2019年高考数学三轮冲刺专题21不等式选讲专项讲解与训练.docx

专题21. 不等式选讲绝对值不等式的解法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c0，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc，或axbc，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c0，则|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.2|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集 (2)由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.(1)证明不等式常用的方法有综合法；分析法；比较法；利用柯西不等式(二维形式)(2)二维柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立，该不等式既是证明不等式的有效武器，更是求二元变量关系式最值的高效法宝 【对点训练】1(2019.合肥模拟)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)f(2a)【解析】：(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1时，原不等式等价于2x32，即x1；当1x2时，原不等式等价于12，即1x2；当x2时，原不等式等价于2x32，即2x.综上，原不等式的解集为x|x(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立2已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.【解析】：(1)f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)24；当x1时，由2x4，得1x2.所以M(2，2)(2)证明：a，bM，即2a2，2b2，所以4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，所以4(ab)2(4ab)2，所以2|ab|4ab|.绝对值不等式的恒成立问题1f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina；f(x)a无解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)mina.2定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立 (2018高考全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围【解析】(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1得，2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.含绝对值不等式恒成立问题，用等价转化思想法一，利用三角不等式求出最值进行转化 法二，利用分类讨论思想，转化成求函数值域法三，数形结合转化 【对点训练】1(2019合肥质量检测(一)已知函数f(x)|xm|x3m|(m0)(1)当m1时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立，求m的取值范围【解析】：(1)f(x)|xm|x3m|当m1时，由，或x3，得x，所以不等式f(x)1的解集为x|x2(2019昆明质量检测)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式2f(x)4|x1|；(2)已知mn1(m0，n0)，若不等式|xa|f(x)恒成立，求实数a的取值范围【解析】：(1)不等式2f(x)4|x1|等价于2|x2|x1|4，即或 或.解得x2或2x1或，所以原不等式的解集为x|x1(2)因为|xa|f(x)|xa|x2|xax2|a2|，所以|xa|f(x)的最大值是|a2|，又mn1(m0，n0)，所以()(mn)2224，所以的最小值为4.要使|xa|f(x)恒成立，则|a2|4，解得6a2.所以实数a的取值范围是6，2课时作业1(2019石家庄质量检测(一)已知函数f(x)|x3|xm|(xR)(1)当m1时，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)5的解集不是空集，求参数m的取值范围【解析】：(1)当m1时，f(x)6等价于，或，或，解得x2或x4，所以不等式f(x)6的解集为x|x2或x4(2)法一：化简f(x)得，当m3时，f(x)，当m3时，f(x)根据题意得：，即3m2，或，即8m3，所以参数m的取值范围为m|8m2法二：因为|x3|xm|(x3)(xm)|m3|，所以f(x)min|3m|，所以|m3|5，所以8m2，所以参数m的取值范围为m|8m22(2019贵州适应性考试)已知函数f(x)|x1|x5|，g(x).(1)求f(x)的最小值；(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2b26，求证：g(a)g(b)m.【解析】：(1)因为f(x)|x1|x5|，所以f(x)|x1|x5|，所以f(x)min4.(2)证明：由(1)知m4.由柯西不等式得1g(a)1g(b)2(1212)g2(a)g2(b)，即g(a)g(b)22(a2b22)，又g(x)0，a2b26，所以g(a)g(b)4(当且仅当ab时取等号)即g(a)g(b)m.3(2019广州综合测试(一)已知函数f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3，求实数a的取值范围；(2)若a1，xR，求证：f(x)2.【解析】：(1)因为f(1)3，所以|a|12a|3.当a0时，得a(12a)3， 解得a，所以a0；当0a时，得a(12a)3，解得a2，所以0a；当a时，得a(12a)3，解得a，所以a.综上所述，实数a的取值范围是(，)(2)证明：f(x)|xa1|x2a|(xa1)(x2a)|3a1|，因为a1，所以f(x)3a12.4(2019太原模拟)已知函数f(x)|xa|(a0)(1)若不等式f(x)f(xm)1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a时，函数g(x)f(x)|2x1|有零点，求实数a的取值范围【解析】：(1)因为f(x)|xa|，所以f(xm)|xma|，所以f(x)f(xm)|xa|xma|m|，所以|m|1，所以1m1，所以实数m的最大值为1.(2)当a时，g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|所以g(x)在(，)上单调递减，在(，)上单调递增又函数g(x)有零点，所以g(x)ming()a0，所以或，所以a0，所以实数a的取值范围是，0)5(2019云南十一校跨区调研)已知函数f(x)|x1|mx|(其中mR)(1)当m2时，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)6对任意实数x恒成立，求m的取值范围(2)法一：因为|x1|mx|x1mx|m1|，由题意得|m1|6，即m16或m16，解得m5或m7，即m的取值范围是(，75，)法二：当m1时，f(x)此时，f(x)minm1，由题意知，m16，解得m7，所以m的取值范围是m7.当m1时，f(x)|x1|1x|2|x1|，此时f(x)min0，不满足题意当m1时，f(x)，此时，f(x)minm1，由题意知，m16，解得m5，