[工学]第十一章 动量矩定理x.ppt

由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律,第一节 质点系的动量矩,一、质点系的动量矩,设质点系由n个质点组成，任取固定点。任取一质点Mi的质量为mi，速度为vi，对O点的矢径为ri，则i点的动量为mivi，对O点的动量矩LOi定义为,动量矩是矢量，它垂直于ri与mivi 组成的平面。,第一节 质点系的动量矩,质点系中所有各质点对任一轴的动量矩之和，称为质点系对该轴的动量矩，即,以O为原点作直角坐标系Oxyz。质点Mi的动量对z轴的动量矩Lzi定义为mivi在xy平面上的投影对O点的矩。,质点系对O点的动量矩LO 定义为,第一节 质点系的动量矩,与力对于一点的矩和对于经过该点的任一轴的矩之间的关系类似，即有：质点的动量对于一点的矩在经过该点的任一轴上的投影就等于质点的动量对于该轴的矩。,若以z轴为例，应有,第一节 质点系的动量矩,二、定轴转动刚体的动量矩,整个刚体对z 轴的动量矩为,即，定轴转动刚体对于转动轴的动量矩，等于刚体对于转动轴的转动惯量与角速度之乘积。,因 是刚体对z轴的转动惯量，故有,对于如图所示的定轴转动刚体，考虑任一质点Mi，其对于z轴的动量矩为,第一节 质点系的动量矩,第二节 质点系的动量矩定理,一、质点系对固定点的动量矩定理,求导,第二节 质点系的动量矩定理,因vi与mivi同方向，故上式中的vimivi=0；而miai=Fi=FiE+FiI，Fi为作用于质点Mi上的所有力的合力，分为外力FiE和内力FiI，故有,上式中MOiE为作用质点系的所有外力对于O点之矩的矢量和；MOiI为质点系的内力对于O点之矩的矢量和。,第二节 质点系的动量矩定理,即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。这就是质点系对任固定点O 的动量矩定理。,由于内力总是成对出现的，所以它们对于任一点的矩之和必等于零，即MOiI=0。故有,(11-8),第二节 质点系的动量矩定理,质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一轴的矩之和。称为质点系对固定轴的动量矩定理。,将式(11-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，得,(11-9),第二节 质点系的动量矩定理,上式为动量矩定理的积分形式，式中 称为外力对O点的冲量矩。,将动量矩式 改写为,(11-10),上式表明：质点系对固定点的动量矩在一段时间内的增量，等于作用于质点系的外力在同一时间内对点的冲量矩之和。,第二节 质点系的动量矩定理,将式(11-10)投影到固定坐标轴x、y、z上，得,第二节 质点系的动量矩定理,若MOiE=0，则LO=常量。即，如果质点系所受外力对某一固定点O的矩始终等于零，则质点系对该点的动量矩保持为常量。 这一结论称为质点系动量矩守恒定理。,对于式,同样，对于质点系动量矩守恒定理，其投影形式也成立。,第二节 质点系的动量矩定理,人造地球卫星原来在位于离地面h=600km的圆形轨道上运行（如图11-6），为使其进入r=104km的另一圆形轨迹，须开动火箭，使卫星在A点的速度于很短时间内增加0.646km/s，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B，再进入新的圆形轨道。,图11-6,例11-1,第二节 质点系的动量矩定理,（1）卫星在椭圆轨道的远地点B处时的速度 为多少？ （2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到 达B点时应如何调整其速度？太空阻力 及其它星球的影响不计，地球半径 R=6370km。,第二节 质点系的动量矩定理,解：若质点运动过程中受到的力恒指向某一固定点，则称该力为有心力。不考虑大气阻力及其它星球的影响，则卫星运行时只受地球引力的作用，该引力为,其中m为卫星的质量，R为地球半径。 由质点动力学方程，有,第二节 质点系的动量矩定理,将数据代入 ，得卫星在第一圆形轨道上运行的速度,所以卫星在椭圆轨道上A点速度为,当卫星在椭圆轨道上运行时，所受的引力始终指向地心，为有心力，所以卫星对地心O的动量矩保持为常量,第二节 质点系的动量矩定理,所以,第二节 质点系的动量矩定理,为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B点时，应再开火箭，使其速度有一个增量,第二节 质点系的动量矩定理,卷扬机鼓轮重W，半径为R，可绕经过鼓轮中心的水平轴 转动，如图11-7所示。