运筹学例题集锦.doc

1.1线性规划标准型maxZ=c1x1+c2x2+cnxns.t. a11x1+a12x2+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+a2nxn =b2 am1x1+am2x2+.+amnxn =bm x1,x2.xn 0用两个变量的差值代替无约束变量，左边加一个变量将变=，左边减一个变量将变=。目标函数左边乘-1将minZ变maxZ1用对偶单纯形法解下列线性规划问题min S = x1 + 4x2 + 3x4s.t. x1+2x2 - x3 +x4 3 -2x1 - x2+4x3 +x4 2 x1，x2 ， x3， x4 0解：此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法。max S = -x1- 4x2 - 3x4s.t. -x1 -2x2+ x3 -x4 +x5= -3 2x1 + x2-4x3 -x4+x6 = -2 x1，x2 ， x3， x4 ，x5 ，x6 0技术官员村位于位于亚运城东部，主干道二以东石楼涌以西的地块，占地面积、m2，总建筑面积、m2，共包括地下室南区、地下室北区、地上部分1栋12栋、服务中心、室外工程等多个单体工程。其中住宅面积m2，共12栋，17栋建筑层数为11层，812栋11层（局部复式顶层），首层局部架空，布置公建配套设施。integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pingba small fragmented nature picture for water and the second land of the seven hills. 236 meters to 2000 meters above sea level in the city, low mountain, 46.6% hills 45.3%, pingba only 8.1%. 2.1.5 development of Yibin landscapes and distinctive feature in the center of the city, with limitations, and spatial structure of typical zonal group, 2012-cities in building with an area of about 76.2km2. From city-building situation, old town-the South Bank Center construction is lagging behind, disintegration of the old city is slow, optimization and upgrading, quality public service resources are still heavily concentrated in the old town together. Southbank Centre has not been formed, functions of the service area space is missing. Meanwhile, peripheral group centres service was weak and inadequate accounting for city development, suspicious pattern could not be formed. As regards transport, with the outward expansion of cities, cities have been expanding, centripetal city traffic organization has not changed, integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pingba small fragmented nature picture for water and the second land of the seven hills. 236 meters to 2000 meters above sea level in the city, low mountain, 46.6% hills 45.3%, pingba only 8.1%. 2.1.5 development of Yibin landscapes and distinctive feature in the center of the city, with limitations, and spatial structure of typical zonal group, 2012-cities in building with an area of about 76.2km2. From city-building situation, old town-the South Bank Center construction is lagging behind, disintegration of the old city is slow, optimization and upgrading, quality public service resources are still heavily concentrated in the old town together. Southbank Centre has not been formed, functions of the service area space is missing. Meanwhile, peripheral group centres service was weak and inadequate accounting for city development, suspicious pattern could not be formed. As regards transport, with the outward expansion of cities, cities have been expanding, centripetal city traffic organization has not changed,Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b0x5-1-21-110-30x6214-101-2-1-40-3000常数项是负数且最小，确定出基变量x5。