2020版高考数学复习三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换（第2课时）讲义理（含解析）.docx

第2课时简单的三角恒等变换题型 三角函数式的化简与证明1化简：(0)解由(0，)，得00，2cos.又(1sincos)2cos2coscos，故原式cos.2证明：coscos2sinsin.证明因为，所以coscoscoscoscoscossinsincoscossinsin2sinsin.1三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等2三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.1.2的化简结果为_答案2sin4解析原式22|cos4|2|sin4cos4|，因为4，所以cos40，且sin42)的两根分别为tan，tan，且，则_.答案解析由根与系数的关系且a2得，tantan3a0.所以tan0，tan0.又，则，于是(，0)，tan()1，又(，0)，所以.2.计算：cos20cos40cos60cos80_.答案解析原式cos20cos40cos80.题型 三角恒等变换的综合应用角度1研究三角函数的图象变换问题1.(2019湖南四校联考)函数ysinxcosx的图象可由函数ysinxcosx的图象至少向右平移的单位长度是()A. B. C. D.答案B解析因为ysinxcosx2sin2sin，ysinxcosx2sin，所以函数ysinxcosx的图象至少向右平移个单位长度才能得到函数ysinxcosx的图象.角度2研究三角函数的性质问题2.(2018北京高考)已知函数f(x)sin2xsinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值解(1)f(x)sin2xsin2xcos2xsin，所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.因为x，所以2x.要使f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，只需2m，即m，所以m的最小值为.角度3解决实际问题3如图，在矩形OABC中，AB1，OA2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PMOA，垂足为M，PNOC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值解连接BP，设CBP，其中0，则PM1sin，PN2cos，则周长C62(sincos)62sin，因为0，所以，故当，即时，周长C有最小值62.1.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)Asin(x)b的形式再求解要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期2三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.1.(2018静海区模拟)为了得到函数ysinxcosxcos2x的图象，只需将函数ysin2x的图象()A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位答案A解析函数ysinxcosxcos2xsin2xcos2xsinsin2.只需将函数ysin2x的图象向左平移个长度单位，即可得到函数ysinxcosxcos2x的图象.2如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设SOP，求为何值时矩形的面积最大，并求出最大值解因为SOP，所以PSsin，SR2cos，故S矩形PQRSSRPS2cossinsin2，故当时，矩形的面积有最大值1.3.(2018合肥模拟)已知函数f(x)sinxcosxcos.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为g(x)当x时，求函数g(x)的值域解(1)f(x)sinx