鼓轮上绕一绳，绳的一端挂一重P的物体。令在鼓轮上作用一力矩M以提升重物。 求重物上升的加速度。鼓轮可看作均质圆柱，绳的重量及轮轴处的摩擦都不计。,图11-7,例11-2,第二节 质点系的动量矩定理,解:将鼓轮与重物作为一个质点系来考虑，作用于该质点系的外力如图所示。,设重物上升的速度为 ，鼓轮的角 速度为 ，则整个质点系对于轴 的动量矩为,但 ，所以,第二节 质点系的动量矩定理,外力对z轴的矩为,于是由动量矩定理，有,由此可得重物上升的加速度,第二节 质点系的动量矩定理,水轮机受水流冲击而以匀角速绕着通过中心O的铅直轴(垂直于图平面)转动，如图所示。设总流量为Q，单位体积水重；水流入水轮机的流速为v1，离开水轮机时的流速为v2，方向分别与轮缘切线成角及（v1和v2都是绝对速度）。假设水流是恒定的，求水流作用于水轮机的转动力矩。,例11-3,第二节 质点系的动量矩定理,解: 取两叶片之间的流 体作为质点系来考察。,设在瞬时t，两叶片间的流体为ABCD(图b），在瞬时tt，流体运动至abcd。用Li代表这部分流体的动量矩，则两瞬时的动量矩之差为,因为水流是恒定的，abCD部分水流情况没有改变， 所以（ ）（ ），从而,第二节 质点系的动量矩定理,由动量矩定理得两叶片间流体所受到的力矩为,第二节 质点系的动量矩定理,全部流体所受到力矩为：,第二节 质点系的动量矩定理,二、质点系相对于质心的动量矩定理,取质点系的质心(或随同质心平移的坐标系的轴)为矩心(或矩轴)，其动量矩定理与对于固定点(或固定轴)的动量矩定理具有相同的形式。,如图所示，选动坐标系 随同质心 作平移。将质点系的 运动分解为随同质心 的平移与 相对于质心的运动(即相对于动坐 标系 的运动)。,证明如下：,第二节 质点系的动量矩定理,命质点 的质量为 ，则质点 的动量为,质点 的绝对速度为,对于固定点 的动量矩为,第二节 质点系的动量矩定理,整个质点系对于固定点的动量矩为,因为,第二节 质点系的动量矩定理,称为质点系对于质心C 的相对动量矩。,(11-11),这一关系可以表述为：,质点系对任一固定点O的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心的动量对O点之矩的矢量和。,第二节 质点系的动量矩定理,因,考虑到,应用质点系对固定O的动量矩定理有,即,第二节 质点系的动量矩定理,(11-12),上式称为质点系相对于质心的动量矩定理，即：,得到,第二节 质点系的动量矩定理,将式(11-12)投影到随同质心平移的坐标轴x、y、z上，得到,(11-13),第二节 质点系的动量矩定理,如果 (或) ,则质点系对于质心(或通 过质心的轴)的动量矩守恒。,人造卫星的太阳板,第二节 质点系的动量矩定理,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =,由动量矩定理：,例 已知:,解：因,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。,例 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，转盘不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）,故系统的动量矩守恒。,第三节 刚体定轴转动微分方程,将上式代入动量矩定理，得,在11-1推得,第三节 刚体定轴转动微分方程,与质点运动微分方程的求解类似，刚体定轴转动微分方程也可以解决两类问题：,第三节 刚体定轴转动微分方程,将一刚体悬挂于固定轴O上，使其在重力作用下绕悬挂轴自由摆动，这种装置称为复摆（或物理摆），如图所示。设复摆的质量为m，C为其质心，复摆对悬挂轴的转动惯量为JO 。求复摆的运动规律。,例11-4,解：刚体在任一瞬时的位置可由 与铅垂线的夹角 表示，设角 以逆时针方向为正，则有,第三节 刚体定轴转动微分方程,刚体作微幅摆动时，有 ，令 ，上式成为,即,此方程为复摆作微幅摆动的运动微分方程，其通解为,式中的 为振幅， 为初相角，它们都由运动初条件决定。 复摆的周期为,第三节 刚体定轴转动微分方程,为了测定物体A对转轴z的转动惯量，采用如图所示的装置。测得重物B由静止下落一段距离h所需的时间，试求物体A对转动轴的转动惯量。 鼓轮D、滑轮C及绳子等的质量以及各轴承处的摩擦都忽略不计，并假定绳子是不可伸长的。