用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1） 主元运算：第一行乘（-1）【提示:表格同上，x5行对应数字乘-1，这里不抄】主元运算：第二行加上 第一行乘（-2）【提示：是对应第二张表的，继续画出表3】计算检验数 确定出基变量X6 确定进基变量X3，主元（-2）Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b0x11211-1030x60-3-2-321-80-2-1-2-10-3主元运算：第一行加 第二行乘（-1/2） 【根据上表继续画表5，行不填】计算检验数：全为非正。但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0）最优值 S = - 7 S=7Cj-1-40-300CBXBx1x2x3x4x5x6b-1x117/201-2-1/270x303/21-3-1-1/240-1/20-1/2-2-1/2-72用对偶单纯形法解下列线性规划问题min S = x1 + 2x2s.t. -x1+2x2 - x3 1 -x1 -2x2 + x3 6 x1，x2 ， x3 0解：将原问题化成max S = -x1 - 2x2s.t. x1 - 2x2 + x3 + x4 =-1 x1 + 2x2- x3+ x5 =-6 x1,x2,x3,x4,x5 0Cj-1-2000CBXBx1x2x3x4x5b0X41-2110-10X512-101-6-1-20000常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。主元（-2）主元运算：第一行乘（-1/2）【提示：表格同上X4行对应数字乘-1/2，画出表格2】主元运算：第二行加 第一行乘（-2）【提示：是对表2而言的，画出表3】常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。3某地区在制定十年电力规划设置决策变量 设备选方案1，2，3的装机台数分别为x1、x2、x3，它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度，备选方案1无前期土建工程要求，备选方案2和3都需要前期土建工程，这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。则x1取值0-5之间的整数，x2、x3取值0-4之间的整数， x4、x5只能取0或1， x6、x7、x8大于零。约束方程 满足装机容量需求约束：10x1+25x2+ 30x3 180满足规划年发电量需求约束：x6+x7 + x8 100各电站容量与发电量平衡方程：每台机组发电量等于单机容量乘全年小时数，再乘与负荷因子，换算亿度量纲，即：方案1：x6=(0.66876010/10000)x1方案2： x7=(0.4876025/10000)x2得三个约束方程：5.782 x1-x6= 0 8.76 x2-x7= 0 18.39 x3-x8= 0每个方案最多的装机台数约束： 方案1：不需前期土建工程； x1 5方案2：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x2 4 x4方案3：前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数； x3 4 x5变量取值限制 x1、x2、x3 0且整数 x6、x7、x8 0 x4或x5=1前期土建工程要求 x4或x5=0 无前期土建工程要求设计目标函数 目标函数：年成本费用最低。 成本包括两大部分：可变成本：与发电量有关的成本，如：原材料，燃料，动力和活劳动消耗等。即参数表中年运行成本。不变成本：指与装机容量及前期土建投资有关的成本。方案1：单机投资回收因子=210.103=2.163(百万元）方案2：单机投资回收因子=700.0578=4.046(百万元）方案3：单机投资回收因子=650.103=6.695(百万元）方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为5040.0578=29.131(百万元）2400.103=24.72(百万元） 对方案1，2，3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,2.28,3.65百万元。则数学模型如下：Min Z = 2.163x1+4.046x2+ 6.695x3 + 29.131x4+ 24.72x5 + 4.11x6 + 2.28x7 + 3.65x8s.t. 10x1+25x2+ 30x3 180 x6+x7 + x8 1004某石油公司四厂七售区炼油厂1234日产量35251540销售区1234567日最大售量25201025101510解：平衡问题，用最小元素法求初始方案。计算检验数。 闭合回路。最优方案如下，最小运费=元 有非基变量的检验数=0，有无穷多组解，另外一个解如下：5铁路列车编组站M/M/1/排队问题。