[理学]动力学专题4——质点的运动微分方程.ppt

1,动力学专题,质点的运动微分方程,山西农业大学工学院,第 17章（4） 质点的运动微分方程,引 言,2. 力学模型：,1. 动力学的研究内容：研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。,(1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略不计的物体。,(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。,非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中普遍的抽象化模型；包括刚体、弹性体、流体。,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。,质点动力学是质点系动力学的基础。,4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类：,综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。,第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,4-1 动力学基本定律,动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能直接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应用于每一质点,然后导出质点系的运动规律。,质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律。,1. 动力学基本定律,第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速直线运动。,质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也称为惯性定律。,当质点受到外力作用，而这些作用又不互相抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。第二定律就表明了这一变化规律。,第二定律（力与加速度之间关系的定律）,(16-1),质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。,上式称为质点动力学基本方程。,当质点受到多个力作用时，该式中的力 应为汇交力系的合力；从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量。,第三定律（作用与反作用定律）,由于作用与反作用，引起了机械运动在相互作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种机械运动转移的反映。,两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质点上。,在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力学里，这一定律依然成立。,以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。,2. 惯性参考系,动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称为惯性参考系,简称惯性系。在一般问题中,与地球固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系,可近似看成惯性系。,要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么 还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛盾？,试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯 地板的压力大小：(a) 电梯静止不动；(b) 电梯 匀速上升；(c) 电梯匀速下降；(d) 电梯加速上 升；(e) 电梯减速下降。,思 考 题 4-1,思 考 题 4-2,以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定受力，其运动方向总是与所受力的方向一致； (b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大， 速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机车的反力必小于机车对列车的牵引力。,思 考 题 4-3,若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？,思 考 题 4-4,4-2 质点的运动微分方程,(16-2),(16-3),动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,(16-4),1. 质点运动微分方程在直角坐标投影,设质量为m的质点M，作平面曲线运动。取直角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在直角坐标轴上投影得：,式(16-4) 和(16-5)是两种常用的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。,2. 质点运动微分方程在自然轴上投影,(16-5),动力学基本方程在自然轴系上的投影为：,由运动学知,5) 求解未知量。,(1) 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力,（微分问题）解题步骤和要点：,1) 正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和待求量的质点）。,2) 正确进行受力分析,画出受力图； (应在一般位置上进行分析)。,3) 正确进行运动分析；（分析质点运动的特征量）。,4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程；（建立坐标系）。,5) 求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,(2) 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动,（积分问题）解题步骤如下：,1) 正确选择研究对象。,2) 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。,3) 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。,4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程。,桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,解： 1. 选重物(抽象为质点)为研究对象 2. 受力分析,3. 运动分析，沿以悬挂点为圆心, l为半径的圆弧摆动。,例题 4-1,4. 列出质点运动微分方程,5. 求解未知量,P=mg,例题 4-1,讨论 (1) 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 (2) 拉力FTmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,例题 4-2,煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 与水平的夹角j 0？ 不计空气阻力。,选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作斜抛运动。,解：已知力为常量，属于第二类问题。,列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算,代入最高点A处值，得： 即 将到达A点时的时间t，x=s，y=H 代入运动方程，得,抛射初速度大小与发射角j0为：,铅垂上抛的物体，至少应具有多大的初速才可不再回到地球。这一速度称为第二宇宙速度。不计空气阻力。,例题 4-3,解：取物体（视为质点)为研究对象，建立坐标，并作受力图。,M地球质量，f万有引力常数,则在任意位置时的速度,即：,可见，v随着x的增加而减小。若 则在某一位置 x=R+H 时速度将减小到零，物体回 落。若 时，无论x多大（甚至为），物体也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时（ ）的最小初速度,（第二宇宙速度）,站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬时，指针 向读数大的一边偏，还是向读数小的一边偏？为什么？,思考题 4-4,答：静止时，FN=P 突然下蹲时，aC方向向下， -maC=FN-P，