高中数学 第二章 数列 2_2_3 等差数列的前n项和（二）课件 苏教版必修5

第2章 2.2 等差数列,2.2.3 等差数列的前n项和(二),1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 数列中an与Sn的关系,思考1,答案,已知数列an的前n项和Snn2，怎样求a1，an?,a1S11； 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1， 又n1时也适合上式，所以an2n1，nN*.,S1,SnSn1,在数列an中，已知Snan2bnc(a，b，c为常数)，这个数列一定是等差数列吗？,思考2,答案,当n1时，a1S1abc； 当n2时，anSnSn1(an2bnc)a(n1)2b(n1)c2anab.,只有当c0时，a1abc才满足an2anab，数列an才是等差数列. c0时，整个数列an不是等差数列，但从第二项起，以后各项依次构成等差数列.,知识点二 等差数列前n项和的最值,思考,由二次函数的性质可以得出：当a10，d0时，Sn先减后增，有最小值；当a10，d0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.,答案,梳理 等差数列前n项和的最值与Sn的单调性有关. (1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值. (3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值；若a10，d0，则Sn是递减数列，S1是Sn的最大值.,题型探究,类型一 已知数列an的前n项和Sn求an,解答,根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n1，nN*)，,解答,已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.不符合则分段.,反思与感悟,跟踪训练1 已知数列an的前n项和Sn3n，求an.,解答,当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn13n3n123n1. 当n1时，代入an23n1，得a123.,类型二 等差数列前n项和的最值,解答,故前n项和是从第9项开始减小，而S7S8， 所以前7项或前8项和最大.,反思与感悟,在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.,跟踪训练2 在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.,解答,方法一 an2n14，a112，d2. a1a2a6a70a8a9. 当n6或n7时，Sn取到最小值. 易求S6S742， (Sn)min42. 方法二 an2n14，a112.,当n6或n7时，Sn最小，且(Sn)min42.,类型三 求等差数列前n项的绝对值之和,例3 若等差数列an的首项a113，d4，记Tn|a1|a2|an|，求Tn.,解答,a113，d4，an174n. 当n4时，Tn|a1|a2|an| a1a2an,15n2n2； 当n5时，Tn|a1|a2|an| (a1a2a3a4)(a5a6an) S4(SnS4)2S4Sn,562n215n.,反思与感悟,求等差数列an前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.,跟踪训练3 已知数列an中，Snn210n，数列bn的每一项都有bn|an|，求数列bn的前n项和Tn的表达式.,解答,由Snn210n，得anSnSn1112n(n2，nN*). 验证a19也符合上式.an112n，nN*. 当n5时，an0，此时TnSnn210n； 当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.,当堂训练,1.已知数列an的前n项和Snn2n，则an_.,答案,解析,1,2,3,4,2n,当n1时，a1S12， 当n2时，anSnSn12n， 又因为a12符合an2n， 所以an2n.,2.已知数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是_.,等差数列的前n项和Sn的形式为Snan2bn， 1.,1,2,3,4,答案,解析,1,3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S8，当n_时，Sn取到最大值.,1,2,3,4,答案,解析,S3S8， S8S3a4a5a6a7a85a60， a60.a10， a1a2a3a4a5a60， a70. 故当n5或6时，Sn最大.,5或6,解答,当n1时，a1S1325. 当n2时，Sn132n1， 又Sn32n， anSnSn12n2n12n1. 又当n1时，a152111，,1,2,3,4,4.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.,规律与方法,1.因为anSnSn1只有n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和最