鼓轮半径为r，重物B的质量为m。,例11-5,第三节 刚体定轴转动微分方程,解: 将重物B与物体A分开考察,作用于重物的力有：重力W，Wmg；绳子张力F。作用于物体与鼓轮组成的系统上的力有：绳子张力F；物体的重力及轴轴承处的约束力对轴的矩都等于零，故图上亦未画出。设物体的角加速度为，物体下落的加速度为a，则有,第三节 刚体定轴转动微分方程,上两式中消去F，并注意 ，就得到,可见物体以匀加速下降，于是由匀加速运动公式可得,由此求得,这里求得的是物体和鼓轮对轴的总转动惯量。要是鼓轮的质量不能忽略，从上式中减去鼓的转动惯量，就得到物体对轴的转动惯量。,第三节 刚体定轴转动微分方程,已知电机产生的转矩 MO 与其角速度w 的关系为 MO = MO1(1 w /w1)，其中 MO1 表示电机的启动转矩, w1表示电机无负载时的空转角速度，且 MO1 和w1 都是已知常量。又作用在飞轮上的阻力矩 MF 可以认为不变。电机轴连同其上的飞轮对轴 O 的转动惯量是JO。试求当 MO MF时电机启动后角速度w 随时间 t 而变化的规律。,例11-6,解:,转动部分所受的外力矩有电机转矩 MO 和阻力矩 MF，故电机的转动微分方程可写成,令,则上式简写成,由题意 MO MF 知， b c 0，故飞轮作加速转动。上式可分离变量而化为求积，有,由此得,即,最后求得飞轮角速度的变化规律,可见，飞轮角速度将逐渐增大。当 t 时，上式括号内的第二项趋近于零。这时飞轮将以极限角速度w转动，且,如不加负载，即阻力矩 MF = 0，则w = w 1。,例11-7 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求： 物体C上升的加速度。,取轮B 连同物体C 为研究对象,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,解: 取轮A 为研究对象,第四节 刚体平面运动微分方程,设刚体在平面力系F1、 F2 、 Fn 作用下作平面运动，其质心C位于平面图形S内，如图所示。,由运动学知识，可将刚体的平面运动看作随同质心的平移与绕着质心转动的合成。,第四节 刚体平面运动微分方程,由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理有,投影到坐标轴上，有,设刚体绕轴转动的角速度为，则刚体相对于轴的动量矩为,(11-15),或简写为：,第四节 刚体平面运动微分方程,这就是刚体平面运动微分方程。 运用该方程可求解作平面运动刚体的动力学两类问题。,于是得到：,第四节 刚体平面运动微分方程,式（11-15）在这里虽然只用来研究刚体平面运动，事实上，该方程对刚体以及任意质点系的任何运动都适用。例如，导弹、空间飞行器等的运动，都可看作随同质心的运动与相对于质心的运动两者合成的结果，而前者可用质心运动定理加以研究，后者则可用相对于质心的动量矩定理加以研究。知道了质心的运动及相对于质心的运动，也就知道了整个系统的运动。,需要说明的是：,1,第四节 刚体平面运动微分方程,第四节 刚体平面运动微分方程,均质圆轮重W，半径，沿倾角为的斜面向下运动，如图所示。设轮与斜面间的摩擦因数为f，试求轮心的加速度及斜面对于轮子的约束力。,例11-6,第四节 刚体平面运动微分方程,解: 取坐标系如图所示。作用于轮的外力计有：重力W，法向反力 及摩擦力F。假定F的方向如图所示，可得轮子的运动微分方程为：,第四节 刚体平面运动微分方程,由式 可得,（）假定轮子与斜面间无滑动，这时F是静摩擦力， 大小、方向都未知，这时有,第四节 刚体平面运动微分方程,下面分两种情况来讨论：,F为正值，表明其方向如图11-14所设。,（）假定轮子与斜面间有滑动，这时是动摩擦力。 因轮子与斜面接触点向下滑动，故F的方向向上，应为,第四节 刚体平面运动微分方程,于是，解方程 、 及 ，将 代入，得, ，即,，表示摩擦力未达极限值，轮子只滚不滑；,第四节 刚体平面运动微分方程,七应用举例 例1 均质圆柱，半径为r，重量为P，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研究对象。受力分析如图示。 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,将式代入、两式，有,将上述结果代入式，有,解得：,例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,由定轴转动微分方程