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文档简介

,微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第八章 多 元 函 数 微 分 学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。,难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。,设空间L曲线的参数方程为,一、空间曲线的切线与法平面,1、曲线由参数方程给出的情形,假定(1)式中的三个函数均可导。,且导数在M点不同时为零.,L,L,是曲线L上的两点,且分别,割线 的方程为,考察割线趋近于极限位置 切线的过程,考察割线趋近于极限位置 切线的过程,上式分母同除以,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量, 如下向量为其中之一,法平面：过M点且与切线垂直的平面, 即,过点 与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面,解,切线方程:,法平面方程:,空间曲线方程为,法平面方程为,特殊情况：,此时可把 x 看作参数，即参数方程为,即 t =t0 处，,2.曲线由一般方程给出的情形,曲线上的一点,此函数方程组可确定 是x 的隐 函数,即曲线可用(隐式)方程:,来表示,由1中特殊情况知,只需求,下由例题给出求解方法,求切线方程为,法平面方程为, dx = 1, dy = 0, dz = 1为非零解 ,求曲线,（椭球面）,（球面）,解,将 x = 1 代入方程组，,解方程组得，,x = 1 处的点为,将所给方程的两端对 x 求导，,方程组有唯一解。,切向量,切向量,切线方程,法平面方程,切向量,切线方程,法平面方程,二.曲面的切平面与法线,若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.,切平面,过 且与切平面垂直的直线,法线,1.设曲面方程为,在该点偏导数连续且不全为零.,是曲面上过 的任一曲线:,切平面方程,法线方程,切平面的法向量,将上式两端对 t 在 点求导有,1,由于曲线是曲面上过 点的任一条光滑曲线，它们在 的切线都与同一定向量 垂直，故曲面上过 的一切曲线在该点的切线都在同一平面上, 即曲面在点 的切平面上.,切平面方程向量表示,特殊情况：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,曲面在M 处的法向(指向上侧)可取为:,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题
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