高中数学 第二章 数列 2_2_2 等差数列的通项公式课件 苏教版必修5

第2章 2.2 等差数列,2.2.2 等差数列的通项公式,1.掌握等差数列通项公式的推导及应用. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 3.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 等差数列的通项公式,思考,答案,等差数列an中，首项为a1，公差为d，如何用a1，d表示an?,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) a1dddda1(n1)d. (n1)个,梳理 一般地，ana1(n1)d称为等差数列an的通项公式.,已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项公式ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?,知识点二 等差数列通项公式的几何意义,思考,答案,设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d， 变形得a1am(m1)d， 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)d am(nm)d.,还记得高斯怎么计算123100的吗？,知识点三 等差数列的性质,思考,答案,利用1100299.,梳理 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2. 注意到上式中的序号1n2(n1)， 有：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman .特别地，若mn2p，则anam .,apaq,2ap,题型探究,类型一 求等差数列的通项公式,例1 甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：,解答,(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？,由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型.因为a19.8，d9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.,(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？,当t1 min60 s时，s9.8t9.860588(cm).,解答,由于anam(nm)d，要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差.,反思与感悟,跟踪训练1 已知等差数列an：3,7,11,15，. (1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由；,解答,a13，d4，ana1(n1)d4n1. 令an4n1135，n34， 135是数列an中的第34项. 令an4n14m19，则nm5(m，nN*). 4m19是数列an中的第m5项.,(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由.,解答,ap，aq是数列an中的项， ap4p1，aq4q1. 2ap3aq2(4p1)3(4q1) 8p12q54(2p3q1)1， 其中2p3q1N*， 2ap3aq是数列an中的第2p3q1项.,类型二 等差数列通项公式及推广形式的应用,命题角度1 列方程(组)求基本量 例2 在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式.,解答,所以ana1(n1)d3(n1)22n1. 方法二 因为a8a2(82)d， 所以1756d，解得d2. 又因为ana2(n2)d， 所以an5(n2)22n1.,反思与感悟,把已知条件转化为关于a1，d的方程组求解，是一种常用思想，称为方程思想.灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量.,解答,跟踪训练2 等差数列an为递减数列，且a2a416，a1a528，求数列an的通项公式.,又a1a5，故a114，a52，d3， 故an143(n1)173n.,解答,取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)， 求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p. 它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列. 由于anpnqqp(n1)p， 所以首项a1pq，公差dp.,命题角度2 等差数列的通项公式与一次函数关系 例3 已知数列an的通项公式为anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？,反思与感悟,从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列.其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列，但不宜用来证明.证明要用定义：an1and，nN*.,跟踪训练3 若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有_个. |an|；an1an； panq(p，q为常数)；2ann.,3,设anknb， 则an1ank，故为常数列，也是等差数列. panqp(knb)qpkn(pbq)， 故为等差数列. 2ann2(knb)n(2k1)n2b， 故为等差数列. 不一定是等差数列，如an2n4，则|an|的前4项为2,0,2,4，显然|an|不是等差数列.,答案,解析,类型三 等差数列性质的应用,例4 已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式.,解答,方法一 因为a1a72a4， 所以a1a4a73a415， 即a45. 又因为a2a4a645，所以a2a69， 即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9， 解得d2. 若d2，ana4(n4)d2n3； 若d2，ana4(n4)d132n.,方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1a4a715，得 a1a13da16d15， 即a13d5， 由a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得 (a1d)5(52d)45， 即(a1d)(52d)9， ,解，组成的方程组，得 a11，d2或a111，d2， 所以an12(n1)2n3 或an112(n1)2n13.,引申探究 1.在本例中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?,解答,设公差为d，则ama1(m1)d， ana1(n1)d， apa1(p1)d， aqa1(q1)d， ara1(r1)d， asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras.,2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.,答案,解析,20,a3a810， a3a3a8a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即3a5a72(a3a8)20.,反思与感悟,解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,解答,跟踪训练4 在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.,方法一 (a2a5a8)(a1a4a7)3d， (a3a6a9)(a2a5a8)3d， a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927. 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39， a13d13. ,a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33， a14d11. ,a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27.,当堂训练,1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d_.,答案,解析,1,2,3,4,6,由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，,2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15_.,由a8a4(84)d4d，得d3， 所以a15a8(158)d147335.,1,2,3,4,答案,解析,35,3.等差数列an中，a4a515，a712，则a2_.,1,2,3,4,答案,解析,由数列的性质，得a4a5a2a7， 所以a215123.,3,1,2,3,4,4.下列命题中正确的是_. 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列.,答案,解析,a，b，c为等差数列，2bac， 2(b