其中l =2， m =3，r=l/m=2/32=W1-P0-P1-P2=W1-(l-r)- (l-r) r1 -(l-r) r2=1*r3=r3=(2/3)3=0.296（小时）故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24lW0a=24*2*0.296*a=14.2a元6某修理店只有一位修理工解：M/M/1/ /排队问题.其中l =4， m =1/0.1=10(人/小时），r= l/m=2/51修理店内空闲的概率P0= 1-r= (1-2/5)=0.6店内恰有3个顾客的概率P3= r3(1-r)=(2/5)3(1-2/5)=0.038店内至少有1位顾客的概率P N1=1-P0=1- (1-r)= r =2/5=0.4在店内平均顾客数L= r/ (1-r)=(2/5)/(1-2/5)= 0.67(人）每位顾客在店内平均逗留时间W=L/l=0.67/4=10分钟等待服务的平均顾客数Lq=L-r=0.67-2/5=0.27(人)每个顾客平均等待服务时间Wq = Lq/ l=0.27/4=0.0675小时=4分7某单人理发店有6个椅子N=7为系统中最大的顾客数，=3人/小时，=4人/小时1）、某顾客一到达就能理发的概率相当于理发店内无顾客的概率：P0=（1-）/1-N+1=1-（3/4）/1-（3/4）7+1=0.27782）、需要等待的顾客数的期望值？LS=（/1-）-（N+1）N+1/（1-N+1）=(3/4)/1-(3/4）-8(3/4)8/1-(3/4)8=2.11Lq=Ls-(1-P0)=2.11-(1-0.2778)=1.39(人)3）、求有效到达率？e=(1-P0)= 4(1-0.2778)=2.89(人/小时)4）、求一顾客在理发馆内逗留的期望时间？Ws=Ls/e=2.11/2.89=0.73(小时)=43.8（分钟）5）、在可能来的顾客中不等待就离开的概率就是求系统中有7个顾客的概率：P7=（1-）n/1-N+1=(1-0.75)0.757/1-0.758=3.7%8某车间有5台机器解：m=5,=1/15，=1/12, = /=0.8 1）、P0=0.805!/5!+0.815!/4!+0.825!/3!+0.835!/2!+0.845!/1!+0.855!/0!-1 =1/136.8=0.0073 2）、 P5= 0.855!/0! P0=0.287 3）、Ls=5-（1/0.8）（1-0.0073）=3.76（台） 4）、Lq=3.76-（1-0.0073）=2.77 （台）5）、Ws=5/(1/12)(1-0.0073)-15=46(分钟) 6）、Wq=46-12=34 (分钟) 7)、机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高服务效率，减少修理时间或增加修理工人。9某售票处有三个窗口解：这是一个M/M/c/ / 型排队问题。其中c=3, /=0.9/0.4=2.25, =/c=0.751 1）、整个售票处空闲的概率？P0=(2.25)0/0!+ (2.25)1/1!+ (2.25)2/2!+ (2.25)3/3!1/(1-0.75)-1=0.0748 2）、平均队长？lq=(2.25)30.75/3!(1-0.75)20.0748 =1.7Ls=1.7+2.25=3.95 3）、平均等待时间和逗留时间？Wq=1.7/0.9=1.89(分钟); Ws=3.95/0.9=4,39 4）、顾客必须等待的概率？P(n3)=P(1-P0-P1-P2) =1-0.0748-1 (2.25)1 0.0748/1!- 1 (2.25)2 0.0748/2! =1-0.0748-0.1683-0.1893=0.567610两个修理工人5台机器解：根据题意，m=5,=1（次/小时），=4（台/小时）c=2, =m/c=5/8=0.625,c/m=0.25P0=(1/5!)(1/5!)(1/4)0+ (1/4!）(1/4)1+( 1/2!3!）(1/4)2+(22/2!）(1/2!)(1/8)3+(1/8)4+（1/8）5-1=0.315 P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018,P5=0.0021）、Lq=P3+2P4+3P5=0.118 2）、Ls=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=1.0923）e=1(5-1.092)=3.908 4）Wq=0.118/3.908=0.03（小时） 5）Ws=1.092/3.908=0.28小时11某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录（1）算出每小时病人平均到达率=nfn/100=2.1（人/小时）每次手术平均时间=vfv/100=0.4（小时/人） 每小时完成手术人数=1/0.4=2.5（人/小时）（2）取=2.1 =2.5。可认为病人到达服从泊松分布，手术时间服从负指数分布。（3）=/=2.1/2.5=0.84说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的，16%空闲（4）病房中病人数Ls=2.1/（2.5-2.1）=5.25（人）排队等待病人数Lq=0.845.25=4.41（人） 病人逗留时间Ws=1/(2.5-2.1)=2.5(小时)病人排队等待时间Wq=0.84/（2.5-2.1）=2.1（小时）12目标规划某人有一笔50万元的资金可用于长期投资解：设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：Max Z=11x1+15x2 +25x3 +20x4+10x5 +12x6+3x7s.t. 3x1+10x2 + 6x3+2x4+x5+ 5x6 5 11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7 