高中数学第一章三角函数4_1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义4_2单位圆与周期性课件北师大版必修4

4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性,学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用. 2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系. 3.理解周期函数的定义.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数,使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考1,角的正弦、余弦分别等于什么？,答案,思考2,对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案,答案 不会.,思考3,若取|OP|1时，sin ，cos 的值怎样表示？,答案,答案 sin y，cos x.,(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角的正弦函数，记作 ；点P的 定义为角的余弦函数，记作 . (2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.,梳理,纵坐标v,vsin ,横坐标u,ucos ,思考,知识点二 正弦、余弦函数的定义域,对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？,答案,答案 由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义.,梳理,正弦函数、余弦函数的定义域,思考,知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号,根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？,答案,答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin v，cos u. 当为第一象限角时，v0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.,梳理,正弦、余弦函数在各象限的符号,思考,知识点四 周期函数,由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？,答案,答案 2，4，6，2，等都是函数的周期.,梳理,一般地，对于函数f(x)，如果存在 ，对定义域内的_ x值，都有 ，我们就把f(x)称为周期函数， 称为这个函数的周期. 特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.,非零实数T,任意一个,f(xT)f(x),T,最小,最小正周期,题型探究,命题角度1 已知角终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知终边上一点P(x， 3)(x0)，且cos x，求sin 的值.,解答,类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用,x0，x1. 当x1时，P(1， 3)，,当x1时，P(1， 3)，,(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. 在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.,反思与感悟,跟踪训练1 已知角的终边过点P(3a， 4a)(a0)，求2sin cos 的值.,解答,若a0，则r5a，角在第二象限，,若a0，则r5a，角在第四象限，,命题角度2 已知角终边所在直线求三角函数值 例2 已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值.,解答,解 由题意知，cos 0. 设角的终边上任一点为P(k，3k)(k0)，则,在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin ，cos .,反思与感悟,跟踪训练2 已知角的终边在直线y x上，求sin ，cos 的值.,解答,若a0，则为第一象限角，r2a，,若a0，则为第三象限角，r2a，,例3 (1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,类型二 正弦、余弦函数值符号的判断,答案,解析,解析 为第二象限角，sin 0，cos 0， 点P在第四象限，故选D.,(2)判断下列各式的符号. sin 145cos(210)；,解答,解 145是第二象限角，sin 1450， 210360150， 210是第二象限角， cos (210)0，sin 145cos(210)0.,sin 3cos 4.,解答,sin 30，cos 40， sin 3cos 40.,准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.,反思与感悟,跟踪训练3 若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B0，则此三角形必为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能,解析 由题意知，A，B(0，)， sin A0，cos B0，B为钝角. 故选B.,答案,解析,例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；,类型三 周期性,证明,证明 f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x)， 由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.,(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2) ，求证：函数f(x)以 4为周期的周期函数.,证明,由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.,(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(xT)f(x). (2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa) ，那么f(x)的周期也为2a(a0).,反思与感悟,跟踪训练4 若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0)，f(2a)1，求f(14a)的值.,解 由f(x)f(xa)f(xa)， 得f(xa)f(x)f(x2a). ，得f(xa)f(x2a)0， 即f(xa)f(x2a)， f(x)f(x3a)， 即f(x3a)f(x)， f(x6a)f(x3a)f(x). T6a为函数yf(x)的一个周期， f(14a)f(6a22a)f(2a)1.,解答,当堂训练,1.已知角的终边经过点(4， 3)，则cos 等于,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 由题意可知x4，y3，r5，,2.当为第二象限角时， 的值是 A.1 B.0 C.2 D.2,答案,2,3,4,5,1,解析 为第二象限角，sin 0，cos 0.,解析,3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时，f(x)2x1，则f( )的值为 A.2 B.0 C.1 D.3,答案,解析 f(x)是以1为一个周期的函数， kZ也是f(x)的周期.,解析,又当x(1， 0)时，f(x)2x1，,2,3,4,5,1,4.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.,答案,解析,解析 2 0165360216， 2 016是第三象限角， 则sin 2 0160，cos 2 0160.,2,3,4,5,1,三,5.已知角的终边在直线y2x上，求sin cos 的值.,解答,2,3,4,5,1,解 在直线y2x上任取一点P(x， 2x)(x0)，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,规律与方法,1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点. 2.三角