[理学]概率BCH1-习题课.ppt

习 题 课,概率论基础,一、内容小结 二、作业讲解 三、典例分析,1. 基本概念,随机试验,样本空间, 样本点,随机事件,概率,条件概率，事件的互不相容,事件的独立性.,A与B互不相容 AB= A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),2. 事件间的基本运算,注:当P(A),P(B)0两者不能同时成立,（一）内容总结,一、概率论基础,3. 概率的计算方法, 直接计算,注:放回抽样,不放回抽样, 利用公式,条件概率公式,加法公式,贝叶斯公式,全概率公式,事件的独立性,1. 重点概念,随机变量，分布函数，分布律(离散型)，概率密度 (连续型)，联合分布函数,联合分布律,联合概率密度，边缘分布律，边缘概率密度，相互独立。,2. 一维随机变量的主要公式,B. 分布函数与概率分布之间的转化,A. 分布律、概率密度函数的性质,离散型：分布律与分布函数的转化 连续型：,二、随机变量,3. 一维常见的重要分布,A . 二项分布, X服从B(n,p),B. Poisson分布, X服从(),C. 均匀分布,D. 指数分布,E. 正态分布,A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.,B. 利用分布律及概率密度函数求概率, 连续型随机变量X落在某区间I的概率为,4. 一维主要计算方法,C. 求连续型随机变量的函数的分布： 先求分布函数，再求导 即得概率密度函数. （等价不等式事件相等概率相等.）,B. 利用联合分布律或联合概率密度计算概率 连续型随机变量(X,Y)落在某区域G的概率为：,5.二维随机变量及其分布,A. 利用概率密度函数f (x,y)的性质: 非负,F(x,y)的性质:右连续,递增,取值在0,1等.,C.联合分布与边缘分布的转化,边缘分布+独立性-联合分布,1. 随机变量的数字特征的意义,分布函数 密度函数,数学期望 描述了随机变量的概率取值中心均值,详细地描述了随机变量的概率分布情况,相关系数 描述了X与Y的线性相关程度,方 差 描述了随机变量的取值与期望的偏离程度,三、随机变量的数字特征,方差 D(X),协方差 Cov(X,Y) Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),D(X)=EX-E(X)2 D(X)=E(X2)-E2(X),相关系数 XY,数学期望 E(X),函数Y=H(X),连续型,离散型,在定义式中用H(x)代替x,2. 常用的数字特征的定义式与计算式,E(X2) = D(X) +E2(X),计算期望的六个公式：,3. 常用的数字特征的性质,数学期望 E(aX+b)=aE(X)+b E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=E(X)E(Y) X,Y相互独立 方 差 D(aX+c)=a2D(X),D(X+Y)=D(X)+D(Y) X,Y相互独立,相关系数,对于随机变量X,Y，下面事实是等价的,X与Y相互独立,X与Y不相关, E(XY)=E(X)E(Y);, Cov(X,Y)=0;, X与Y不相关；, D(X+Y)=D(X)+D(Y).,4. 几个常用的分布的数字特征,分布,(0-1)分布,二项分布,泊松分布,指数分布,均匀分布,正态分布,分布律或概率密度函数,期望,方差,p,pq,np,npq,四、大数定律与中心极限定理,Xn相互独立,Xi的方差有公共上界（D(Xi)M）,则对0,有,1.车贝雪夫大数定律,2.贝努利大数定律,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A 发生的概率，则对0，有,设X1,X2,Xn为独立同分布,且有相同的数学期望E(Xi)=，则 对0，有,3.辛钦大数定律,中心极限定理：阐述大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的定理.,1.独立同分布中心极限定理,设X1,X2,Xn,独立同分布，E（Xk）=，D（Xk）= 20，则, N(0,1),进而,2.德莫佛拉普拉斯定理 设ZnB(n,p)，n=1,2,.，则,二、作业点评,T6. 10把钥匙中有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率.,解：设“能打开门”为事件A，则：,解:此相当于5重贝努利试验，用Y表示寿命大于1500小时的只数,解：X的取值：0,1,2；Y的取值：0,1,2,3. (X,Y)取值的概率略。,解 (1),解 (2),解 (3),解 (4),T39. (1) 设随机变量,相互独立, 且有, 设, 求,(2) 设随机变量X, Y相互独立, 且有,求,的分布，并求,解 (1),因,相互独立，固有,(2) 因,相互独立，且,则,均服从正态分布，且,故有,又 X+YN(1360,1525) 故,例1 设A, B为二相互独立的事件，P(AB)=0.6, P(A)=0.4, 求P(B)。,解法一：,解法二：,解法三：由已知，P(AB)=P(A)P(B), P(AB)=0.4P(B),如图B-A=(A B)-A,P(B-A)=0.6-0.4=0.2,P(B)=P(AB)+P(B-A)=0.2+0.4P(B) 所以 P(B)=1/3,三、典例分析,例2 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统()和()，每种系统单独使用时，系统()和系统()的有效概率分别为0.92和0.93，在系统()失灵的情况下，系统()仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率。,记A=“系统() 有效”,B=“系统()有效”,由已知,解:,例3 某地区一工商银行的贷款范围内,有甲、乙两家同类企业。设一年内甲申请贷款的概率为0.25，乙申请贷款的概率为0.2，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1，求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。,解: 设事件A=“甲申请贷款”,事件B=“乙申请贷款”,例4. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，甲乙的命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，求甲击中目标的概率.,分析：这首先是一个条件概率问题. 设 A，B分别代表甲乙击中目标的事件, 所求为,由已知 P(A)=0.6 P(B)=0.5,同理,独立性,设随机变量(X,Y)的概率密度为,求,解：(1)各数学期望均可按照,因f(x,y)仅在有限区域,故各数学期望均化为G上相应积分的计算。,例5,内不为零，,计算。,例6 设随机变量(X,Y)的分布律为,验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.,证： 先求出边缘分布律如下：,易见,故X和Y