13 x1+ 3x2 + 8x3 + 6x4+x5+ 2x6 4 15x2 +30x3 +20x4+5x5 +10x6 10 x1+x2 +x3 + x4 +x5 +x6+ x7 = 1 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0整数规划整数规划的一般数学模型:max (min) Z = cjxj s.t. aijxj bi(i=1,2,m)xj 0 且部分或全部是整数13登山准备序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷相机设备重量55261224重要系数201518148410解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品则问题表示成0-1规划:max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4+8x5 +4x6 +10x7s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,.714某机械化施工公司解：设每天安排WY50、WY75、WY100液压挖掘机和5t、8t、15t自卸汽车各是X1 、 X2 、 X3 、 X4 、 X5 、 X6台，则根据题意建立整数规划模型为：Min Z = 880 X1 +1060 X2 +1420 X3 +318 X4 +458 X5 +726 X6S.t 401 X1 +549 X2 +692 X3 980 28X4 + 45 X5 + 68X6 980 28X4 + 45 X5 + 68X6 401 X1 +549 X2 +692 X3 X14 X22 X3 1 X4 10 X5 20 X6 10 Xj 0,且为整数。 15某种农作物在生长解：假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。数学模型为：min S=4x1+15x2 + 10x3 +13x4s.t. 0.03x1+0.3x2+0.15x4 33 0.05x1+ 0.2x3 +0.1x4 24 0.14x1+0.07x4 24x1，x2 ， x3， x4 0 将模型化为： max S= - 4x1-15x2-10x3-13x4- 0.03x1-0.3x2-0.15x4 +x5= -33 - 0.05x1- 0.2x3 -0.1x4+x6= -24 - 0.14x1-0.07x4+x7 = -24 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0初始可行基B1=（P5，P6，P7）Cj-4-15-10-13000CBXBx1x2x3x4x5x6x7b0x5-0.03-0.30-0.15100-330x6-0.050-0.2-0.10010-240x7-0.1400-0.07001-42-4-15-10-130000第三行乘以1/（-0.14）【提示：根据上表，x7对应行乘那个数字，画出表2】第一行加上 第三行乘（0.03）【提示：对表2而言的，是变第一行，第三行同表2.画表3】第二行加上 第三行乘（0.05）【提示：对表3而言的，是变第二行，第三行同表3.画表4】第一行除（-0.3） 计算检验数Cj-4-15-10-13000CBXBx1x2x3x4x5x6x7b-15x20100.45-3.3300.7800x600-0.2-0.07501-0.36-9-4x11000.500-7.1430000-10-4.25-49.950-18.06-2400第二行除以（-0.2)Cj-4-15-10-13000CBXBx1x2x3x4x5x6x7b-15x20100.45-3.3300.7800x60010.3750-51.845-4x11000.500-7.14300-2850最优解（300，80，45） 最优值S= -2850 S=285016设有街道图，求他的最优投递路线。有四个奇顶点配成两对v2 v4 ，v6 v8（1）任取v2 v4通路v2 v1 v8 v7 v6 v5 v4 任取v8 v6通路v8 v1 v2 v3 v4 v5 v6将通路上的边各重复一次，无奇顶点是欧拉图，有第一个可行方案 重复边总长为=51 （2）调整可行方案：有二条重复边的去了。重复边总长为=21，检查图中圈：总权=24重复边长=14大于24/2（3）去了原重复边，添上原没有的重复边，重复边总长=17，检查图中圈：总权=24， 圈上重复边长=13大于24/2 （4）去了原重复边，添上原没有的重复边重复边总长=15，得最优方案17一个工厂要将产品送到火车站解（1）将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的流值。 （2）再求v0到vn的最短增流路v0v1v4vn，路长为9，可增加2单位的流值。（3）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，路长为14，可增加1单位的流值。 （4）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v5vn，路长为18，可增加2单位的流值。最大流为8，最小运费=33+54+34+11+32+22+29+42+43=9018一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若不允许缺货解:R=6000台/月，c3 =1200元，c1 =0.10元/月, k=20元。19一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若允许缺货解： R=6000台/月,c3 =1200元,k=20元,c1 =0.10元/月, c2 =1元/只。、20某店拟出售甲商品