.66:0.01:17.45;v4=(t4-15.66).*1.22;t5=17.45:0.01:19.24;v5=max(v4)-(t5-17.45).*1.22;t6=19.24:0.01:21.03;v6=(t6-19.24).*1.22;t7=21.03:0.01:22.82;v7=max(v6)-(t7-21.03).*1.22;t8=22.82:0.01:24.61;v8=(t8-22.82).*1.22;t9=24.61:0.01:26.4;v9=max(v8)-(t9-24.61).*1.22;t10=26.4:0.01:28.19;v10=(t10-26.4).*1.22;t11=28.19:0.01:29.98;v11=max(v10)-(t11-28.19).*1.22;t12=29.98:0.01:31.77;v12=(t12-29.98).*1.22;t13=31.77:0.01:33.56;v13=max(v12)-(t13-31.77).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r,t12,v12,r,t13,v13,r)*20.5.2*t1=0:0.01:4.16;v1=t1.*1.22;t2=4.16:0.01:9.98;v2=5.08;t3=9.98:0.01:14.14;v3=5.08-(t3-9.98).*1.22;t4=14.14:0.01:15.93;v4=(t4-14.14).*1.22;t5=15.93:0.01:17.72;v5=max(v4)-(t5-15.93).*1.22;t6=17.72:0.01:19.51;v6=(t6-17.72).*1.22;t7=19.51:0.01:21.30;v7=max(v6)-(t7-19.51).*1.22;t8=21.30:0.01:23.09;v8=(t8-21.30).*1.22;t9=23.09:0.01:24.88;v9=max(v8)-(t9-23.09).*1.22;t10=24.88:0.01:28.46;v10=(t10-24.88).*1.22;t11=28.46:0.01:32.04;v11=max(v10)-(t11-28.46).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r)*20.5.3*t1=0:0.01:4.16;v1=t1.*1.22;t2=4.16:0.01:12.27;v2=5.08;t3=12.27:0.01:16.43;v3=5.08-(t3-12.27).*1.22;t4=16.43:0.01:18.22;v4=(t4-16.43).*1.22;t5=18.22:0.01:20.01;v5=max(v4)-(t5-18.22).*1.22;t6=20.01:0.01:21.8;v6=(t6-20.01).*1.22;t7=21.8:0.01:23.59;v7=max(v7)-(t7-21.8).*1.22;t8=23.59:0.01:25.38;v8=(t8-23.59).*1.22;t9=25.38:0.01:27.17;v9=max(v8)-(t9-25.38).*1.22;t10=27.17:0.01:28.96;v10=(t10-27.17).*1.22;t11=28.96:0.01:30.75;v11=max(v10)-(t11-28.96).*1.22;plot(t1,v1,r,t2,v2,r,t3,v3,r,t4,v4,r,t5,v5,r,t6,v6,r,t7,v7,r,t8,v8,r,t9,v9,r,t10,v10,r,t11,v11,r)*附录二：function t1=fun1(s1)m=length(s1);P=0,208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200,207,207,207,207,205,205,140,136,132,132;P1=zeros(1,m);for j=1:mfor k=1:s1(j) P1(j)=P1(j)+P(k);endendfor i=1:mn=s1(i)-1;if n=5 T1=2.*sqrt(n.*3.91+7.62)./1.22)+(3.*n+19.*1.3).*1.1;else T1=4.16.*2+(n.*3.91+7.62)./5.08+(3.*n+19.*1.3).*1.1;endt1(i)=P1(i).*T1./19;end附录二：function t2=fun2(s1,s2)m=length(s2);P=0,208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200,207,207,207,207,205,205,140,136,132,132;P2=zeros(1,m);for j=1:mfor k=s1:s2(j) P2(j)=P2(j)+P(k);endendfor i=1:mn=s2(i);if s1=s1 a2=3.6.*(n-s1-1);else breakend if n=6 a3=2.*sqrt(n-1).*3.91+7.62)./1.22);else a3=4.16.*2+(n-1).*3.91+7.62-21.1)./5.08;endT2=a1+a2+a3; t2(i)=P2(i).*T2./19;end附录三：function t3=fun3(s2,s3)m=length(s3);P=0,208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200,207,207,207,207,205,205,140,136,132,132;P3=zeros(1,m);for j=1:mfor k=s2:s3(j) P3(j)=P3(j)+P(k);endendfor i=1:mn=s3(i);if s2=6 a1=2.*sqrt(s2-1).*3.91+7.62)./1.22);else a1=4.16.*2+(s2-1).*3.91+7.62-21.1)./5.08;enda2=3.6.*(n-s2-1);if n=6 a3=2.*sqrt(n-1).*3.91+7.62)./1.22);else a3=4.16.*2+(n-1).*3.91+7.62-21.1)./5.08;endT3=a1+a2+a3; t3(i)=P3(i).*T3./19;end附录四:function t3=fun3(s2,s3)m=length(s3);P=0,208,177,222,130,181,191,236,236,139,272,272,272,270,300,264,200,200,200,200,207,207,207,207,205,205,140,136,132,132;P3=zeros(1,m);for j=1:mfor k=s2:s3(j) P3(j)=P3(j)+P(k);endendfor i=1:mn=s3(i);if s2=6 a1=2.*sqrt(s2-1).*3.91+7.62)./1.22);else a1=4.16.*2+(s2-1).*3.91+7.62-21.1)./5.08;enda2=3.6.*(n-s2-1);if n=6 a3=2.*sqrt(n-1).*3.91+7.62)./1.22