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湖南师大附中20182019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)时量:120分钟满分:150分得分:_一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1复数A12i B12i C2i D2i2已知全集UR,函数yln(1x)的定义域为M,集合Nx|x2x0,a2,命题q:x0R,sin x0cos x0,则下列判断正确的是Ap是假命题 Bq是真命题Cp(綈q)是真命题 D(綈p)q是真命题4已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则an的前10项和为A10 B8 C6 D85已知函数f(x)ex(aR),若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在x0处的切线方程为Ay2x Byx Cy2x Dyx6已知四边形ABCD是平行四边形,点E为边CD的中点,则A. BC. D.7某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y117x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y22x3x2(x0),为使利润最大,应生产A9千台 B8千台 C6千台 D3千台8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且,N为B1B的中点,则|为A.a B.a C.a D.a9已知直线l1:x1,l2:xy10,点P为抛物线y24x上的任意一点,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为A2 B. C1 D.10已知f(x)g(x)f(x)xm,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是A1,) B1,0) C0,) D1,)11在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且OMPF1,2|PF1|PF2|,则双曲线的离心率为A. B2 C. D.12已知函数f(x)xln x,g(x)x3x25.若对任意的x1,x2,都有f(x1)g(x2)0成立,则实数a的取值范围是A. B(,1C. D.答题卡题号123456789101112得分答案二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13已知x1,观察下列不等式:x2;x23;x34;按此规律,第n个不等式为_14若x,y满足约束条件则zxy的最小值为_15.dxsin xdx_16若函数f(x)ax2xln x有两个极值点,则实数a的取值范围是_三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:60分17(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,其面积为S,且b2c2a2S.()求A;()若a5,cos B,求c.18.(本小题满分12分)已知数列an,Sn是其前n项和,且满足3an2Snn(nN*)()求证:数列是等比数列;()记TnS1S2Sn,求Tn的表达式19.(本小题满分12分)如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为长方形,三角形SBC是边长为2的正三角形,将三角形SBC沿BC折起,使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上()证明:平面SAB平面SAD;()若AB1,求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值20.(本小题满分12分)已知圆M: x2y22y100和点N, Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.()求曲线E的方程;()点A是曲线E与x轴正半轴的交点,直线xtym交E于B、C两点,直线AB, AC的斜率分别是k1, k2,若k1k29,求:m的值;ABC面积的最大值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)x2axln x(aR)()讨论函数f(x)在定义域上的单调性;()令函数g(x)ex1x2af(x),e2.718 28是自然对数的底数,若函数g(x)有且只有一个零点m,判断m与e的大小,并说明理由(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修44:坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数)以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系()求圆C的普通方程及其极坐标方程;()设直线l的极坐标方程为sin2,射线OM:与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长23选修45:不等式选讲已知函数f(x)|x1|x1|.()解不等式f(x)2;()设函数f(x)的最小值为m,若a,b均为正数,且m,求ab的最小值湖南师大附中20182019学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案(这是边文,请据需要手工删加)湖南师大附中20182019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1D2A【解析】函数yln(1x)的定义域为Mx|x1,Nx|x2x0x|0x1,结合选项MNN正确,选A.3C【解析】由均值不等式知p为真命题;因为sin x0cos x0sin,所以q为假命题,则綈q为真命题,所以p(綈q)为真命题故选C.4A【解析】由题意可得aa1a4,即(a14)2a1(a16),解之可得a18,故S10810210.故选A.5C【解析】由题意,因为函数f(x)ex(aR)为奇函数,则f(0)e00,解得a1,即f(x)ex,则f(x)ex,所以f(0)e02,即k2,且当x0时,f(0)e00,即切点的坐标为(0,0),所以切线的方程为y2x,故选C.6B【解析】如图,过E作EFBC,由向量加法的平行四边形法则可知,故选B.7C【解析】f(x)y1y22x318x2,f(x)6x236x0,x6,故选C.8A【解析】如图,设a,b,c,则|.又ab0,ac0,bc0,|2,可得|a.或者建立空间直角坐标系来求解9B【解析】抛物线y24x,其焦点坐标F(1,0),准线为x1也就是直线l1,故P到直线l1的距离就是P到F的距离如图所示,设P到直线l2的距离为d,则d|PF|,当且仅当P,E,F三点共线时等号成立,故选B.10A【解析】g(x)f(x)mx有两个零点,等价于f(x)mx0有两个根,即yf(x)与yxm有两个交点,画出yf(x)与yxm的图象,如图,由图可知,当yxm在y轴的截距不大于1时,两函数图象有两个交点,即m1,m1,m的取值范围是1,),故选A.11C【解析】因为M是PF1的中点,O为F1F2的中点,所以OM为三角形F1PF2的中位线因为OMPF1,所以PF2PF1.又因为|PF2|PF1|2a,2|PF1|PF2|,|F1F2|2c,所以|PF1|2a,|PF2|4a.在F1PF2中,PF2PF1,所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.代入得(2a)2(4a)2(2c)2,所以5.即e.选C.12A【解析】根据题意,对任意的x1,x2,都有f(x1)g(x2)0,即f(x1)g(x2),f(x)maxg(x)min恒成立,g(x)3x22x,在x内先增后减,g(2)g,故g(x)min1.则f(x)1,xln x1,解axx2ln x.令h(x)xx2ln x,则h(x)12xln xx,h(x)2ln x3.在区间内,h(x)0,x1,2时,h(x)n1142【解析】作出x,y满足的约束条件表示的平面区域,得到如图的区域,其中A(1,1),设zF(x,y)xy,将直线l:zxy进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,z最小值F(1,1)112.故答案为:2.15.2【解析】由定积分的几何意义可知,dx是以原点为圆心,以1为半径的四分之一圆的面积,等于.sinxdx(cos x)|cos cos 02.dxsin xdx2.答案为:2.16a0【解析】f(x)xln xax2(x0),f(x)ln x12ax.令g(x)ln x12ax,函数f(x)ax2xln x有两个极值点g(x)0在(0,)上有两个实数根g(x)2a,当a0时,g(x)0,函数g(x)在区间(0,)上单调递增,因此g(x)0在区间(0,)上不可能有两个实数根,应舍去当a0时,令g(x)0,解得x.令g(x)0,解得0x,此时函数g(x)单调递增;令g(x)0,解得x,此时函数g(x)单调递减当x时,函数g(x)取得极大值要使g(x)0在区间(0,)上有两个实数根,则gln0,解得a0.实数a的取值范围是a,所以曲线E是以M, N为焦点,长轴长为2的椭圆,由a, c,得b2321,所以曲线E的方程为x21.4分()设B, C,直线BC: xtym,联立方程组, 得y26mty3m230,36t212m212,y1y2, y1y2,由k1k29知y1y2999t2y1y29t9,且m1,代入化简得18mt230,解得m2.8分由36t212m21236(t21)0,解得t21,SABC (当且仅当t2时取等号)综上,ABC面积的最大值为.12分21【解析】()由已知x0,f(x)2xa,当a2时,f(x)0,则函数f(x)在(0,)单调递增. 2分当a0时,2x2ax10有两个正根,记x1,x2,当x(0,x1)时,f(x)0,f(x)递增,当x(x1,x2)时,f(x)0,f(x)递增综上,当a2时,函数f(x)在(0,)上单调递增当a0,所以g(x)在(0,)上单调递增,当x0时,g(x);x时,g(x);所以g(x)R,所以g(x)在(0,)上有唯一零点x0,所以g(x0)为g(x)的最小值由已知函数g(x)有且只

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